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变与不变各显其妙


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数学教学通讯 (教师版 )

教学研究 > 教学技巧

变与不变 各显其妙
—— — 一道课本例题的二次开发
陈亚芳 江苏南京雨花台中学 摘

210012


教 师 版

要 :课本的例题 、习题是学习的基础. 学好课本 ,才能掌握双基 ,培养良好的数学思想 ,增强分析和解决问 题的能力. 数学教育工作者若能够将教材进行二次开发 ,对例题 、习题进行变式创新 、知识迁移 、提炼 和总结 ,不仅学生会开阔眼界 、拓展思维 ,教师也会有所收获 . 本文就高中数学教材必修 2的一道例题 的变式拓展和知识迁移作了初步的探讨 .

关键词 :例题 ;习题 ;变式拓展 ;知识迁移

目前 , 学习资料满天飞 , 不少学生更是以这些资料为蓝 本 , 钻研各种难题 , 而忽视了对课本的学习 , 以致学习不得法 , 成绩 不能提高 . 其实课本是学习知识的依据 , 掌握课本中的例题 、 习 题是打好双基的基础 . 以课本为基础 , 通过对课本习题的解答 、 变式拓展 , 不仅能掌握基础知识 , 理解解题方法 , 从而也能提高 解题能力 ,在考试中取得好成绩 . 笔者在上立体几何课时 ,其中有这样一道例题 , 笔者觉得可 以很好地进行变式拓展和知识迁移 . 下面是笔者对该例题的一 点想法 ,供读者参考 . 例 已知 ∠BAC 在平面 α 内 ,P埸α,∠PAB=∠PAC. 求证 : 点 P 在平面α内的射影在∠BAC的平分线上.
P

在 Rt △ AOE 和 Rt △ AOF 中 , AE=AF , OA=OA , 所 以 Rt △ AOE ≌

Rt △AOF. 于是 ∠EAO=∠FAO, 因此 , 点 P 在 α 内的射影在 ∠BAC
的平分线上. 这一道例题蕴含着立体几何中点 、 线 、 面 、 角及距离等 知 识 点 , 尤其是三棱锥在其中体现得很突出 . 因此 , 怎样才能最大限 度地发挥该题的功能呢 ? 变式教学是对数学中的问题进行不同 角度 、不同层次 、不同背景的变式 ,以暴露问题的本质特征 , 揭示 不同知识点间的内在联系的一种教学设计方法 . 变式教学的一 题多用 、 多题重组 , 常给人以新鲜感 , 能唤起学生的好奇心和求 知欲. 教师若能重视对课本例题进行变式训练 ,不但可以搞清问 题的内涵和外延 ,最大限度地发挥例习题的功能 , 而且还可以提 高数学教学能力.

E A α F

B O C

襛 变式设计
1. 改变条件 ,挖掘内在联系
变式1 已知∠BAC在平面α内,P埸α,P到∠BAC两边距离相等. 求证 :点P在平面α内的射影在∠BAC的平分线上. 证法同例题一样 ,利用全等三角形证明两角相等即可 . 说明 将条件中的角度相等变为距离相等 , 但其结论 一 样 , 让学生思考角度相等和距离相等之间的内在联系 . 其设计的目 的是通过辨析 ,揭示问题的实质 ,培养思维的准确性.

图1 分析 要证点 P在平面 α内的射影在 ∠BAC 的平分线上 , 首先 应作出点 P在平面 α 内的射影 O, 再证 ∠BAO=∠CAO 即可 . 要证

∠BAO=∠CAO,只要证明含这两个角的两个三角形全等 .
证明 作 PO⊥α 于 O ,PE⊥AB 于 E,PF⊥AC 于 F, 连结 OE,OF,

PE⊥AB ,PF⊥AC OA , 如图 1. ∠PAE=∠PAF PA=PA AB⊥PO 圯 圯AB⊥ 奂 奂 AB奂α AB⊥PE PO⊥α

⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥

2. 改变条件 ,提高应变能力
在教学中 ,教师要善于引导学生添加不同的条件 , 改变习题 的设问角度 , 激发学生的求知欲望 , 提高学生的应变能力 . 如果 将变式 1 中的到角两边的距离相等的条件变为到三角形的三 个 顶点的距离相等 ,结论又如何呢 ?

