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【名师解析】浙江省宁波市2013-2014学年高二下学期期末考试数学文试题 Word版含解析


【试卷综评】 本试卷试题主要注重基本知识、 基本能力、 基本方法等当面的考察, 覆盖面广, 注重数学思想方法的简单应用,试题有新意,符合课改和教改方向,能有效地测评学生,有 利于学生自我评价, 有利于指导学生的学习, 既重视双基能力培养, 侧重学生自主探究能力, 分析问题和解决问题的能力,突出应用,同时对观察与猜想、阅读与思考等方面的考查。着 重考察学生基本知识与基本方法的应用,以基本运算为主,难度适中,立足于教材,大多数 题是基础题。

选择题部分(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 设集合 A ? {x | y ? ln( x ? 1)} , B ? ??2, ?1,0,1? ,则 (?R A) B ? ( ) A. {?2} B. {?2, ?1} C. {?2,?1,0} D. {?2, ?1,0,1}

【知识点】对数不等式的解法;交集、补集的定义. 【答案解析】B解析 :解:因为 A ? {x | y ? ln( x ? 1)} 所以 x +1 > 0, 即 x > - 1, 则

?R A = {x | x ? 1} ,故 (?R A) B ? {?2, ?1} .
故选:B. 【思路点拨】先确定集合A中的元素,再求 ?R A ,最后求出结果即可. 2. 若 a、b 为实数,则“ ab ? 1 ”是“ 0 ? a ?

1 ”的( b



A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【知识点】必 要 条 件 、 充 分 条 件 与 充 要 条 件 的 判 断 . 【答案解析】B 解析 :解:若 a 、 b 为 实 数 , ab ? 1 , 令 a=-1 , b=1 , ab=-1 < 1 , 推 不 出 0 ? a ? 若0?a?

1 , b

1 , 可 得 b > 0 , ∴ 0 < ab < 1 , ? ab < 1 , b 1 ∴ ab < 1 ” 是 “ 0 ? a ? 必 要 不 充 分 条 件 , b
故 选 B. 【思路点拨】令 a=-1 ,b=1 特 殊 值 法 代 入 , 再 根 据 必 要 条 件 和 充 分 条 件 的 定 义 进 行 判 断. 3.平面向量 a 与 b 的夹角为 120 ,且 a ? (2, 0) , b ? 1 ,则 a + 2b ? ( A. )

4

B. 2 3

C.

2

D.

3

【知识点】向量的数量积运算;向量的模的运算.

【答案解析】C解析 :解:因为 a ? (2, 0) ,故 a = 2 ,所以 a ?b 而 a + 2b = 故选:C. 【思路点拨】下通过已知条件得到 a 以及 a ×b ,然后代入 a + 2b =

a b cos1200 = - 1 ,

(

a + 2b

)

2

=

a + 4a ?b 4 b = 4 = 2 .

2

2

( a + 2 b)

2

即可. )

4. 已知直线 m, l ,平面 ? , ? ,且 m ? ? , l ? ? ,给出下列命题,其中正确的是( A. 若 ? / / ? ,则 m ? l C. 若 m ? l ,则 ? / / ? 【知识点】线 面 、 面 面 位 置 关 系 的 判 断 . 【答案解析】A解析 :解: 对于 A∵ ? / / ? , m ^ a ∴ m ^ b , 又 ∵ l ? b , ∴ m ? l , ∴ A正 确 . 对于 B∵ ? ? ? , m ? ? , l ? ? 则 m 与 l 的位置关系是平行、相交、异面,故B错误. 对于 C∵ m ? l , m ? ? , l ? ? 则 ? , ? 的位置关系是平行或相交,故C错误. 对于 D∵ m / / l , m ? ? , l ? ? 则 ? ? ? .故D错误. B. 若 ? ? ? ,则 m / / l D. 若 m / / l ,则 ? / / ?

故选:A. 【思路点拨】利 用 直 线 与 直 线 , 直 线 与 平 面 , 平 面 与 平 面 的 位 置 关 系 逐 一 判 断 , 成立的证明,不成立的可举出反例. 5.已知函数 f ( x) ? 4 ? x , y ? g ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, g ( x) ? log 2 x ,
2

则函数 f ( x) ? g ( x) 的大致图象为(

)

A. B. C. 【知识点】函 数 图 象 的 识 别 ; 函 数 的 奇 偶 性 和 图 象 的 关 系 .
2

D.

