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专题五 直线与圆锥曲线


步步高大一轮复习讲义

专题五 直线与圆锥曲线

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要点梳理

忆一忆知识要点

1.直线与圆锥曲线的位置关系 (1)从几何角度看,可分为三类:无公共点,仅有一个公 共点及有两个相异的公共点. (2)从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲 线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断. 设直 线 l 的方程为 Ax+By+C=0,圆锥曲线方程 f(x,y)=0. ?Ax+By+C=0 ? 由? ,消元 ?f(x,y)=0 ? 如消去 y 后得 ax2+bx+c=0.

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要点梳理

忆一忆知识要点

①若 a=0,当圆锥曲线是双曲线时,直线 l 与双曲线的渐近线 平行或重合;当圆锥曲线是抛物线时,直线 l 与抛物线的对称 轴平行(或重合). ②若 a≠0,设 Δ=b2-4ac. a.Δ > 0 时,直线和圆锥曲线相交于不同两点; b.Δ = 0 时,直线和圆锥曲线相切于一点; c.Δ < 0 时,直线和圆锥曲线没有公共点.

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要点梳理

忆一忆知识要点

2.直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 (1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1,y1),P2(x2, 1 2 y2),则所得弦长|P1P2|= 1+k |x1-x2|或|P1P2|= 1+ 2 k |y1-y2|. (2)当斜率 k 不存在时,可求出交点坐标,直接运算(利用 轴上两点间距离公式). (3)求经过圆锥曲线的焦点的弦的长度,应用圆锥曲线的 定义,转化为两个焦半径之和,往往比用弦长公式简捷.

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要点梳理

忆一忆知识要点

3.圆锥曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. 在 x2 y2 椭圆 2+ 2=1 中,以 P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜 a b b2x0 x2 y2 率 k=- 2 ;在双曲线 2- 2=1 中,以 P(x0,y0)为中点 a y0 a b b2x0 的弦所在直线的斜率 k= 2 ;在抛物线 y2=2px (p>0)中, a y0 p 以 P(x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率 k= . y0

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[难点正本

疑点清源]

1.直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系,从几何角度可分为三类:无 公共点,仅有一个公共点及有两个相异公共点. 还可通过代数方法即解方程组的办法来研究. 因为直线与 圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题,实际上是研 究它们的方程组成的方程是否有实数解或实数解的个数 问题,此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.

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2.直线与圆锥曲线的位置关系,主要涉及弦长、弦中点、对 称、参数的取值范围、求曲线方程等问题.解题中要充分 重视韦达定理和判别式的应用. 当直线与圆锥曲线相交时:涉及弦长问题,常用“韦达定 理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦长的 中点问题,常用“点差法”设而不求,将弦所在直线的斜 率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.同时还应充分挖 掘题目中的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转化,往 往就能事半功倍. 解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点, 韦达定理 求弦长,根的分布找范围,曲线定义不能忘”.

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直线与圆锥曲线的位置关系
例 1 已知定圆 A:(x+1)2+y2=16,圆心为 A,动圆 M 过点 B(1,0)且和圆 A 相切,动圆的圆心 M 的轨迹记为 C. (1)求曲线 C 的方程; (2)若点 P(x0,y0)为曲线 C 上一点,求证:直线 l:3x0x+ 4y0y-12=0 与曲线 C 有且只有一个交点.

对于第(1)问,利用“定义法”易得轨迹 C 的方程;对于 第(2)问,在消元过程中,应对斜率存在与否进行讨论, 即对 y0 进行分类讨论.

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(1)解

圆 A 的圆心为 A(-1,0),半径 r1=4,设动圆 M 的圆心

M 为(x,y),半径为 r2,依题意有 r2=|MB|.由|AB|=2,可知点 B 在圆 A 内,从而圆 M 内切于圆 A,故|MA|=r1-r2,即|MA| +|MB|=4,所以点 M 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆,设椭 x2 y2 圆方程为 2+ 2=1,由 2a=4,2c=2,可得 a2=4,b2=3. a b

x2 y2 故曲线 C 的方程为 + =1. 4 3 2 2 x0 y0 ? =1,可得 x0=± (2)证明 当 y0=0 时,由 2. 4 3 ①当 x0=2,y0=0 时,直线 l 的方程为 x=2,此时直线 l 与曲
线 C 有且只有一个交点(2,0).

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②当 x0=-2,y0=0 时,直线 l 的方程为 x=-2,此时直线 l 与曲线 C 有且只有一个交点(-2,0).
12-3x0x 当 y0≠0 时,直线 l 的方程为 y= , 4y0 ? 12-3x0x ?y= 4y0 , 联立方程组,得? 2 2 ?x +y =1. ?4 3 2 2 2 2 消去 y,得(4 y0 ? 3x0 ) x ? 24x0 x ? 48 ?16y0 ? 0. (*) 2 2 x0 y0 由点 P(x0,y0)为曲线 C 上一点,得 ? =1. 4 3 2 于是方程(*)可化简为 x2-2x0x+ x0 =0,解得 x=x0,
12 ? 3x0 x 把 x=x0 代入方程 y= ,可得 y=y0. 4 y0 故直线 l 与曲线 C 有且只有一个交点 P(x0,y0).

综上, 直线 l 与曲线 C 有且只有一个交点, 且交点为 P(x0, 0). y

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探究提高
将直线与圆锥曲线的两个方程联立成方程组, 然后判断方程组 是否有解,有几个解,这是直线与圆锥曲线的位置关系的判断 方法中最常用的方法,注意:在没有给出直线方程时,要对是 否有斜率不存在的直线的情况进行讨论,避免漏解.

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变式训练 1
在平面直角坐标系 xOy 中,经过点(0, 2)且斜率为 k 的直 x2 2 线 l 与椭圆 +y =1 有两个不同的交点 P 和 Q. 2 (1)求 k 的取值范围; (2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A、B, → → → 是否存在常数 k,使得向量OP+OQ与AB垂直?如果存在, 求 k 值;如果不存在,请说明理由.
解 (1)由已知条件,直线 l 的方程为 y=kx+ 2, x2 代入椭圆方程得 +(kx+ 2)2=1, 2 ?1 ? 2 2 整理得?2+k ?x +2 2kx+1=0. ? ?



