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辽宁省抚顺市重点高中协作校2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 理

抚顺市协作校高二年级下学期期末考试 高二数学(理)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,考试时间为 120 分钟,满分 150 分。 第 I 卷(60 分) 一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1. 已知复数 z ? 1 ? i ,则 A.2 B.-2
2

z2 ? z ?1
C.2i
n ?1

( D.-2i =-

)

2.用数学归纳法证明 1+ a + a +?+ a 边的项是( A.1 C.1+ a + a
2

1 ? a n?2 * ( a ≠1,n∈N ),在验证 n=1 成立时,左 1? a

) B.1+ a D.1+ a + a + a
2 4

3.已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1),且 P(2≤X≤4)=0.682 6,则 P(X>4)等于( A.0.1588 B.0.1587 C.0.1586 D.0.1585

)

4.某中学从 4 名男生和 3 名女生中推荐 4 人参加某高校自主招生考试,若这 4 人中必须既有男生又 有女生,则不同的选法共有 ( A.140 种 B.120 种 )

C.35 种 D.34 种

5.有两排座位,前排 11 个座位,后排 12 个座位,现安排 2 人就座,规定前排中间的 3 个座位不能 坐,并且这 2 人不 左右相邻,那么不同排法的种数是 . A.234 6. B.346 C.350 D.363

已知 x ? 2 是函数 f ( x) ? x 3 ? 3ax ? 2 的极小值点, 那么函数 f ( x) 的极大值为 A. 15 B. 16 C. 17 D. 18

7.若 f ( x ) ?

ln x , e ? b ? a ,则 x
B. f (a) ? f (b) C. f (a) ? f (b) D. f (a) f (b) ? 1 )

A. f (a) ? f (b)

2 2 2 2 ? 1dx,S3=? exdx,则 S1,S2,S3 的大小关系为( 8.若 S1=? x d x , S = 2 ? ? ? 1 1

x

1

A.S1<S2<S3 C.S2<S3<S1

B.S2<S1<S3 D.S3<S2<S1

9.四位外宾参观某场馆需配备两名安保人员.六人依次进入校门,为安全起见,首尾一定是两名安保

1

人员,外宾甲乙要排在一起,则六人的入门顺序的总数是 A. 12 B. 24
n

C. 36

D. 48

2? ? 10.若 ? x ? 2 ? 展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是 x ? ?
A.180 B.120 C.90 ,则 D.45

? 11.设
A.0

2?x

?

10

? a0 ? a1 x ? a 2 x 2 ? ? ? ? ? a10 x10


错误!未找到引用源。的值为( B.-1 C.1 D.

12.已知函数 f ( x) ?

1 3 1 2 m?n ( ,) x ? mx ? x 的两个极值点分别为 x 1, x 2 , 且 0 ? x 1? 1 ? x 2 , 点 Pmn 3 2 2
)

表示的平面区域内存在点 ( x0 , y0 ) 满足 y0 ? loga ( x0 ? 4) ,则实数 a 的取值范围是( A. (0, ) ? (1,3)

1 2

B. (0,1) ? (1,3)

C. ( ,1) ? (1,3? 第Ⅱ卷(90 分)

1 2

D. (0,1) ? ?3, ??)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 3+i 13. 已知复数 z= ,则|z|=________. 2 ?1- 3i? 14. 圆 x ? y ? r 在 点 ?x0 , y0 ? 处 的 切 线 方 程 为 x0 x ? y0 y ? r 2 , 类 似 地 , 可 以 求 得 椭 圆
2 2 2

x2 y2 ? ? 1 在 ?4,2? 处的切线方程为________. 32 8
15.已知 (1 ? ax)(1 ? x) 5 的展开式中 x 的系数为 5 ,则 a ?
2

.

16. 若 a ? 1 , 函 数 f ( x)?

2

x ? 2 x? 2与 a g ( x) ? x ?1 ? x ? a 有 相 同 的 最 小 值 , 则

?

a

1

f ( x)dx ?



三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 已知复数 z 同时满足下列两个条件: ① z 的实部和虚部都是整数,且在复平面内对应的点位于第四象限; ②1 ? z ?

2 ?4. z

(Ⅰ)求出复数 z ;

2

(Ⅱ)求 | z ?

2?i |. 2?i

18. (本题满分 12 分) 已知 ( x ?

2 n ) 的展开式中,只有第六项的二项式系数最大. x2

(Ⅰ)求该展开式中所有有理项的项数; (Ⅱ)求该展开式中系数最大的项.