【答案解析】D解析 :解: 因 为 函 数 f ( x) ? 4 ? x 为 偶 函 数 , y ? g ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 所 以 函 数 f ( x) ? g ( x) 为 奇 函 数 , 图 象 关 于 原 点 对 称 , 所 以 排 除 A , B . 当 x? 时 , g ( x) ? log 2 x > 0 , f ( x) ? 4 ? x < 0 . 所 以 此 时 f ( x) ? g ( x) < 0 .
2

所 以 排 除 C. 故 选 D. 【思路点拨】利 用 函 数 奇 偶 性 的 性 质 判 断 函 数 f ( x) ? g ( x) 的 奇 偶 性 ,然 后 利 用 极 限 思想判断,当 x ? 时,函数值的符号.

[

6. 数列 {an } 的首项为 1, 数列 {bn } 为等比数列, 且 bn ? A.

an ? 1 , 若 b10 ? b11 ? 6 则 a20 ?( an
D. 2



1 1 B. 2 3 【知识点】等 比 数 列 的 性 质 .

C. 1

【答案解析】A 解析 :解 : 由 题 意 可 得 a1 = 1, \ b1 = 比 为 q , 则 b1 0? b 1 1 即
9 10 b 1q ? b 1q 19 4 ? q

a1 +1 设 等 比 数 列 {bn } 的 公 = 2, a1

3 3 19 \ b2 0 = b 1 q 1 9= 2? 3, 解得 q = , , 6 2 2

1 a20 +1 解 得 a20 = . = 3, 2 a20 3 = , 进而可得 2

故选:A 【 思 路 点 拨 】 由 题 意 可 得 a1 = 1,b1 = 2, 代 入 b1 0? b 1 1 6 可得 q
19

b20 , a20 的值 .
7. 将函数 f ( x) ? 2sin(2 x ? 横坐标缩短到原来的 A. ?

?
4

) 的图象向右平移 ? (? ? 0) 个单位,再将图象上每一点的


3 4

1 ? 倍,所得图象关于直线 x ? 对称,则 ? 的最小正值为( 2 4 1 3 1 B. ? C. ? D. ? 2 8 8

【知识点】三 角 函 数 图 象 的 变 换 规 律 ; 三 角 函 数 的 图 象 与 性 质 . 【答案解析】C 解析 :解:将 函 数 f ( x) ? 2sin(2 x ?

?
4

)的图象向右平移φ 个单位所

p 2 s in(2 fx + 2 , 再 将) 图象上每一点的 4 p 1 横 坐 标 缩 短 到 原 来 的 倍 所 得 图 象 的 解 析 式 f ( x) = 2sin(4x - 2f + ) 因 为 所 得 图 4 2 (x f +) = ] 得 图 象 的 解 析 式 f ( x ) = 2 s i n [ 2象 关 于 直 线 x?

p 4

?

4 p p p 4? 2f + = kp + ,k 4 4 2 3 小正值为 ? . 8

对 称 , 所 以 当 x?

?

4 kp 3p Z整理得出 j = + ,k 2 8

时 函 数 取 得 最 值 , 所 以

Z 当 k=0 时 ,φ 取 得 最

故 选 : C. 【思路点拨】根 据 三 角 函 数 图 象 的 变 换 规 律 得 出 图 象 的 解 析 式

p ? f ( x) = 2sin(4x - 2f + ) , 再 根 据 三 角 函 数 的 性 质 , 当 x ? 时 函 数 取 得 最 值 , 列 4 4
出关于φ 的不等式,讨论求解即可. 8. 已知抛物线 C1 : x ? 2 y 的焦点为 F ,以 F 为圆心的圆 C2 交 C1 于 A, B 两点,交 C1 的
2

准线于 C , D 两点,若四边形 ABCD 是矩形,则圆 C2 的方程为(



A. x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 12 C. x 2 ? ( y ? ) 2 ? 3

B. x 2 ? ( y ? 1) 2 ? 16 D. x 2 ? ( y ? ) 2 ? 4

1 2

1 2

【知识点】抛 物 线 的 简 单 性 质 ; 圆 的 标 准 方 程 .
2 ,, ) ∴ 圆 C2 【答案解析】D 解析 :解 : 依 题 意 , 抛 物 线 C1 : x ? 2 y 的 焦 点 为 F ( 0

1 2

,, )作图如下: 的圆心坐标为 F(0

1 2

, )为 圆 C 2 的 圆 心 , ∵ 四 边 形 ABCD 是 矩 形 , 且 BD 为 直 径 , AC 为 直 径 , F ( 0
∴点 F 为该矩形的两条对角线的交点, ∴ 点 F 到 直 线 CD 的 距 离 与 点 F 到 AB 的 距 离 相 等 ,又 点 F 到 直 线 CD 的 距 离 d=1 , ∴ 直 线 AB 的 方 程 为 : y = , ∴ A( 3, ),
2

1 2

3 2

3 2

∴ 圆 C 2 的 半 径 r = AF = ( 3 - 0) + ( ∴ 圆 C 2 的 方 程 为 : x 2 ? ( y ? )2 ? 4 , 故 选 : D.