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直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于①中 ?1 ? 2 2 Δ=8k -4?2+k ?=4k2-2>0, ? ? 2 2 解得 k<- 或 k> . 2 2 ? ? 2? ? 2 ? ? ? 即 k 的取值范围为?-∞,- ?∪? ,+∞?. ? 2? ?2 ? ?
(2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2), → → 则OP+OQ=(x1+x2,y1+y2) 4 2k 由方程①得,x1+x2=- 2, 1+2k -4 2k2 y1+y2=k(x1+x2)+2 2= +2 2. 1+2k2

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→ → → ∵(OP+OQ)⊥AB,∴(x1+x2)· 2)+y1+y2=0, (- 4 2k 4 2k2 即:- (- 2)- 2· 2+2 2=0. 1+2k 1+2k 2 2 1 解得:k=- ,由(1)知 k > ,与此相矛盾, 4 2 → → → 所以不存在常数 k 使OP+OQ与AB垂直.

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圆锥曲线中的弦长问题
例 2 设点
? 3? F?0,2?,动圆 ? ?

3 P 经过点 F 且和直线 y=- 相切, 2

记动圆的圆心 P 的轨迹为曲线 W. (1)求曲线 W 的方程; (2)过点 F 作互相垂直的直线 l1,l2 分别交曲线 W 于 A,B 和 C,D.求四边形 ACBD 面积的最小值. 3 解 (1)过点 P 作 PN 垂直于直线 y=- 于点 N,依题意得|PF| 2 ? 3? 3 ?0, ?为焦点, =|PN|, 所以动点 P 的轨迹是以 F 直线 y=- 为 2? 2 ?
准线的抛物线,即曲线 W 的方程是 x2=6y.

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(2)如图所示,依题意,直线 l1,l2 的斜率存 3 在且不为 0,设直线 l1 的方程为 y=kx+ , 2 1 3 由 l1⊥l2 得 l2 的方程为 y=-kx+ . 2 3 将 y=kx+ 代入 x2=6y,化简得 x2-6kx-9=0, 2
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=6k,x1x2=-9, ∴|AB|= (x1-x2)2+(y1-y2)2 = (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=6(k2+1). ?1 ? 同理可得|CD|=6?k2+1?, ? ? 1 ∴四边形 ACBD 的面积 S= |AB|· |CD| 2 ?1 ? ? ? 1 2 2 =18(k +1)?k2+1?=18?k +k2+2?≥72. ? ? ? ? 主页

1 当且仅当 k = 2,即 k=± 时,Smin=72, 1 k
2

故四边形 ACBD 面积的最小值是 72.

探究提高
由直线与圆锥曲线的方程联立解方程组是解决这类问题的通 法,而相关的最值的讨论求解往往需要建立目标函数,进一步 转化为函数法或不等式法来求解.

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变式训练 2
y2 x2 设 A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆 2+ 2=1 (a>b>0)上的两点,已 a b ?x1 y1 ? ?x2 y2? 知向量 m=? b , a ?,n=? b , a ?,若 m· n=0 且椭圆的离心率 ? ? ? ? 3 e= ,短轴长为 2,O 为坐标原点. 2 (1)求椭圆的方程; (2)若直线 AB 的斜率存在且直线 AB 过椭圆的焦点 F(0,c)(c 为半焦距),求直线 AB 的斜率 k 的值; (3)试问:△AOB 的面积是否为定值?如果是,请给予证明; 如果不是,请说明理由.

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(1)由题意知 2b=2,b=1, a2-b2 c 3 e=a= a = ,则 a=2,c= 3. 2 y2 2 故椭圆的方程为 +x =1. 4



(2)由题意,设直线 AB 的方程为 y=kx+ 3, ?y=kx+ 3 ? 2 由?y ,得(k2+4)x2+2 3kx-1=0, +x2=1 ?4 ? -2 3k -1 ∴x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . k +4 k +4

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x1x2 y1y2 由 m· n=0,得: 2 + 2 b a 1 =x1x2+ (kx1+ 3)(kx2+ 3) 4 ? k2? 3k 3 ?1+ ?x1x2+ = (x +x2)+ 4? 4 1 4 ? 1 ? k2+4? 3k -2 3k 3 ? ? - = + · + =0, 4 ? k2+4? 4 k2+4 4 ? ? 解得 k=± 2.
(3)①当直线 AB 的斜率不存在时, 即 x1=x2,y1=-y2, y12 2 由 m· n=0,得 x1 ? ? 0,即y12 ? 4 x12 , 4

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y12 2 ? 1. 又 A(x1,y1)在椭圆上,所以 x1 ? 4 2 所以|x1|= ,|y1|= 2, 2
1 所以 S△AOB= |x1|· 1-y2|=|x1|· 1|=1, |y |y 2 所以△AOB 的面积为定值.
②当直线 AB 的斜率存在时: 设直线 AB 的方程为 y=kx+b, ?y=kx+b ? 2 由?y ,得(k2+4)x2+2kbx+b2-4=0, 2 ? 4 +x =1 ? -2kb b2-4 则 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 , k +4 k +4 (kx1+b)(kx2+b) y1y2 由 x1x2+ =0,得 x1x2+ =0, 4 4

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整理得:2b2-k2=4, 1 |b| 所以 S△AOB= · |AB| 2 1+k2 1 = |b| (x1+x2)2-4x1x2 2 |b| 4k2-4b2+16 4b2 = = =1, 2 2|b| k +4
所以△AOB 的面积为定值.

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圆锥曲线中的定值或定点问题
例 3 已知定点 C(-1,0)及椭圆 x2+3y2=5,过点 C 的动直线 与椭圆相交于 A,B 两点,在 x 轴上是否存在点 M,使 → → MA· 为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在, MB 请说明理由.