圯Rt△PAE≌Rt△PAF圯AE=AF.

平面 PEO圯AB⊥OE. 同理 ,AC⊥OF.

019

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数学教学通讯 (教师版 )
PA⊥PB
证明 如图4,PA⊥PC
P
∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠

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变式 2 已知 △ABC 在平面 α 内 ,P埸α,PA=PB=PC. 求证 : 点 P 在平面α内的射影是△ABC的外心.
P

PB∩PC=P PO⊥平面ABC BC奂平面

PA⊥平面PBC 圯 圯PA⊥BC. BC奂平面PBC



PA⊥BC

圯PO⊥BC 圯 PBC

PA∩PO=P

∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠

BC⊥平面PAO 圯 圯AO⊥BC. AO奂平面PAO



A O

C

A D

F O E B

C

同理BO⊥AC,CO⊥AB. 圯O是△ABC的垂心. 说明 三角形垂心是三条高线的交点 ,与内 、外心不同. 对于课本例 、 习题 , 教师设计的时间多一点 , 学生练习 的 时 间就会少一点 , 设计的例题精一点 , 学生就会学得活一点 、 好一 点. 要让学生在45分钟的课堂时间内最大限度地掌握知识 ,通过 例题的变式让学生自然地接受知识 , 显得尤为重要 . 因此 , 在数 学教学中 ,教师要重视课本例题 、习题 ,设计例题变式教学 , 使例 题功能发挥到最大. 为了使例题功能充分发挥 ,有时也可以将例 题的一些知识点 、结论应用于其他的习题中 ,创造性地使用例题.

B

图2

图3

证明 作PO⊥平面ABC于点O,连接AO,BO,CO,如图2.

PO⊥平面ABC圯PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC PA=PB=PC



圯 Rt △PAO ≌

Rt△PBO≌Rt△PCO圯AO=BO=CO圯O是△ABC的外心.
说明 同样是距离的转化 , 变中求新 , 从而发现 知 识 之 间 暗 藏的联系.

3. 大胆联想 ,提高知识迁移
三角形的中垂线的交点是外心 ,那么对于三角形的内心 、 垂 心 ,结论又如何呢 ? 变 式 3 已 知 △ABC 在 平 面 α 内 ,P 埸α,PD ⊥AB 于 D,PE ⊥BC 于 E ,PF⊥AC 于 F ,PD=PE=PF. 求 证 : 点 P 在 平 面 α 内 的 射 影 O 是

襛 知识迁移
笔者在讲解异面直线所成角时 ,遇到下面所示的一道习题 , 当时苦思冥想 , 想不出好的解释方法 . 但是 , 利用上述例题的结 论 ,笔者茅塞顿开 ,问题也迎刃而解.

1. 习题与变式
习题 如果异面直线 a,b 所成的角为 70° ,P 为空间一定点 , 则 通过点P且与a,b所成的角都是60°的直线有多少条 ? 答案 :4条. 看到这题后 , 笔者思考 : 如果改变 异 面 直 线 a,b 所 成 的 角 ,P 为空间一定点 , 则通过点 P 且与 a,b 所成的角都是 60° 的直线有多 少条 ? 一定是4条吗 ? 变式 1 如果异面直线 a,b 所成的角为 α,P 为空间 一 定 点 , 则 通过点P且与a,b所成的角都是60°的直线有多少条 ? 答案 : 当 α<60° 时 , 可作 2 条 . 当 α=60° 时 , 可作 3 条 . 当 α ﹥ 60° 时 ,可作4条. 层层推进 ,还可以将上题再拓展一下 . P为空间一定点 ,如果 异面直线 a,b所成的角和通过点 P 且与 a,b 所成的角都没有定 , 这 样的直线有多少条 ? 结论一样吗 ? 变式 2 如果异面直线 a,b 所成的角为 α (α≠90° ),P 为空间一 定点 ,则通过点P且与a,b所成的角都是β的直线有多少条 ?