3 1 2 ) = 2, 2 2

1 2

, ),且 点 F 为 该 矩 形 ABCD 的 两 条 【思路点拨】依 题 意 知 ,圆 C 2 的 圆 心 坐 标 为 F ( 0
对 角 线 的 交 点 , 利 用 点 F 到 直 线 CD 的 距 离 与 点 F 到 AB 的 距 离 相 等 可 求 得 直 线 AB 的 方 程 为 : y = , 从 而 可 求 得 A 点 坐 标 , 从 而 可 求 得 圆 C2 的 半 径 , 于 是 可 得 答案. 9.已知正实数 a, b 满足 a ? 2b ? 1 ,则 a 2 ? 4b 2 ? A.
7 2

1 2

3 2

1 的最小值为( ab
161 36

) D.
17 2

B. 4

C.

【知识点】基 本 不 等 式 在 最 值 问 题 中 的 应 用 . 【答案解析】D解析 :解: a + 4b +
2 2

1 1 1 2 = ( a + 2b) + - 4ab = 1 + - 4ab , ab ab ab

令 ab = t , 则 a 2 ? 4b 2 ?

1 1 1 - 4ab = 1 + - 4t. =1+ ab t ab 1 , 8

∵ 正 实 数 a , b 满 足 2a+b=1 , ∴ 1 ? 2 2 ab , ∴ 0< a b?

1 1 - 4<0, \ 0<t t t2 15 1 17 ? ∴ y? , ∴ a 2 ? 4b 2 ? . 2 2 ab
由 y = - 4t 可 得 y? 故 选 : D. 【思路点拨】由 题 意 , a + 4b +
2 2

1 1 时 , y = - 4 t单 调 递 减 , 8 t

1 1 1 2 = ( a + 2b) + - 4ab = 1 + - 4ab ,令 ab = t , ab ab ab 1 1 1 1 - 4ab = 1 + - 4t. 则 a 2 ? 4b 2 ? =1+ 确 定 t 的 范 围 及 y = - 4 t单 调 递 减 , 即 可 ab t t ab
得出结论.
2 ? ? x ? 2, x ? ? 0,1? , 10.已知定义在 R 上的函数 f ? x ? 满足: f ? x ? ? ? 且f ? x ? 2 ? ? f ? x ? , 2 ? ?2 ? x , x ? ? ?1, 0 ? , 2x ? 5 ,则方程 f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ? ?5,1? 上的所有实根之和为( ) g ? x? ? x?2 A. ?7 B. ?6 C. ?8 D. 0

【知识点】函 数 的 零 点 与 方 程 根 的 关 系 .
2 ? ? x ? 2, x ? ? 0,1? , 【答案解析】A 解析 :解:∵ f ? x ? ? ? 且f ? x ? 2 ? ? f ? x ? 2 2 ? x , x ? ? 1, 0 , ? ? ? ?
2 ì 1 2x ? 5 ? x , x ? [ 0,1) = 2+ ∴ f ( x - 2) - 2 = í 又 g ? x? ? , ∴ g( x) , 2 x +2 x?2 ? ? - x , x ? [ 1, 0)

- 2= ∴ g(x - 2)

1 , x

当 x ≠ 2k-1 , k ∈ Z 时 , 上 述 两 个 函 数 都 是 关 于 ( -2 , 2 ) 对 称 , ;

由 图 象 可 得 : 方 程 f ? x ? ? g ? x ? 在 区 间 [-5 , 1] 上 的 实 根 有 3 个 ,

, x2 + x 4 x1 = - 3,x 2 满 足 - 5<x 2<- 4,x3 满 足 0< x3<1 3= - ;

∴ 方 程 f ? x ? ? g ? x ? 在 区 间 [-5 , 1] 上 的 所 有 实 根 之 和 为 -7 . 故 选 : A. 【思路点拨】将 方 程 根 的 问 题 转 化 为 函 数 图 象 的 交 点 问 题 , 由 图 象 读 出 即 可 .

非选择题部分(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 个小题,每小题 4 分,共 28 分.把答案填在答题卷的相应位置. 11. 已知函数 f ( x) ? ?