分斜率存在和不存在两种情况讨论,假设存在,那么数量积 → → MA· 应该与直线的方向无关. MB

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→ → 假设在 x 轴上存在点 M(m,0), 使MA· 为常数. A(x1, MB 设

y1),B(x2,y2).

①当直线 AB 与 x 轴不垂直时,直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y=k(x+1),将 y=k(x+1)代入 x2+3y2=5, 消去 y 整理,得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0.
?Δ=36k4-4(3k2+1)(3k2-5)>0, ? 6k2 ?x1+x2=- 2 , 3k +1 则? ? 3k2-5 ?x1·2= 2 x . 3k +1 ? → → 所以MA · =(x1 -m)(x2 -m)+y1y2 =(x1 -m)(x2 -m)+k2(x1 MB +1)(x2+1)=(k2+1)x1x2+(k2-m)(x1+x2)+k2+m2.

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→ → (6m-1)k -5 整理,得MA· = MB +m2 2 3k +1 ? 1? 2 14 ?2m- ?(3k +1)-2m- 3? 3 ? = +m2 3k2+1 1 6m+14 2 =m +2m- - . 3 3(3k2+1) → → 注意到MA· 是与 k 无关的常数,从而有 6m+14=0,m= MB 7 → → 4 - ,此时MA· = . MB 3 9 ②当直线 AB 与 x 轴垂直时,此时点 A,B 的坐标分别为 ? ? 2? 2? ? ? ? A?-1, ?、B?-1,- ?, 3? 3? ? ? ? 7 → → 4 当 m=- 时,亦有MA· = . MB 3 9 ? 7 ? → → 综上,在 x 轴上存在定点 M?-3,0?,使MA· 为常数. MB ? ?

2

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探究提高
→ → 本题的难点是由MA· 的表达式,如何确定 m 值使其与直线的 MB 斜率无关,化解的方法就是对 k 进行集项,只有当 k 的系数等于 1 6m+14 2 零时, 式子的值才能与 k 无关, 即在 m +2m- - 中 6m 3 3(3k2+1) +14=0.本题当然也可以先通过特殊位置确定数量积的值和 M 的 坐标,再进行具体证明.

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变式训练 3
椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,该椭圆经过点 ? 3? 1 P?1,2?且离心率为 . 2 ? ? (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是 左右顶点),且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证: 直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.
x2 y2 (1)解 设椭圆方程为 2+ 2=1 (a>b>0), a b c 1 由 e=a= ,得 a=2c, 2

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∵a2=b2+c2,∴b2=3c2, x2 y2 则椭圆方程变为 2+ 2=1. 4c 3c ? 3? 又椭圆过点 P?1,2?,将其代入求得 c2=1, ? ? 故 a2=4,b2=3,
x2 y2 即得椭圆的标准方程为 + =1. 4 3
(2)证明 设 A(x1,y1),B(x2,y2), ?y=kx+m, ? 2 2 联立?x y ? 4 + 3 =1, ? 得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2-3)=0.

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?Δ=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)>0, ? ?x1+x2=- 8mk 2, 3+4k 则? ? 4(m2-3) ?x1·2= x . 3+4k2 ?



又 y1y2 = (kx1 + m)(kx2 + m) = k2x1x2 + mk(x1 + x2) + m2 = 3(m2-4k2) . 3+4k2
∵椭圆的右顶点为 A2(2,0),AA2⊥BA2, ∴(x1-2)(x2-2)+y1y2=0, ∴y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0,

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3(m2-4k2) 4(m2-3) 16mk ∴ + + +4=0, 3+4k2 3+4k2 3+4k2 2k ∴7m +16mk+4k =0,解得 m1=-2k,m2=- , 7 由①,得 3+4k2-m2>0,
2 2

当 m1=-2k 时,l 的方程为 y=k(x-2),直线过定点(2,0),与 已知矛盾. ? ?2 ? 2? 2k 当 m2=- 时,l 的方程为 y=k?x-7?,直线过定点?7,0?, 7 ? ? ? ? ?2 ? ∴直线 l 过定点,定点坐标为?7,0?. ? ?

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圆锥曲线中的最值(或取 值范围)问题
x2 2 例 4 已知椭圆 +y =1 的左焦点为 F,O 为坐标原点. 2 (1)求过点 O、F,并且与直线 l:x=-2 相切的圆的方程; (2)设过点 F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于 A,B 两 点,线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 G,求点 G 横坐 标的取值范围.
(1)求出圆心和半径,得出圆的标准方程; (2)设直线 AB 的点斜式方程,由已知得出线段 AB 的垂直平分 线方程,利用求值域的方法求解.

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(1)∵a2=2,b2=1,∴c=1,F(-1,0), 1 ∵圆过点 O,F,∴圆心 M 在直线 x=- 上. 2 ? 1 ? ?? 1? ? 3 设 M?-2,t?,则圆半径 r=??-2?-(-2)?= , ? ? ?? ? ? 2 ? 1? 3 2 2 ?- ? +t = ,解得 t=± 2, 由|OM|=r,得 2 ? 2? ? 1?2 9 ?x+ ? +(y± 2)2= . ∴所求圆的方程为 2? 4 ? 解
(2)设直线 AB 的方程为 y=k(x+1) (k≠0), x2 2 代入 +y =1, 2 整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.

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∵直线 AB 过椭圆的左焦点 F 且不垂直于 x 轴, ∴方程有两个不等实根. 记 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 中点 N(x0,y0), 4k2 1 2k2 则 x1+x2=- 2 ,x0= (x1+x2)=- 2 , 2 2k +1 2k +1 k y0=k(x0+1)= 2 , 2k +1 ∴AB 的垂直平分线 NG 的方程为 1 y-y0=-k(x-x0). 2k2 k2 令 y=0,得 xG=x0+ky0=- 2 + 2k +1 2k2+1 k2 1 1 =- 2 =- + 2 , 2 4k +2 2k +1

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1 ∵k≠0,∴- <xG<0, 2 ∴点 G
? 1 ? 横坐标的取值范围为?-2,0?. ? ?