△ABC的内心.
证明 如图3,因为PO⊥面ABC,所以 PO⊥AB,PO⊥AC. 又因 为 PD ⊥AB ,PF ⊥AC ,PD ∩PO=P ,PF ∩PO=P , 所 以 AB ⊥ 面 POD ,

AC⊥ 面 POF. 所以 OD⊥AB,OF⊥AC. 因为 PD=PF,PA=PA, 所以 Rt△PAD≌Rt△PAF,所以AD=AF. 又因为AO=AO,所以Rt△AOD≌ Rt△AOF, 所以 OA 是 ∠BAC 的角平分线 . 同理可知 ,OB 是 ∠ABC
的角平分线 ,OC是∠BCA的角平分线. 所以O是△ABC的内心. 说 明 通 过 三 角 形 的 外 心 和 内 心 的 特 征 ,从 而 得 以 横 向 迁 移 ,其设计目的是重在类比知识 .

4. 变式类比 ,增加问题深度
变 式 4 已 知 △ABC 在 平 面 α 内 ,P 埸α,PO ⊥ 平 面 ABC 于 O ,

PA ,PB ,PC 两两垂直 . 求证 : 点 P 在 平 面 α 内 的 射 影 O 是 △ABC 的
垂心 .
P E

2. 此题涉及以下四个知识点
(1)异面直线a,b所成的角 (课本中已给定义 ) . (2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线 , 若它和已 知角的两边的夹角相等 , 则这条斜线在平面内的射影是这个 角
A O F C

A O B

C D B P

H

的角平分线 (上述例题已经证过 ) . (3)平面的斜线和它在平面内的射影所成的角 , 是这条斜线 和这个平面内任一条直线所成角中最小的角 . 证明 设 α,β 都是锐角 . 如图 5, 过 点 P 作 直 线 AB∥a, 作 直 线

图4

图5

020

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(3)推广

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CD∥b. 不妨设 ∠APC=α, 则 ∠APD=180°-α. 若存在直线 PE, 使 ∠EPA=∠EPC=β, 那么 , 过点 E 作 EH⊥PA 于点 H, 作 EF⊥PC 于点 F, 连结 OH,OF, 由上述例题可以得到 PE 在平面 APC 内 的 射 影 在 ∠APC 的平分线上 . 因为在 Rt△POF 中 ,cos
中 ,cosβ =

①在平面δ内 ,当β﹥
直线成等角 ; 当 β=

α 时 ,过P点可作2条直线PE与两条异面 2

α PF , 在 Rt△PEF = 2 OP

α 时 , 过 P 点可作 1 条直线 PE 与两条异 面 直 线 2 α 时 , 过 P 点可作 0 条直线 PE 与 2

PF OP , 在 Rt △POE 中 ,cos ∠EPO= , 所 以 cos ∠EPO= PE PE

成等角 , 即 ∠APB 的平分线 ; 当 β< 两条异面直线成等角 .

cosβ ,也就是说,如果满足条件的射线PE存在,那么PE与平面PAC α cos 2
所成角的余弦为

②在平面φ内 ,当β>
面直线成等角 ; 当 β=

180°-α ,过P点可作 2条直线 PE与两条异 2

cosβ . 从 这 个 结 论 中 不 难 发 现 cos ∠EPO ≥ α cos 2

180°-α , 过 P 点可作 1 条直线 PE 与两条异面 2 180°-α , 过 P 点可作 0 条直 2

π 上单调递减得 :∠EPO≤β cosβ, 根据余弦函数在 0, (当且仅 2
, 于是直线与平面所成的角是该直 当∠EPO=β=90°时等号成立 ) 线与平面内任一条直线所成的一切角 (≤90°)中最小的角. (4 ) 角平分线与角两边所成的角是与角两边成相 等 角 中 最 小的角. 证 明 利 用 知 识 点 3 , 将 cos ∠ EPO=

, ,

直线成等角 , 即 ∠APD 的平分线 ; 当 β< 线PE与两条异面直线成等角 .