?log 2 x , x ? 0,
x ?3 ? 1 , x ? 0,



f ( f ( 1 )) 的值是___________ 4

【知识点】分段函数求值

10 1 1 10 -2 解析 :解: f ( ) = log 2 = - 2 ,所以 f ( - 2) = 3 +1 = , 9 4 4 9 10 则 f ( f ( 1 )) = . 4 9 10 故答案为: . 9 1 【思路点拨】先求内层函数 f ( ) ,再求 f ( - 2) 即可. 4
【答案解析】 12. 直线 l 与圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 相交于 A,B 两点, 若弦 AB 的中点 ? ?2,3? , 则直线
2 2

l 的方程为_____________ 【知识点】直 线 与 圆 相 交 的 性 质 ; 直 线 的 一 般 式 方 程 . 【答案解析】 x - y + 5 = 0 解析 :解:由 圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 整理得
2 2

( x +1) +( y - 2)

2

2

= 4 , 得 到 圆 心 的 坐 标 为 (- 1, 2 ),

由 题 意 得 : 圆 心 C 与 弦 AB 中 点 的 连 线 与 直 线 l 垂 直 , ∵ 弦 AB 的 中 点 为 ? ?2,3? ,

2 ), ∴ 圆 心 与 弦 AB 中 点 的 连 线 的 斜 率 为 圆 心 C 的 坐 标 为 (- 1,

3- 2 = - 1, - 2 +1

∴ 直 线 l的 斜 率 为 1 , 又 直 线 l 过 ? ?2,3? , 则 直 线 l的 方 程 为 y - 3 = x + 2 , 即 x - y +5 = 0 . 故答案为: x - y+ 5 = 0 . 【思路点拨】由 圆 的 方 程 找 出 圆 心 C 的 坐 标 , 连 接 圆 心 与 弦 AB 的 中 点 , 根 据 垂 径 定 理 的 逆 定 理 得 到 此 直 线 与 直 线 l 垂 直 , 根 据 两 直 线 垂 直 时 斜 率 的 乘 积 为 -1 , 由 圆 心 与 弦 AB 中 点 的 连 线 的 斜 率 , 求 出 直 线 l 的 斜 率 , 再 由 直 线 l 过 AB 的 中 点 , 即 可 得 到 直 线 l的 方 程 . 【典型总结】此 题 考 查 了 直 线 与 圆 相 交 的 性 质 , 涉 及 的 知 识 有 : 圆 的 标 准 方 程 , 两 直 线 垂 直 时 斜 率 满 足 的 关 系 ,垂 径 定 理 ,以 及 直 线 的 点 斜 式 方 程 ,其 中 由 垂 径 定 理 的 逆 定 理 得 到 圆 心 与 弦 AB 中 点 的 连 线 与 直 线 l 垂 直 是 解 本 题 的 关 键 .

13. 一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体的体积为 __ __ 【知识点】三 视 图 求 几 何 体 的 体 积 . 【答案解析】

22 解析 :解:由 三 视 图 知 几 何 体 是 正 方 体 3

1 1
正视图

1

削去一个角,如图:

2

侧视图

2

俯视图 (第 13 题图)

∴几何体的体积 V = 2 故答案为:

3

1 1 2 22 创 1 创2 2 = 8 - = . 3 2 3 3

22 . 3

【思路点拨】根 据 三 视 图 知 几 何 体 是 正 方 体 削 去 一 个 角 , 画 出 其 直 观 图 , 把 数 据 代入正方体与棱锥的体积公式计算.

? x ? y ?1 ? 14. 已知不等式组 ? x ? y ? ?1 所表示的平面区域为 D , 若直线 y ? kx ? 3k 与平面区域 D 有 ? y?0 ?
公共点,则 k 的取值范围为 【知识点】简 单 线 性 规 划 的 应 用 .

? x ? y ?1 轾1 ? 【答案解析】 犏 - , 0 解析 :解:满 足 约 束 条 件 ? x ? y ? ?1 的 平 面 区 域 如 图 示 : 犏3 臌 ? y?0 ?

因 为 y=kx-3k 过 定 点 D ( 3 , 0 ) . 所 以 当 y=kx-3k 过 点 A ( 0 , 1 ) 时 , 找 到 k= -

1 3

当 y=kx-3k 过 点 B ( 1 , 0 ) 时 , 对 应 k=0 . 又 因 为 直 线 y=kx-3k 与 平 面 区 域 M 有 公 共 点 .

所以 -

1 ≤ k≤ 0. 3

故答案为 犏 - ,0 . 【思路点拨】本 题 考 查 的 知 识 点 是 简 单 线 性 规 划 的 应 用 , 我 们 要 先 画 出 满 足 约 束

轾1 犏 臌3

? x ? y ?1 ? 条 件 ? x ? y ? ?1 的 平 面 区 域 , 然 后 分 析 平 面 区 域 里 各 个 角 点 , 然 后 将 其 代 入 ? y?0 ?
y=kx-3k 中 , 求 出 y=kx-3k 对 应 的 k 的 端 点 值 即 可 . 【典型总结】在 解 决 线 性 规 划 的 小 题 时 , 我 们 常 用 “ 角 点 法 ” ,其步骤为:①由 约 束 条 件 画 出 可 行 域 ?② 求 出 可 行 域 各 个 角 点 的 坐 标 ?③ 将 坐 标 逐 一 代 入 目 标 函 数 ?④ 验 证 , 求 出 最 优 解 .
1 1 15.如果关于 x 的不等式 f ( x) ? 0 和 g ( x) ? 0 的解集分别为 (a, b) 和( , ) ,那么称这两个 b a