探究提高
直线与圆锥曲线位置关系的判断、 有关圆锥曲线弦的问题等能 很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查, 一直是高 考考查的重点, 特别是焦点弦和中点弦等问题, 涉及中点公式、 根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法,也是 考查数学思想方法的热点题型.

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变式训练 4
x2 y2 已知椭圆 C: 2+ 2=1 (a>b>0)与直线 x+y-1=0 相交于 A, a b B 两点. (1)当椭圆的半焦距 c=1,且 a2,b2,c2 成等差数列时,求椭圆 的方程; (2)在(1)的条件下,求弦 AB 的长度; 3 2 (3)当椭圆的离心率 e 满足 ≤e≤ ,且以 AB 为直径的圆经 3 2 过坐标原点 O,求椭圆长轴长的取值范围. 解 (1)由已知,得 2b2=a2+c2=b2+2c2,
又因为 c=1,所以 b2=2,a2=3, x2 y2 ∴椭圆的方程为 + =1. 3 2 主页

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), ?x+y-1=0, ? 2 2 由?x y 得 5x2-6x-3=0, ? 3 + 2 =1. ? 6 3 ∴x1+x2= ,x1·2=- . x 5 5 ∴|AB|= 2|x1-x2| 8 3 2 = 2· (x1+x2) -4x1·2= x . 5 ?x+y-1=0, ? 2 2 (3)由?x y ?a2+b2=1. ?
得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0, 由 Δ=4a2b2(a2+b2-1)>0,得 a2+b2>1.

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a2(1-b2) 2a 此时 x1+x2= 2 2,x1·2= 2 2 , x a +b a +b
2

∵以 AB 为直径的圆经过坐标原点 O, → → ∴OA· =0,∴x1x2+y1y2=0, OB

∴2x1x2-(x1+x2)+1=0,即 a2+b2-2a2b2=0, 2 2 a2 c2 a -b 故 b2= 2 ,由 e2= 2= 2 , a a 2a -1 1 2 2 2 2 2 得 b =a -a e ,∴2a =1+ 2. 1-e
3 2 5 2 3 由 ≤e≤ ,得 ≤a ≤ , 5≤2a≤ 6. 3 2 4 2

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已知定点F ?1,0 ? , 动点P在y轴上运动,过点P 【例】 ???? ??? ? ? 作PM 交x轴于点M,并延长MP到点N,且 PM · ? 0, PF ???? ???? ? PM ? PN . (1)求点N的轨迹方程; ??? ??? ? ? (2)直线l与点N的轨迹交于A,B不同两点,若OA ? OB ? ?4, 求直线l的斜率k的取值范围.

(3)在 (2)成立的条件下,若4 6 ≤ AB ≤ 4 30 ,求直 线l的斜率k的取值范围.
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???? ? ??? ? 解: )由于 PM ? PN , (1

则P为线段MN的中点,

y y ?? ? x ?·? (? ) ? (? ) ? 0, 1 2 2 2

y 设N ? x, y ?,则M ? ? x, 0 ? , P (0, ), 2 ???? ??? ? ? y y 由PM · ? 0, 得(? x, ? ) ? (1, ? ) ? 0, PF 2 2

? y ? 4 x.

所以点N的轨迹方程为y ? 4 x.
2

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? 2? 设直线l的方程是y ? kx ? m ? k ? 0? 2 2 与y ? 4 x联立消去y 得: ? m ? ? 4 x, ? kx 2 2 2 整理得k x ? ? 2km ? 4? x ? m ? 0. 设A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,
? y1 y2 ? ? kx1 ? m?? kx2 ? m?
2

2km ? 4 m 则 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? 2 . 2 k k
2

? k x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m
2

2

4m km (2km ? 4) 2 ?m ? ?m ? 2 . k k2
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??? ??? ? ? 得 由OA· ? -4, x1 x2 ? y1 y2 ? ?4, OB 2 ? m2 ? 4m ? ?4, 即 ( m ? 2) 2 ? 0, k k k

? m ? ?2k .
由于直线l与点N的轨迹交于不同的两点,

则? ? ? 2km ? 4 ? ? 4k m ? 0,即km ? 1. 把m ? ?2k 代入上式得 ? 2k 2 ? 1. 2 ? k ? ? 1 , 解得k ? 0. 2 所以当 k ? 0时,直线l与点N的轨迹有两个不同的交点.
2 2 2

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(3) AB ? ( ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] 1

(2km ? 4)2 4m2 ? ? ( ? k 2 )[ 1 ? 2 ] 4 k k

( ? k )(16 ? 16km ) 1 4 k
2

?

( ? k )(16 ? 32k ) ? 4 1 k4 k2
2 2

( ? k )(2k ? 1). 1
2 2

? 4 6 ≤ AB ≤ 4 30,
( ? k 2 )(2k 2 ? 1) 1 2 ?6 ≤ ≤ 30 ? 1 ≤ k ≤ 1. , 4 k4

解得 ? 1 ≤ k ≤ ? 1 或 1 ≤ k ≤ 1. 2 2 综上,k的取值范围是{k | ?1 ≤ k ≤ ? 1 或 1 ≤ k ≤ 1}. 2 2
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【例】

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? x0 ? 1 , a

y0 ? 1 . a

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【例 6】 (本小题满分 12 分) 如图,椭圆的中心在原点,其左焦点 F1 与抛物线 y 2 ? ?4 x 的焦点重合,过 F1 的直线 l 与椭圆交于A、B两 点,与抛物线交于 C 、D两点.当直线 l 与 x 轴垂直时, | CD |? 2 2 | AB | . (I)求椭圆的方程; ???? ???? ? ? (II)求 F2 A ? F2 B 的最大值和最小值.

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???? ???? ? ? ? F2 A ? F2 B ?