综合①②,我们可以得到以下结论 其中 当 β<



α 180°-α < , α为锐角 : 2 2

α

α 时 , 过 P 点与两条异面直线所成的角均为 β 的直线可 2 α 时 , 过 P 点与两条异面直线所成的角均为 β 的直线 2 α 180°-α ﹤β﹤ 时 ,过 P点与两条异面直线所成的角 2 2 180°-α 时 ,过 P 点与两条异面直线所 2 180°-α 时 ,过 P点 与 两 条 异 2

cosβ α 变 形 为 cos = α 2 cos 2

作 0 条 ; 当 β= 可作1条 ;当

cosβ α (当且仅当过定点的直线是 . 类比知识点 3, 得 ≤β cos∠EPO 2 角平分线时等号成立 ) . 3. 探讨与推广
由知识点 3, 与两条异面直线成等角的直线 PE 在如图 6、7 的 两平面 δ 和 φ 内 . 图 6 中平面 γ 和 δ 的交线是 ∠APB 的角平分线 , 平 面 γ⊥ 平面 δ. 图 7 中平面 γ 和 φ 的交线是 ∠APD 的角平分线 , 平面

均为 β的直线可作 2条 ;当 β=

成的角均为 β 的直线可作 3 条 ; 当 β ﹥

面直线所成的角均为 β的直线可作4条. 此结论即习题变式2的答案.

γ⊥平面φ.

襛 学习感悟
δ D C P E A B C γ D φ P E A B

课本的例题是学习的基础 , 学好课本 , 才能掌握双基 , 培 养 良好的数学思想 ,增强分析和解决问题的能力 . 通过对这道课本 例题的深入学习 , 笔者受益匪浅 , 对例题的背景 、 解法与延伸提

γ

出了个人见解. 教材只是提供了学生学习活动的基本线索 . 在教学活动中 , 教师应根据学生的实际 ,充分发挥自己的主观能动性 , 创造性地 使用教材 , 积极开发 、 利用各种教学资源 , 提出一些重要的研究 问题. 创造性地学习是指引导学生主动 、有效地参与学习 , 在动态 中探索未知 ,独立地发现问题 ,寻找有创意的解决问题的方法的 学习. 作为一名数学教育工作者 ,应在课堂教学 、习题解答 、听课 评课中积极主动地去发现问题 ,并寻求创新性解法 , 对素材进行 提炼 、总结. 本文中 ,笔者对教材其中例题 、习题的变式创新和知 识迁移的不变 ,各显其妙 ,将教材进行二次开发 ,其乐无穷.

图6

图7

(1)当 α=70°,β=60°时 ,在平面 δ 内 , 过 P 点可作 2 条直线 PE, 在 平面φ内 ,过P点也可作2条直线PE,共4条. (2)β=60° , 当 α ﹥ 60° 时 , 分析见 (1); 当 α=60° 时 , 在平面 δ 内 , 过 P 点 可 作 2 条 直 线 PE , 在 平 面 φ 内 , 过 P 点 可 作 1 条 直 线 PE , 即

∠APD 的平分线 , 共 3 条 ; 当 α ﹤ 60° 时 , 在平面 δ 内 , 过 P 点可作 2 条
直 线 PE , 在 平 面 φ 内 , 过 P 点 作 直 线 与 AC ,BD 成 等 角 的 直 线 中 ,

∠APD的平分线与AC,BD成最小的角 PE满足 ,共2条.

180°-α >60° α , 2

, 没有直线

021


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