不等式为对偶不等式。 如果不等式 x 2 ? 4 3x ? cos 2? ? 2 ? 0 与不等式 2 x 2 ? 4 x ? sin 2? ? 1 ? 0 为

? 对偶不等式,且 ? ? ( , ? ) ,则 ? =________________ 2
【知识点】一 元 二 次 方 程 与 一 元 二 次 不 等 式 的 相 互 转 化 关 系 ; 方 程 的 根 与 系 数 的 关系. 【答案解析】

5p 解析 :解:不 等 式 x 2 ? 4 3x ? cos 2? ? 2 ? 0 的 解 集 为 (a, b) ,由 题 意 可 6

1 1 得 不 等 式 2 x 2 ? 4 x ? sin 2? ? 1 ? 0 的 解 集 ( , ), b a

即 a , b 是 方 程 x - 4 3x? cos q 2

2

1 1 2 = 的 0 两 个 根 , , 是 2 x2 + 4 x ?sin 2q 1 = 0 的 两 a b

个 根 ,由 一 元 二 次 方 程 与 不 等 式 的 关 系 可 知 ,

ì ? a b= 2 ? ? q2, 整 理 得 3cos2 整 理 可 得 , í a + b= 4 3c o s q = - si n2 q ? ? 1 1 ? + = - 2sin2q ? a b
即 tan 2q = - 3 ,

? ∵ ? ? ( , ? ) , ∴ 2q ? 2
故答案为:

( p , 2p) , \

2q =

5p 5p ,\ q = . 3 6

5p . 6

【思路点拨】根 据 对 偶 不 等 式 的 定 义 , 以 及 不 等 式 的 解 集 和 方 程 之 间 的 关 系 , 即 可得到结论. 16.已知正方形 ABCD 的边长为 2,P 是正方形 ABCD 的外接圆上的动点, 则 AB ? AP 的最大

值为______________ 【知识点】向 量 的 坐 标 运 算 ; 数 量 积 运 算 ; 一 次 函 数 的 单 调 性 . 【答案解析】 2 + 2 2 解析 :解:如 图 所 示 , 建 立 直 角 坐 标 系 .

O( 0 , 0 ), A( -1 , -1 ), B( 1 , -1 ).∴ AB =( 1 , -1 ) -( -1 , -1 ) =( 2 , 0 ). 设 P ( x , y ) , 则 x 2 + y2 = 2 (-

2# x

2. )

∴ AP = ( x , y ) - ( -1 , -1 ) = ( x+1 , y+1 ) . ∴ AB ×AP = ( 2 , 0 ) ?( x+1 , y+1 ) =2 ( x+1 ) , ∵-

2 #x

2,

∴ 当 x=

2 时 , AB× AP的 最 大 值 为 2 + 2 2.

故 答 案 为 : 2 + 2 2. 【思路点拨】建 立 坐 标 系 , 利 用 向 量 的 坐 标 运 算 、 数 量 积 运 算 和 一 次 函 数 的 单 调 性即可得出. 17.已知 F1 , F2 分别是双曲线 x 2 ?

y2 ? 1 的左右焦点,A 是双曲线在第一象限内的点,若 b2

AF2 ? 2 且 ?F1 AF2 ? 45 ,延长 AF2 交双曲线右支于点 B,则 ?F1 AB 的面积等于_______
【知识点】椭圆的定义;余弦定理;三角形面积公式. 【答案解析】 4 解析 :解:如下图所示:

A

F1

F2

B

由椭圆的定义可知, AF 1 - AF 2 = 2a = 2, \ AF 1 = AF 2 + 2 = 4 ,设 BF 2 = x, 则 BF AF1B 中,由余弦定理得: BF1 = AF1 + AB + 2 AF1 1 = x + 2, 在 D 即 x +2
2 2 2

AB cos A ,

(

) = ( x + 2)

2

2

+ 42 + 2醋 4

( x + 2) cos 45

0

,解得 x = 2 2 - 2 ,所以三角形的面积

SDAF1B =

1 1 2 AF1 AB sin A = 创 4 2 2? 2 2 2

4.

故答案为:4. 【思路点拨】 先由定义求出 AF1 , 再设 BF2 = x, 然后在 D AF1B 中利用余弦定理解出 BF2 , 最后利用三角形面积公式即可求出结果. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本小题满分 14 分) 已知向量 m ? (sin x, 3 sin x), n ? (sin x,? cos x) ,设函数 f ( x) ? m ? n . (1)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)在 ?ABC 中, a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边, A 为锐角,若

f ( A) ? sin( 2 A ?