19.(本题满分 12 分) 为了了解在校学生“通过电视收看世界杯”是否与性别有关,从全校学生中随机抽取 30 名学生进行 了问卷调查,得到了如下列联表: 男生 收看 不收看 合计 10 8 30 女生 合计

已知在这 30 名同学中随机抽取 1 人,抽到“通过电视收看世界杯”的学生的概率是

8 . 15

(I)请将上面的列联表补充完整,并据此资料分析“通过电视收看世界杯”与性别是否有关? (II)若从这 30 名同学中的男同学中随机抽取 2 人参加一活动,记“通过电视收看世界杯”的人数为

X , 求 X 的期望 E ? X ? .
2 (参考公式: K ?

n(ad ? bc) 2 , 错误!未找到引用源。) (a ? b)(a ? c)(c ? d )(b ? d )
P( K 2 ? k )
k
0.050 3.841 0.010 6.635

20.(本小题满分 12 分) 甲、乙、丙三位同学商量高考后外出旅游,甲提议去古都西安,乙提议去海上花园厦门,丙表示随 意.最终,三人商定以抛硬币的方式决定结果.规则是:由丙抛掷硬币若干次,若正面朝上,则甲

3

得一分、乙得零分;若反面朝上,则乙得一分、甲得零分,先得 4 分者获胜.三人均执行胜者的提 议.若记所需抛掷硬币的次数为错误!未找到引用源。. (1)求错误!未找到引用源。的概率; (2)求错误!未找到引用源。的分布列和数学期望.

21.(本小题满分 12 分 ) 已知曲线 f ( x) ? ? x3 ? 2 x2 ? 2ax ? 8 在 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 垂直. (Ⅰ)求 f ( x ) 解析式; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间和极值; (Ⅲ)已知函数 g ( x) ? f ( x) ? x ? 2mx ,若对任意 x1 , x2 ? [1, 2] ,总有( x1 ? x2 )[ g ( x1 ) ?
2

g ( x2 )] ? 0, 求实数 m 的取值范围.

请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 做答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.

22.(本小题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 如图所示, AB 为圆 O 的直径, CB , CD 为圆 O 的切线,

B , D 为切点.
⑴ 求证: AD // OC ; ⑵ 若圆 O 的半径为 2 ,求 AD ? OC 的值.

23.(本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 ? 2 cos? ( ? 为参数). ? y ? ?4 ? 2 sin ?

⑴ 以原点为极点、 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程;

4

⑵ 已知 A(?2,0), B(0, 2) ,圆 C 上任意一点 M ( x, y ) ,求 ? ABM 面积的最大值. 24、(本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 已知 a, b ? R , f ? x ? ? x ? a ? 2x ?
?

2 b

(1)求 f ? x ? 的最大值; (2)若 f ? x ? 的最大值为 5,求

1 ? b 的最小值。 a

5

抚顺十中 2014-2015 下学期期末考试 理科数学答案 一. ACBDB 二. 13.1/2 选择题 DBBBA CB 填空题 14.

x y ? ?1 8 4

15.-1

16.28/3

三.解答题 17.解:(Ⅰ)设 z ? a ? bi(a, b ? Z , 且a ? 0, b ? 0) , 17. 则z?

2 a(a 2 ? b 2 ? 2) b(a 2 ? b 2 ? 2) ? ? i z a2 ? b2 a2 ? b2

????2 分

?b(a 2 ? b 2 ? 2) ? 0(1) 2 ? , ? 1 ? z ? ? 4 ,? ? a(a 2 ? b 2 ? 2) z 1 ? ? 4 ( 2 ) ? a2 ? b2 ?
由(1)知:? b ? 0,? a 2 ? b 2 ? 2 . 代入(2)得: 1 ?

????4 分

????5 分

4a 1 ? 4 ,即 ? a ? 2 . 2 2

????6 分

?a ? 1 , ? a, b ? Z , a ? 0, b ? 0 ,? ? ?b ? ?1
? z ? 1? i .
(Ⅱ)由题意: z ? ????8 分

2?i 3 4i 8 1 ? 1? i ? ? ? ? i , 2?i 5 5 5 5

????10 分

?| z ?