9 7k 2 ? 1 ? 7 ? . ? 2 2 2k ? 1 2 2(2k ? 1) ? k 2 ≥ 0, ?1 ? 2k 2 ≥ 1, 0 ? 1 2 ≤ 1, 1 ? 2k 9 ? ?1 ≤ 7 ? ? 7. 2 2(2k 2 ? 1) 2 ???? ???? ? ? ③从而 ? 1 ≤ F2 A ? F2 B ≤ 7 . 2

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【例7】本题满分12分

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B
M

A

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【 例 8】 抛 物 线 D 以 双 曲 线 C : 8 y 2 ? 8x 2 ? 1 的 焦 点

F (0, c), (c ? 0) 为焦点
(1)求抛物线 D 的 标准方程; (2) 过直线 l : y ? x ? 1 上的动点 P 作抛物线 D 的两条切线, 切点为 A,B.求证:直线 AB 过定点 Q,并求出 Q 的坐标; (3)在(2)的条件下,若直线 PQ 交抛物线 D 于 M,N 两 点,求证:|PM|·|QN|=|QM|·|PN|.

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解: (1)由题意, c ? 1 ? 1 ? 1 , c ? 1 ,
2

8

8

4

2

2 (2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), P( x0 , x0 ? 1),
由 x ? 2 y, 得y ' ? x. 因此y? |x ? x ? x1 ,
2
1

所以 F (0, 1 ) ,抛物线 D 的标准方程为 x ? 2 y .
2

y

抛物线 D 在点 A 处的切线方程为

A B o x

y ? y1 ? x1 ( x ? x1 ), 即y ? x1 x ? y1 .
主页 P

而 A 点处的切线过点 P( x0 , x0 ? 1), ? x0

? 1 ? x1 x0 ? y1 .
y

即 ( x1 ? 1) x0 ? 1 ? y1 ? 0.
同理 ( x2 ? 1) x0 ? 1 ? y2 ? 0.
所以点 A,B 在直线 ( x ? 1) x0 ? 1 ? y ? 0 上.
A
4

??
B

令 x ? 1 ? 0,1 ? y ? 0, 解得x ? y ? 1.
所以, 直线AB过定点Q(1, 1).

2

o P

x

主页

(3)设 P( x0 , x0 ? 1), M ( x3 , y3 ), N ( x4 , y4 ), 直线 PQ 的方程为 y ? ( x0 ? 1) ? 1 ( x ? 1) ? 1,即y ? x0 ? 2 x ? 1 . x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1

x0 ? 2 ? y? x? 1 , ? x0 ? 1 x0 ? 1 由? ? x 2 ? 2 y, ?
2( x0 ? 2) x ? 2 ? 0. 消去 y 得, x ? x0 ? 1 x0 ? 1
2

2( x0 ? 2) , x 3 x4 ? ? 2 . 由韦达定理, x3 ? x4 ? x0 ? 1 x0 ? 1
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| PM | | QM | ?| PM | ? | QN |?| QM | ? | PN |? ? | PN | | QN |

x 3 ? x0 1 ? x 3 ? ? x4 ? x0 x 4 ? 1

? ( x3 ? x0 )( x4 ? 1) ? ( x4 ? x0 )(1 ? x3 )
? 2 x3 x4 ? ( x3 ? x4 ) ? x0 ( x3 ? x4 ) ? 2 x0 ? 0.
故要证 | PM | ? | QN |?| QM | ? | PN | 成立,

只须证 2 x3 x4 ? ( x3 ? x4 ) ? x0 ( x3 ? x4 ) ? 2 x0 ? 0成立.
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? 2 x3 x4 ? ( x3 ? x4 ) ? x0 ( x3 ? x4 ) ? 2 x0
4 ? 2( x0 ? 2) ? 2 x0 ( x0 ? 2) ? 2 x ?? 0 x0 ? 1 x0 ? 1 x0 ? 1
2 2 ?4 ? 2 x0 ? 4 ? 2 x0 ? 4 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? ? 0, x0 ? 1

故2 x3 x4 ? ( x3 ? x4 ) ? x0 ( x3 ? x4 ) ? 2 x0 ? 0成立.
因而|PM|· |QN|=|QM|· |PN|成立.
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y2 x2 【9】如图,已知曲线 C1: 2 + 2 =1 (a>b>0,y≥0)与抛 a b 物线 C2:x2=2py(p>0)的交点分别为 A,B.曲线 C1 和抛物线 C2 在点 A 处的切线分别为 l1 和 l2, l1 和 l2 的斜率分别为 k1 和 k2. 且 (1)当曲线 C1 的离心率 e ? 1 时,证明 k1·2 为定值,并求出 k 2 这个定值; (2) 若直线 l2 与 y 轴的交点为 D(0, ?2) ,当 a2+b2 取得最小值 9 时,求曲线 C1 和 C2 的方程.

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1 a2 , 即 a 2 ? 4 . ?a ? b ? 4 b2 3
2 2

主页

主页

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x2 y 2 【10】已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 a b 2 2 ,且右焦点 F 到直线 x ? ? a 的距离为 3. e? c 2 (1)求椭圆 C 的方程; 2 (2)又已知点 A 为抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上一点,直 线 FA 与椭 圆 C 的 交点 B 在 y 轴 的 左 侧, 且 满足 ??? ? ??? ? AB ? 2FA, 求p 的最大值.