?
6

) ? 1 , b ? c ? 7 , ?ABC 的面积为 2 3 ,求边 a 的长.

【知识点】解 三 角 形 ;平 面 向 量 数 量 积 的 坐 标 表 示 ; 模 、夹 角 ;三 角 函 数 中 的 恒 等 变换应用. ? 2 ? ? 【答案解析】(1)函数 f ( x) 的单调递增区间为 ? k? ? , k? ? ? ? , k ? Z (2) 5 . 6 3 ? ? 解析 :解:(1)由 题 意 得

f ( x ) = sin 2 x 令 2kp +

1 - cos2x 3 1 p 3sinxcosx= sin2x = - sin(2x + ) ???3 分 2 2 2 6
3p ,k 2 Z ???5 分

p p ? 2x ? 2kp 2 6

解 得 : kp +

p #x 6

k p+

2p ,k 3

Z

? 2 ? ? 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 ? k? ? , k? ? ? ? , k ? Z ???7 分 6 3 ? ?
(2)由 f ( A) ? sin( 2 A ? 化简得: cos 2 A ? ? 又因为 0 ? A ?

?
6

) ? 1 得:

1 ? ? ? sin( 2 A ? ) ? sin( 2 A ? ) ? 1 2 6 6 ,
???9 分

1 2,

?
2

,解得: A ?

?
3

???10 分 ???12 分

由题意知: S ?ABC ?

1 bc sin A ? 2 3 ,解得 bc ? 8 , 2

2 2 2 2 又 b ? c ? 7 ,所以 a ? b ? c ? 2bc cos A ? (b ? c ) ? 2bc (1 ? cos A)

1 ? 49 ? 2 ? 8 ? (1 ? ) ? 25 2 ,
故所求边 a 的长为 5 . ??14 分 【思路点拨】(1)利 用 向 量 的 数 量 积 公 式 , 结 合 辅 助 角 公 式 化 简 函 数 , 再 利 用 正 弦函数的单调性,结合函数的定义域,即可得到结论; (2)由 f ( A) ? sin( 2 A ?

?
6

) ? 1, 可 得 A ?

?
3

, 利 用 △ ABC 的 面 积 为 2 3 , 结 合 余

弦定理,即可求边 a 的长. 【典型总结】 本题考查向量知识的运用, 考查三角函数的化简与三角函数的性质, 考查余弦定理的运用,正确化简函数是关键. 19. (本小题满分 14 分) 已知数列{ an }的前 n 项和 S n ? ? an ? ( )

1 2

n ?1

? 2 (n 为正整数)。

(1)令 bn ? 2n an ,求证数列{ bn }是等差数列; (2)求数列{ an }的通项公式,并求数列 ?an ? 的前 n 项和 Tn . 【知识点】数 列 递 推 式 ; 数 列 的 概 念 及 简 单 表 示 法 ; 错位相减法. 【答案解析】(1)见解析(2) Tn = 2 解析 :解:(1)在 S n ? ? an ? ( ) 即 a1 =

n +2 2n

1 2

n ?1

? 2 中 令 n = 1 可 得 s1 = - a1 - 1 + 2 = a 1

1 .......1 分 2 1 2

n- 1 当 n ? 2 时 a n = Sn - Sn - 1 = - a n + a n - 1 + ( ) ........ 3 分

1 \ 2a n = a n - 1 + ( ) n - 1 即 2n an=2n- 1an- 1 +1 ........ 4 分 2
bn ? 2n an ,? bn ? bn ?1 ? 1, 即当n ? 2时,bn ? bn ?1 ? 1 ......... 5 分
又 b1 ? 2a1 ? 1,? 数列 bn ? 是首项和公差均为 1 的等差数列......................... 7 分 (2)于是 bn = 1 + n - 1 ? 1

?
)

(

n = 2n an ,\ an =

n ?????9 分 2n

1 2 3 n + 2 + 3 +... + n 1 2 2 2 2 1 1 2 n- 1 n Tn = 2 + 3 + ... + n + n +1 ?????11 分 2 2 2 2 2 1骣 1 1- n 琪 1 1 1 1 n 2琪 n 1 n 2 桫 \ Tn = + 2 + ... + n + n +1 - n+1 = 1 - n - n+1 ????13 分 1 2 2 2 2 2 2 2 2 12 n +2 \ Tn = 2 - n ???14 分 2 Tn =
【思路点拨】( 1 )整 理 题 设 递 推 式 得 S n ? ? an ? ( )