2?i 8 1 64 1 65 |?| ? i |? ? ? . 2?i 5 5 25 25 5
n ? 1 ? 6 ,? n ? 10 . 2
10 ?5 r 2

????12 分

解:(Ⅰ)由题意可知: 18.
r ?Tr ?1 ? C10 x 10 ?r 2

????1 分

r 2 r x ?2r ? C10 2r x

, (0 ? r ? 10, 且r ? N )

???3 分

要求该展开式中的有理项,只需令

10 ? 5r ?Z , 2

????4 分

? r ? 0,2,4,6,8,10 ,所有有理项的项数为 6 项.
(Ⅱ)设第 Tr ?1 项的系数最大,

????6 分

6

1 ?2 ? r r r ?1 r ?1 ? ? C 2 ? C 2 ? 10 ? r 11 ? r 10 则? r r ,即 ? , r ?1 r ?1 ? ? 1 ? 2 ?C10 2 ? C10 2 ? ?10 ? r r ? 1
解得:

????8 分

19 22 ?r? ,? r ? N ,得 r ? 7 . 3 3
?25 2

????10 分
?25 2

7 7 ? 展开式中的系数最大的项为 T8 ? C10 2 x

? 15360 x

.

????12 分

(Ⅰ) 19. 男生 收看 不收看 合计 10 6 16 女生 6 8 14 合计 16 14 30

由已知数据得:错误!未找到引用源。 所以,没有充足的理由认为“通过电视收看世界杯”与性别有关 ..........6 分 (Ⅱ) X 的可能取值为 0,1, 2. 错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。 所以 X 的分布列为:

X P

0

1

2

错误! 未找 错误! 未找 错误! 未找 到引用源。 到引用源。 到引用源。

错误!未找到引用源。的期望为:错误!未找到引用源。............12 分 20. 解:(1)抛掷硬币正面向上、反面向上的概率都为错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。 ...........6 分 (2)X 的分布列为: X P 4 错误!未找 到引用源。 5 错误!未找 到引用源。 6 错误!未找 到引用源。 7 错误!未找 到引用源。

所以,错误!未找到引用源。.........................12 分 21. 解:(Ⅰ)对 f ( x ) 求导 f ?( x) ? ?3x ? 4 x ? 2a ,
2

由题意 f ?(1) ? ?3 ? 4 ? 2a ? ?3

?????1 分 ??????2 分

? a ? 2 ,? f ( x) ? ? x3 ? 2x2 ? 4x ? 8 .
(Ⅱ) f ( x) ? ?3x ? 4 x ? 4 ? ?(3x ? 2)( x ? 2)
/ 2

7

由 f / ( x) ? 0 得 ?2 ? x ?

2 2 ,由 f / ( x) ? 0 得 x ? 或 x ? ?2 3 3
2

?????4 分

∴单调增区间为 ? ?2, ? ,单减区间为 (??, ?2) , ( , ??) 3 3

? ?

2? ?

?????5 分

2 13 f ( x) 极小值= f (?2) ? 0 , f ( x) 极大值= f ( ) ? 9 3 27

????6 分 ?????8 分

(Ⅲ) g ( x) ? ? x3 ? x2 ? (4 ? 2m) x ? 8 , 由题意知 g ( x) 在 x ? [1,2] 上为增函数, 即 g ?( x) ? ?3x2 ? 2x ? (4 ? 2m) ? 0 在 x ? [1,2] 恒成立. ????9 分

? 2m ? ?3x 2 ? 2 x ? 4 在 x ? [1,2] 恒成立.
令 h( x) ? ?3x ? 2x ? 4 ,只需 2m ? h( x)min ,
2

?????10 分

? h( x) 在 x ? [1,2] 上为减函数,? h( x)min ? h(2) ? ?12 ,
? m ? ?6 ,所以实数 m 的取值范围为 (??, ?6] .
??????12 分

22.解: (1) 连接 BD, OD,? CB, CD 是圆 O 的两条切线,? BD ? OC , 又 AB 为直径, ? AD ? DB , AD // OC . 5分 (2)由 AD // OC ,??DAB ? ?COB ,? Rt ?BAD ∽ Rt ?COB ,

AD AB ? , AD ? OC ? AB ? OB ? 8 . OB OC ? x ? 3 ? 2 cos? 23.解:(1)圆 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ? y ? ?4 ? 2 sin ?
所以普通方程为 ( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 4 .
2 2

10 分

2分

5分 ? 圆 C 的极坐标方程: ? 2 ? 6? cos? ? 8? sin ? ? 21 ? 0 . | 2 cos? ? 2 sin ? ? 9 | (2)点 M ( x, y ) 到直线 AB : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ? 2 7分

1 ? ?ABM 的面积 S ? ? | AB | ?d ?| 2 cos ? ? 2 sin ? ? 9 |?| 2 2 sin( ? ? ) ? 9 | 2 4 所以 ?ABM 面积的最大值为 9 ? 2 2 10 分

8

9


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