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x2 y 2 解: (1)? 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)的离心率e ? 2 , a b 2

c 2 ? ? . ① a 2 2 2 a 的距离 d ? c ? a ? 3. ② 右焦点到直线 x ? ? c c 由①②解之得 a ? 2, c ? 1, 从而b ? 1.
x2 2 从而所求椭圆方程为 ? y ? 1. 2

2 设 c ? 2k , a ? 2k ? k ? 2
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( 2 ) 椭 圆 的 右 焦 点 为 F(1,0), 点 B 在 椭 圆 x2 ? y 2 ? 1( x ? 0) 上, 2

设B( x0 , y0 ), 其中 ? 2 ≤ x0 ? 0. ??? ? ??? ? 由AB ? 2FA, 得 ( x0 ? xA , y0 ? yA ) ? 2 ( xA ?1, yA ),
2 y0 x0 ? 2 2 由点A在抛物线y ? 2 px上, 得 ? 2 p ? . 9 3 2 2

x0 ? 2 y0 ? xA ? , yA ? . 3 3

x0 2 ? x0 又 y ? 1 ? , ?12 p ? . 2 x0 ? 2
2 0

令t ? x0 ? 2, 则2 ? 2 ≤ t ? 2.
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1 2 即 p ? ? [( x0 ? 2) ? ? 4] 12 x0 ? 2 1 2? 2 ≤? (2 2 ? 4) ? . 12 6 2 (? 2 ≤ x0 ? 0), 当且仅当 x0 ? 2 ? x0 ? 2
1 2 . 即 x0 ? 2 ? 2 时取“=”. ? p ≤ ? 3 6
[来源:学_科_网]

1 2 故 p 的最大值为 ? . 3 6
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【11】已知动圆 M 过定点 P(0, m)(m ? 0) ,且与定直线

l1 : y ? ?m 相切,动圆圆心 M 的轨迹为 C ,直线 l2 过点 P 交 曲线 C 于 A, B 两点. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; SP SP (Ⅱ)若 l2 交 x 轴于点 S ,且 求 ? ? 3 , l2 的方程; SA SB
? (Ⅲ) 若 l2 的 倾 斜 角 为 30 , 在 l1 上 是 否 存 在 点 E 使

△ ABE 为正三角形? 若能,求点 E 的坐标;若不能,说明
理由.

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解:(Ⅰ)依题意,曲线 C 是以点 P 为焦点, 直线 l1 为准线的抛物线, 所以曲线C的方程为 x2 ? 4my .……3分 (Ⅱ)由题意知 k 存在且 k ? 0 y 设 l2 方程为 y ? kx ? m ,

代入 x2 ? 4my 由消去 y 得, x2 ? 4mkx ? 4m2 ? 0 . 设 A ? x1 , y1 ? 、 B ? x2 , y2 ? , S 则 x1 ? x2 ? 4mk, x1x2 ? ?4m2 .

A

P

B

l2

o

x

l1 SP SP m m m( y1 ? y2 ) m[k ( x1 ? x2 ) ? 2m] ? ? ? ? ? SA SB y1 y2 y1 y2 ( kx1 ? m )(kx2 ? m )
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SP SP m[k ( x1 ? x2 ) ? 2m] ? ? SA SB ( kx1 ? m )(kx2 ? m )

y
P B

m[k ( x1 ? x2 ) ? 2m] ? 2 2 k x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m

l2

A
S

m(2m ? 4mk ) 2 ? 2 ? 4k ? 3. ? 2 m
2

o

x

所以 k ? ? 1 , l2 方程为 y ? ? 1 x ? m .· ··9分 2 2
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3 2 3 m m, ), B(2 3m, 3m ). x ? m ? A(? 直线 l2 方程为 y ? 3 3 3

16 2 3 5m AB中点F ( m, ), | AB |? m . 3 3 3
5m 2 3 AB的中垂线方程:y ? ? ? 3( x ? m) 3 3
14 3 ? E( m , ? m ). 9 8 21 ① | EA |? m ?| AB | 9 16 3 3 S ② | EF |? m? | AB | 9 ??? 2 ? ? ??? EA ? EB 1 1 ? ? ③ cos ?AEB |? ??? ??? ? ? . | EA | ? | EB | 7 2
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y
B A F

l2

o
E

x
l1

3 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 l2 方程为 y ? x ? m 代入 x2 ? 4my , 3 y 4 3 2 mx ? 4m2 ? 0 , 消去 y 得: x ? B 3 P

l2

2 3 ? x1 ? ? m, x2 ? 2 3m. 3

A

S

o
E

x
l1

2 3 m 即 A(? m, ), B(2 3m,3m). 3 3

假设存在点 E ? x0 , ?m? ,使 △ ABE 为正三角形,
则 BE ? AB ? AE .

16 | AB |? y1 ? y2 ? 2m ? m . 3
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由 BE ? AE ,
2 3 m 2 即 (? m ? x0 ) ? ( ? m )2 ? ( 2 3m ? x0 )2 ? (3m ? m )2, 3 3 y

14 3 化简得, x0 ? m. 9 14 3 ? E( m, ?m). 9

B A S P

l2

o
E

x
l1

448 则 AE ? m ? AB . 27

因此,直线 l 上不存在点 E ,使得 △ ABE 是正三角形.
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x2 y 2 【例 12】 (14 分)已知椭圆 C1 : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的长轴长为 a b 4 ,离心率为 1 , F1 , F2 分别为其左右焦点.一动圆过点 F2 ,且与直线 2 x ? ?1 相切. (Ⅰ)求椭圆 C1 的方程; (Ⅱ)求动圆圆心轨迹 C 的方程; (Ⅲ) 在曲线 C 上有两点 M,N, 椭圆 C1 上有两点 P,Q, 满足

MF2 与 NF2 共线, PF2 与 QF2 共线,且 PF2 ? MF2 ? 0 ,求四边形 PMQN 面积的最小值.