1 2

n ?1

? 2 进 而 表 示 出 Sn - 1 ,进 而 根

n- 1 据 a n = Sn - Sn - 1 , 求 得 a n 和 a n - 1 的 递 推 式 , 整 理 得 2n an= 2 ,进而根据 an- 1 + 1

进而根据等差数列的定义判断出数列为等差数列. (2) bn = 2n an , 求 得 bn - bn- 1 = 1 , 利用错位相减法即可. 20.(本小题满分 14 分) 在如图所示的空间几何体中,平面 ACD ? 平面 ABC ,?ACD 与 ?ACB 是边长为 2 的等边 三角形, BE ? 2 , BE 和平面 ABC 所成的角为 60? ,且点 E 在平面 ABC 上的射影落在

?ABC 的平分线上.
(Ⅰ)求证: DE // 平面 ABC ; (Ⅱ)求二面角 E ? BC ? A 的余弦值. 【知识点】用 空 间 向 量 求 平 面 间 的 夹 角 ;直 线 与 平 面 平 行 的判定;与二面角有关的立体几何综合题.

13 13 解析 :解: (Ⅰ)由题意知,?ABC ,?ACD 都是边长为 2 的等边三角形,取 AC 中点 O , 连接 BO, DO ,则 BO ? AC , DO ? AC , 又∵平面 ACD ⊥平面 ABC ,∴ DO ⊥平面 ABC ,作 EF ⊥平面 ABC , 那么 EF // DO ,根据题意,点 F 落在 BO 上, ?????3 分
【答案解析】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)

∴ ?EBF ? 60? ,易求得 EF ? DO ? 3 , ∴四边形 DEFO 是平行四边形,∴ DE // OF ,∴ DE // 平面 ABC ?????7 分 (Ⅱ)解法一:作 FG ? BC ,垂足为 G ,连接 EG , ∵ EF ⊥平面 ABC ,∴ EF ? BC ,又 EF ? FG ? F , ∴ BC ? 平面 EFG ,∴ EG ? BC , ∴ ?EGF 就是二面角 E ? BC ? A 的平面角 ????10 分

Rt?EFG 中, FG ? FB ? sin 30? ?
EF ? 3 , EG =

1 , 2

13 . 2 FG 13 13 ∴ cos ? EGF .即二面角 E ? BC ? A 的余弦值为 .????14 分 = EG 13 13 解法二:建立如图所示的空间直角坐标系 O ? xyz ,
可知平面 ABC 的一个法向量为 n1 ? (0,0,1) 设平面 BCE 的一个法向量为 n 2 ? ( x, y, z )

?n2 ? BC ? 0 则, ? 可求得 n2 ? (?3, 3 ,1) . ? ? n ? BE ? 0 ? 2
所以 cos ? n1 , n2 ??

??10 分

n1 ? n2 13 ? , | n1 | ? | n2 | 13

所以二面角 E ? BC ? A 的余弦值为

13 . 13

????14 分

【思路点拨】( Ⅰ ) 取 AC 中 点 O , 连 接 BO , DO , 由 题 设 条 件 推 导 出 DO ⊥ 平 面 ABC , 作 EF ⊥ 平 面 ABC , 由 已 知 条 件 推 导 出 ∠ EBF=60 °, 由 此 能 证 明 DE ∥ 平 面 ABC . ( Ⅱ ) 法 一 : 作 FG ⊥ BC , 垂 足 为 G , 连 接 EG , 能 推 导 出 ∠ EGF 就 是 二 面 角 E-BC-A 的 平 面 角 , 由 此 能 求 出 二 面 角 E-BC-A 的 余 弦 值 . 法 二 :以 OA 为 x 轴 ,以 OB 为 y 轴 ,以 OD 为 z 轴 ,建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O-xyz ,利 用 向 量 法 能 求 出 二 面 角 E-BC-A 的 余 弦 值 . 21.(本小题满分 15 分) 函 数 f ( x) ? log a ( x ? 3a )(a ? 0, 且a ? 1) , 当 点 P( x, y ) 是 函 数 y ? f ( x) 图 象 上 的 点 时 ,
Q( x ? a, ? y ) 是函数 y ? g ( x) 图象上的点.

(1)写出函数 y ? g ( x) 的解析式; (2)当 x ? ? a ? 3, a ? 4? 时,恒有 f ( x) ? g ( x) ? 1 ,试确定 a 的取值范围. 【知识点】 相关点法; 一元二次不等式的解法; 分类讨论的思想方法; 不等式恒成立的问题; 函数的单调性. 【答案解析】(1)y=loga

1 (x>2a) (2) (0,1) x ? 2a
? x ? x0 ? a , ? y ? ? y0

解析 :解:(Ⅰ)设P(x0,y0)是y=f(x)图象上点,Q(x,y),则 ?

∴?

