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浙江省杭州市2018届高三上学期期末考试数学试题 (1)


杭州市 2017-2018 学年第一学期高三年级教学质量检测 数学试题卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.设集合 A ? x x ? 2 ? 2 , B ? ? 0, 4? ,则 CR ( A ? B) ? ( A. R 2.双曲线 x ?
2

?

?

) D. ?

B. ?0?

C. x x ? R, x ? 0

?

?

y2 ? 1的渐近线方程为( 4
B. y ? ?2 x



A. y ? ?

1 x 2

C. y ? ?

3 x 2

D. y ? ?

5 x 2


* ( 3.设数列 ?an ? 的通项公式为 an ? kn ? 2(n ? N ) ,则“ k ? 2 ”是“数列 ?an ? 为递增数列的”

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件 )

D.既不充分又不必要条件

' 4.若函数 f ( x ) 的导函数 f ( x) 的图象如图所示,则(

A. 函数 f ( x ) 有 1 个极大值,2 个极小值 B. 函数 f ( x ) 有 2 个极大值,2 个极小值 C. 函数 f ( x ) 有 3 个极大值,1 个极小值 D. 函数 f ( x ) 有 4 个极大值,1 个极小值
x?m 5.若直线 y ? x 与曲线 y ? e ( m ? R , e 为自然对数的底数)相切,则 m ? (



A. 1

B. 2

C. ?1

D. ?2

?y ? 0 ? 6.设不等式组 ? x ? y ? 1 ,所表示的区域面积为 S (m ? R) ,若 S ? 1 ,则( ? y ? mx ?
A. m ? ?2 B. ?2 ? m ? 0 C. 0 ? m ? 2

) D. m ? 2

7.设函数 f ( x) ?

2 ? b ( a ? 0 且 a ? 1) ,则函数 f ( x ) 的奇偶性( a ?1
x



A. 与 a 无关,且与 b 无关 C. 与 a 有关,但与 b 无关

B. 与 a 有关,且与 b 有关 D. 与 a 无关,但与 b 有关

D, E 分别是 BC, AB 的中点, AB ? AC , ?BAC ? 90? , PA ? 平面 ABC , 8.在三棱锥 P ? ABC 中,
且 AC ? AD .设 PC 与 DE 所成角为 ? , PD 与平面 ABC 所成角为 ? ,二面角 P ? BC ? A 为 ? , 则( ) B. ? ? ? ? ?
2

A. ? ? ? ? ?

C. ? ? ? ? ?

D. ? ? ? ? ?

9.设函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a, b ? R) ,记 M 为函数 y ? f ( x) 在 [?1,1] 上的最大值,N 为 a ? b 的最大值,则( ) B. 若 M ?

1 A. 若 M ? ,则 N ? 3 3 C. 若 M ? 2 ,则 N ? 3

1 ,则 N ? 3 2 D. 若 M ? 3 ,则 N ? 3 ???? ??? ? ??? ? ??? ? 10.在四边形 ABCD 中,点 E , F 分别是 AD, BC 的中点,设 AD ? BC ? m , AC ? BD ? n ,若

AB ? 2, EF ? 1, CD ? 3 ,则(
A. 2m ? n ? 1

) C. m ? 2n ? 1 D. 2n ? 2m ? 1

B. 2m ? 2n ? 1

二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每小题 6 分,单空题每小题 4 分,共 36 分. 11.设复数 z ?

5 (其中 i 为虚数单位) ,则复数 z 的实部为 2?i

,虚部为

. ,方

12.在一次随机实验中,事件 A 发生的概率为 p ,事件 A 发生的次数为 ? ,则期望 E? ? 差 D? 的最大值为 .

13. 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c , a ? 5, b ? 3,sin C ? 2sin A , 则

sin A?

,设 D 为 AB 边上一点,且 BD ? 2 DA ,则 ?BCD 的面积为

??? ?

??? ?

.

14.如图是某三棱锥的三视图,则该三棱锥的体积为

,表面积为

.

7 15.在二项式 ( x ? ) (a ? R) 的展开式中,若含 x 的项的系数为 ?10 ,则 a ?
2 5

a x

.

16.有红、黄、蓝三种颜色的小球(除颜色外均相同)各 4 只,都分别标有字母 A, B, C , D ,任意取 出 4 只,字母各不相同且三种颜色齐备的取法共有 17.已知单位向量 e1 , e2 的夹角为 种.(用数字作答) .

?? ?? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ,设 a ? 2e1 ? ?e2 ,则当 ? ? 0 时, ? ? a 的取值范围是 3

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本小题满分 14 分)设向量 a ? (2 3sin x, ? cos x), b ? (cos x, 2cos x) , f ( x) ? a ? b ? 1. (1)求函数 f ( x ) 的最小正周期;
2 (2)若方程 f ( x) ? t ? t (t ? R ) 无实数解,求 t 的取值范围.

?

?

? ?

? 19. ( 本 小 题 满 分 15 分 ) 如 图 , 在 三 棱 锥 A ? BCD 中 , ?BAC ? ?BAD ? ?DAC ? 60 ,

AC ? AD ? 2 , AB ? 3.
(1)证明: AB ? CD ; (2)求 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值.

20.(本小题满分 15 分)设函数 f ( x) ? (1)求证: f ( x) ? ? x ? x ? 1;
2

2 ( x ? R ). 1 ? x2

(2)当 x ?[?1,0] 时,函数 f ( x) ? ax ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围.

21.(本小题满分 15 分)已知椭圆 C : 交于 A, B 两点.

x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : y ? kx ? m(m ? 0) ,设直线 l 与椭圆 C 相 3 2

(1)若 m ? 3 ,求实数 k 的取值范围; (2)若直线 OA, AB, OB 的斜率成等比数列(其中 O 为坐标原点) ,求 ?OAB 的面积的取值范围.

22.(本小题满分 15 分)设数列 ?an ? 满足 a1 ? 3, an 2 ? (1 ? an?1 )an ? 2 ? 0(n ? N * ). (1)求证: an ? 1 ; (2)求证: 2 ? an?1 ? an ; (3)设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,求证: 2 ? 2( ) ? S n ? 2n ? 3 ? 3( ) .
n n

1 2

2 3


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