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?2a ? 4, ? 解: (Ⅰ)由已知可得 ? c?1 , ?e ? a 2 ?
?a ? 2, ?? ?c ? 1.
? b2 ? a 2 ? c 2 ? 3.

x2 y2 ? ?1. 则所求椭圆方程 C1 : 4 3

--------3 分

(Ⅱ)由已知可得动圆圆心轨迹为抛物线,且抛物线 C 的焦点 为 (1,0) ,准线方程为 x ? ?1 , 所以动圆圆心轨迹方程为 C : y 2 ? 4 x . --------6 分

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(Ⅲ)当直线 MN 的斜率不存在时, | MN |? 4 , 此时 PQ 的长即为椭圆长轴长, | PQ |? 4 . 从而 SPMQN ? 1 | MN | ? | PQ |? 1 ? 4 ? 4 ? 8 2 2 设直线 MN 的斜率为 k, 则 k≠0,
则直线 MN 的方程为: y ? k ( x ? 1) , 直线 PQ 的方程为 y ? ? 1 ( x ? 1), k 设 M ( x1, y1 ), N ( x2 , y2 ), P( x3 , y3 ), Q( x4 , y4 )

---8 分

? y ? k ( x ? 1) 由? 2 , 消去 y 可得 k 2 x 2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 . ? y ? 4x

由抛物线定义可知:
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由抛物线定义可知:
2k 2 ? 4 ? 2 ? 4 ? 4 . | MN |?| MF2 | ? | NF2 |? x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? k2 k2
? y ? ? 1 ( x ? 1), k ? 由? 2 y2 ?x ? ? 1. 4 3 ?
消去 y 得 (3k 2 ? 4) x 2 ? 8x ? 4 ? 12k 2 ? 0 ,

12(1 ? k 2 ) 从而| PQ |? 1 ? ( ? 1 )2 | x ? x |? . 3 4 2 k 3k ? 4 12(1 ? k 2 ) ? S PMQN ? 1 | MN | ? | PQ |? 1 (4 ? 42 ) 2 2 k 3k 2 ? 4 (1 ? k 2 ) 2 ? 24 4 3k ? 4k 2 2 令 1 ? k ? t , ∵ k ? 0, 则 t ? 1 .
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24t 2 则 SPMQN ? 1 | MN | ? | PQ | ? 2 3(t ? 1) 2 ? 4(t ? 1) 24t 2 24 ? 2 ? . 3t ? 2t ? 1 3 ? 2 ? 1 t t2 ? 3 ? 2 ? 1 ? 4 ? (1 ? 1 )2 ? (0,3). t t2 t 24 ? S PMQN ? ? 8. 3? 2 ? 1 t t2
所以四边形PMQN面 积的最小值为8. ---14分
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题型三、存在性、探索性问题
例13. 已知抛物线C:y ? 2 x 2,直线y ? kx ? 2交C于 A、B两点,M 是线段AB的中点,过M 作x轴的垂 线交C于点N . (1)证明:抛物线C在点N 处的切线与AB平行; ??? ??? ? ? (2)是否存在实数k 使 NA ? NB ? 0.若存在,求 出k 值;若不存在,请说明理由.

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(1) 证明:设A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ?,中点M ? x0 , y0 ? ,
2 2 ? y1 ? y2 ? 2( x1 ? x2 ), y1 ? y2 k AB ? ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 x0 . x1 ? x2 因为点N的横坐标为x0 , 而y? ? 4x,

所以过点N的切线的斜率 k ? 4x0 ,
? k ? k AB .

即抛物线C在点N处的切线与AB平行.

? 2? 将y ? kx ? 2代入C中得,2 x
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2

? kx ? 2 ? 0.

k k , k 2 ). ? x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? ?1, ? N ( 4 8 2

??? ??? ? ? k) x ? k)( x 2 ? k 2 ) 2 x 2 ? k 2 ) ? NA· ? x1 ? ( 2 NB ( · ? 2 1 ( 2 ? 4 4 8 8
? ( x1 ? k ) ? ( x2 ? k ) ? [1 ? 4( x1 ? k ) ? ( x2 ? k )] 4 4 4 4 k ? x ? x ? ? k 2 ] ? [1 ? 4 x x ? k ? x ? x ? ? k 2 ] ? [ x1 x2 ? 1 2 1 2 4 1 2 16 4 k2 3 2 ? ?1? ) ? 3 ? k ) 0 ( ( ? ? 16 4

k2 2 ? ?1 ? ? 0, ??3 ? 3 k ? 0, 4 16

解得k ? ?2.
??? ??? ? ? 所以存在k ? ?2,使NA· ? 0. NB
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思想与方法
圆锥曲线中的函数思想
x2 y2 (12 分)已知椭圆 + =1 上的两个动点 P,Q,设 P(x1,y1), 4 2 Q(x2,y2)且 x1+x2=2. (1)求证:线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A; (2)设点 A 关于原点 O 的对称点是 B, 求|PB|的最小值及相应的 P 点坐标.

审题视角
(1)引入参数 PQ 中点的纵坐标,先求 kPQ,利用直线 PQ 的方 程求解.(2)建立|PB|关于动点坐标的目标函数,利用函数的性 质求最值.

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规范解答 ∵P(x1,y1),Q(x2,y2),且 x1+x2=2. ?x2+2y2=4 ? 1 y1-y2 1 1 x1+x2 当 x1≠x2 时,由? 2 ,得 =- · . 2 y1+y2 ?x2+2y2=4 x1-x2 ? 2 y1-y2 1 设线段 PQ 的中点 N(1,n),∴kPQ= =- , [4 分] 2n x1-x2 (1)证明
∴线段 PQ 的垂直平分线方程为 y-n=2n(x-1), ∴(2x-1)n-y=0, 1 该直线恒过一个定点 A( ,0). 2
1 当 x1=x2 时,线段 PQ 的中垂线也过定点 A( ,0). 2 1 综上,线段 PQ 的垂直平分线恒过定点 A( ,0). 2

[6 分]

[7 分]

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由于点 B 与点 A 关于原点 O 对称, 1 故点 B(- ,0). 2 (2)解

[8 分]

∵-2≤x1≤2,-2≤x2≤2,∴x1=2-x2∈[0,2], 12 2 1 7 9 2 2 |PB| =(x1+ ) +y1= (x1+1) + ≥ , [10 分] 2 2 4 4 3 ∴当点 P 的坐标为(0,± 2)时,|PB|min= . 2 [12 分]

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批阅笔记

(1)本题是圆锥曲线中的综合问题,涉及到了定点问题以及最 值问题.求圆锥曲线的最值问题是高考考查的一个重要问题, 通常是先建立一个目标函数,然后利用函数的单调性、函数的 图象、函数的有界性或重要不等式等求最值,本题是建立二次 函数、利用二次函数的图象求最值. (2)本题的第一个易错点是,表达不出线段 PQ 的中垂线方程, 原因是想不到引入参数表示 PQ 的中点.第二个易错点是,易 忽视 P 点坐标的取值范围.实质上是忽视了椭圆的范围.