? x0 ? x ? a ? y0 ? ? y

∴-y=loga(x+a-3a),∴y=loga

1 (x>2a) x ? 2a

----------- 5分

(2) 令 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? log a [( x ? 2a )( x ? 3a )] ? log a [( x ? 由?
? x ? 2a ? 0, 3 得 x ? 3a ,由题意知 a ? 3 ? 3a ,故 a ? , x ? 3 a ? 0 , 2 ?

5a 2 a 2 ) ? ] 2 4

从而 (a ? 3) ?

5a 3 ? (a ? 2) ? 0 , 2 2

故函数 f ( x) = ( x -

5a 2 a 2 ) 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上单调递增 2 4

------------------8 分

(1)若 0 ? a ? 1 ,则 ? ( x) 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上单调递减, 所以 ? ( x) 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上的最大值为 ? (a ? 3) ? log a (2a 2 ? 9a ? 9) . 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上不等式 f ( x) ? 1 恒成立,等价于不等式 log a (2a 2 ? 9a ? 9) ? 1 成立, 从而 2a 2 ? 9a ? 9 ? a ,解得 a ? 结合 0 ? a ? 1 得 0 ? a ? 1 . (2)若 1 ? a ?
5? 7 5? 7 或a ? . 2 2 ------------------------------------11 分

3 ,则 ? ( x) 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上单调递增, 2

所以 ? ( x) 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上的最大值为 ? (a ? 4) ? log a (2a 2 ? 12a ? 16) . 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上不等式 ? ( x) ? 1 恒成立, 等价于不等式 log a (2a 2 ? 12a ? 16) ? 1 成立, 从而 2a 2 ? 12a ? 16 ? a ,即 2a 2 ? 13a ? 16 ? 0 ,解得 易知
13 ? 41 3 ? ,所以不符合. 4 2 13 ? 41 13 ? 41 ?a? . 4 4

-----------------------14 分 ----------------------------15 分

综上可知: a 的取值范围为 (0,1) .

【思路点拨】 (1)利用相关点法找到P(x0,y0)与Q(x,y)坐标直间的关系,代入函数 y ? f ( x) 的解析式即可; (2)令 f ( x) = f ( x) - g ( x) ,然后判断出 ? ( x) 在区间 [a ? 3, a ? 4] 上单调递 增,再利用分类讨论求出 a 的取值范围即可. 22. (本小题满分 l5 分) 已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 上有一点 Q (2, y0 ) 到焦点 F 的距离为
2

5 . 2

(1)求 p 及 y0 的值.

(2)如图, 设直线 y ? kx ? b 与抛物线交于两点 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), 且 y1 ? y2 ? 2 ,过弦 连接 AD, BD .试判断 ?ABD 的 AB 的中点 M 作垂直于 y 轴的直线与抛物线交于点 D , 面积是否为定值?若是,求出定值;否则,请说明理由。

【知识点】抛 物 线 的 标 准 方 程 及 其 性 质 ; 弦 长 公 式 ; 直 线 与 抛 物 线 相 交 问 题 ; 根 与系数的关系;三角形的面积计算公式. 【答案解析】(1) p = 1 , y0 ? ?2 (2) ?ABD 的面积是定值, S = 解析 :解:(1)焦点 ?

1 . 2

p 5 ?p ? ,0?,2 ? ? , p ?1 2 2 ?2 ?

------------------3 分

? y 2 ? 2 x, 代入 Q(2, y0 ) ,得 y0 ? ?2
(2)联立 ?

-----------------------5 分
2

? y ? kx ? b
2 ? y ? 2x

,得 k x ? 2(kb ? 1) x ? b ? 0(k ? 0), ? ? 0, 即 1 ? 2kb ? 0
2 2

x1 ? x2 ?

2(1 ? kb) b2 , x x ? 1 2 k2 k2

-----------------------8 分

4(1 ? 2kb) 2 2 2 y1 ? y2 ? k 2 x1 ? x2 ? k 2 ?? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? ? ? 4,1 ? 2kb ? k 2 ----10 分 2 ? ? k 1 ? kb 1 1 1 -----------------------12 分 M ( 2 , ), D( 2 , ) k k 2k k
??ABC 的面积 S ?

1 1 1 ? 2kb 1 MD y1 ? y2 ? ? ? 2 ? -----------------15 分 2 2 2 2k 2
2

【思路点拨】 (1)由 抛 物 线 C :y =2px( p > 0 ) ,可 得 焦 点 ,利 用 弦 长 公 式 可 得 p .把 点 Q( 2, y0) 代 入 抛 物 线 方 程 可 得 y0. (2)把 直 线 的 方 程 与 抛 物 线 方 程 联 立 可 得 △ > 0 及 根 与 系 数 的 关 系 , 再 利 用 三 角形的面积公式即可得出.


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