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方法与技巧
1.解决直线与椭圆的位置关系问题,如果直线与椭圆有两个 不同交点,①若根据已知条件能求出两交点的坐标,这不失 为一种彻底有效的方法;②若两交点的坐标不好表示,可将 x2 y2 直线方程 y=kx+c 代入椭圆方程 2+ 2=1 整理出关于 x(或 a b y)的一元二次方程 Ax2+Bx+C=0,Δ=B2-4AC >0,可利 2 Δ 用根与系数之间的关系求弦长(弦长为 1+k ). |A| 2.弦的中点问题,以及交点与原点连线的垂直等问题.①求弦 长可注意弦是否过圆锥曲线焦点;②弦的中点问题还可利用 → “点差法”和“对称法”; ③解决 AO⊥BO, 可以利用向量AO → → → ⊥BO的充要条件即AO· =0. BO 主页

失误与防范
在解决直线与抛物线的位置关系时, 要特别注意直线与抛物线 的对称轴平行的特殊情况.

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课时规范训练:P.1-2

作业纸:

聪 明 在 于 勤 奋

天 才 在 于 积华 累罗 , 。 庚

——

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预祝各位同学, 2013年高考取得好成绩!

A组

专项基础训练题组

一、选择题

题号 答案
二、填空题

1 D

2 D

3 C

4. 7 2

5.2
6.m ? 1且m ? 5
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三、解答题 7.已知直线 y=kx-1 与双曲线 x2-y2=1 的左支交于 A、B 两点,若另有一条直线 l 经过 P(-2,0)及线段 AB 的中点 Q. (1)求 k 的取值范围; (2)求直线 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围.
解 (1)将 y=kx-1 代入双曲线方程 x2-y2=1, 化简,整理,得(1-k2)x2+2kx-2=0. ?4k2+8(1-k2)>0, ? ?- 2k 2<0, 由题设条件? 1-k ? 2 ?- >0 1-k2 ?

?- 2<k<-1.

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(2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2)、Q(x,y), x1+x2 k 1 则 x= = 2 ,y= 2 , 2 k -1 k -1 1 ∴直线 l 的方程为 y= 2 (x+2). 2k +k-2 2 2 令 x=0,得 b= 2 = ? . 1?2 17 2k +k-2 2?k+4? - 8 ? ?

∵- 2<k<-1,u=2k2+k-2 在(- 2,-1)上为减函数, ∴-1<u<2- 2. 又 u≠0,∴b<-2 或 b>2+ 2.

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8.已知椭圆的一个顶点为 A(0,-1),焦点在 x 轴上.若右 焦点到直线 x-y+2 2=0 的距离为 3. (1)求椭圆的方程; (2)设直线 y=kx+m (k≠0)与椭圆相交于不同的两点 M, N.当|AM|=|AN|时,求 m 的取值范围.
x2 2 解 (1)依题意可设椭圆方程为 2+y =1, a | a2-1+2 2| 则右焦点 F( a2-1,0),由题设得 =3, 2 x2 2 解得 a2=3.故所求椭圆的方程为 +y =1. 3

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?y=kx+m, ? 2 (2)设 P 为弦 MN 的中点,由?x +y2=1 ?3 ? 得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0, ∵直线与椭圆相交, ∴Δ=(6mk)2-4(3k2+1)×3(m2-1)>0 ?m2<3k2+1. ① xM+xN 3mk m ∴xP= =- 2 ,从而 yP=kxP+m= 2 , 2 3k +1 3k +1 yP+1 m+3k2+1 ∴kAP= x =- , 3mk P

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又∵|AM|=|AN|,∴AP⊥MN, m+3k2+1 1 则- =-k,即 2m=3k2+1. 3mk



把②代入①得 m2<2m,解得 0<m<2; 2m-1 1 2 由②得 k = >0,解得 m> . 3 2 1 综上求得 m 的取值范围是 <m<2. 2

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B组

专项能力提升题组

一、选择题

题号 答案
二、填空题

1 C

2 A

3 C

4. 10
? 5.? ? ? ? 5 ? , 5? 2 ?

6.y2=3x

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三、解答题 x2 y2 6 7.已知椭圆 G: 2+ 2=1 (a>b>0)的离心率为 ,右焦点 a b 3 为(2 2,0),斜率为 1 的直线 l 与椭圆 G 交于 A、B 两 点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (1)求椭圆 G 的方程; (2)求△PAB 的面积.
解 c 6 (1)由已知得 c=2 2,a= . 3

解得 a=2 3,又 b2=a2-c2=4.
x2 y2 所以椭圆 G 的方程为 + =1. 12 4

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(2)设直线 l 的方程为 y=x+m. ?y=x+m ? 2 由? x y2 ,得 4x2+6mx+3m2-12=0. ?12+ 4 =1 ? ①

设 A、B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2) (x1<x2),AB 中点为 x1+x2 3m m E(x0,y0),则 x0= =- ,y0=x0+m= ; 2 4 4 因为 AB 是等腰△PAB 的底边,所以 PE⊥AB. m 2- 4 所以 PE 的斜率 k= =-1.解得 m=2. 3m -3+ 4

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此时方程①为 4x2+12x=0. 解得 x1=-3,x2=0.所以 y1=-1,y2=2.

所以|AB|=3 2.此时,点 P(-3,2)到直线 AB:x-y+2=0 |-3-2+2| 3 2 的距离 d= = , 2 2 1 9 所以△PAB 的面积 S= |AB|· . d= 2 2

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专题五:圆锥曲线A-学生版-苏深强

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