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椭圆强化练习及答案

椭圆强化练习及答案
一.选择题(共 10 小题) 1.已知椭圆 E: 的右焦点为 F(3,0) ,过点 F 的直线交椭圆 E 于 A、B 两点.若 ) C. D.

AB 的中点坐标为(1,﹣1) ,则 E 的方程为( A. B.

2.椭圆 A.7 倍

=1 的焦点为 F1 和 F2,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 的中点在 y 轴上,那么|PF1|是|PF2|的 B.5 倍
2

C.4 倍

D.3 倍

3.如图 F1、F2 是椭圆 C1:

+y =1 与双曲线 C2 的公共焦点 A、B

分别是 C1、C2 在第二、四象限的公共点,若四边形 AF1BF2 为矩形, 则 C2 的离心率是( ) A. B. C. D.

4.从椭圆

上一点 P 向 x 轴作垂线,垂足恰为左焦点 F1,A 是椭圆与 x 轴正半轴 )

的交点,B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点,且 AB∥OP(O 是坐标原点) ,则该椭圆的离心率是( A. B. C. D.

5.已知椭圆 C:

的左焦点 F,C 与过原点的直线相交于 A,B 两点,连结 AF,

BF,若|AB|=10,|AF|=6, A. B.

,则 C 的离心率为( C.

) D. )

6.已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0) ,离心率等于 ,则 C 的方程是(

A.

B.

C.

D.

7.椭圆

(a>b>0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1,F2.若|AF1|,|F1F2|, ) C. D.

|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( A. B.

8.已知椭圆 C1:

=1(a>b>0)与双曲线 C2:x ﹣

2

=1 有公共的焦点,C2 的一条渐近线与以 C1 )
2 D. b ? 2

的长轴为直径的圆相交于 A,B 两点.若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则( A.a = 9.若椭圆 C1:
2

B.a2=3

1 b ? C. 2
2

(a1>b1>0)和椭圆 C2:

(a2>b2>0)的焦点相同且 a1>a2.给

出如下四个结论:① 椭圆 C1 和椭圆 C2 一定没有公共点; ② ④ a1﹣a2<b1﹣b2.其中,所有正确结论的序号是( ③ ④ ③ ④ A.② B.① 10. 椭圆
2

; ③ a1 ﹣a2 =b1 ﹣b2 ;

2

2

2

2

) ② ④ C.① + +

② ③ D.① = , 则| |+| |+| |= ( )

+y =1 的右焦点为 F, A、 B、 C 为该椭圆上的三点, 若

A. 二.填空题(共 4 小题) 11. 在△ABC 中, AB=BC,

B.3

C.

D.3

. 若以 A, B 为焦点的椭圆经过点 C, 则该椭圆的离心率 e= ______ .

12.已知椭圆

的左、右焦点分别为 F1(﹣c,0) ,F2(c,0) ,若椭圆上存在一点

P使

,则该椭圆的离心率的取值范围为 _________ .

13.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,A1,A2,B1,B2 为椭圆 的四个顶点,F 为其右焦点,直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T,线段 OT 与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点,则该椭圆的离心率为 _________ . 14.在平面直角坐标系 xOy,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1F2 在 x 轴上,离心率为 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为 _________ . .过 Fl 的直线交于

三.解答题(共 2 小题) 15.如图,椭圆 C2 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 n 为过原点的直线,l 是与 n 垂直相交于点 P,与椭圆相交于 A,B 两点的直线| 上述直线 l 使 |=1,是否存在 的焦点为 F1,F2,|A1B1|= , =2 .

=0 成立?若存在,求出直线 l 的方程;并说出;若不存在,请说明理由.

16.已知椭圆

的离心率为



(I)若原点到直线 x+y﹣b=0 的距离为 ,求椭圆的方程; (II)设过椭圆的右焦点且倾斜角为 45°的直线 l 和椭圆交于 A,B 两点. (i)当 ,求 b 的值; (ii)对于椭圆上任一点 M,若 ,求实数 λ,μ 满足的关系式.

思考题:如图,过椭圆 L 的左顶点 A(﹣3,0)和下顶点 B 且斜率均为 k 的两直线 l1,l2 分别交椭圆于 C, D,又 l1 交 y 轴于 M,l2 交 x 轴于 N,且 CD 与 MN 相交于点 P,当 k=3 时,△ABM 是直角三角形. (Ⅰ)求椭圆 L 的标准方程; (Ⅱ) (i)证明:存在实数 λ,使得 (ii)求|OP|的取值范围. =λ ;

椭圆练习(一)
DADCB DBCBC

11.

3 x2 y 2 12.( 2 ? 1,1) 13.2 7 ? 5 14. ? ?1 8 16 8
2 2

三.解答题(共 2 小题) 15.解: (Ⅰ)由题意可知 a +b =7,∵S□B1A1B2A2=2S□B1F1B2F2,∴a=2c. 解得 a =4,b =3,c =1.∴椭圆 C 的方程为
2 2 2



(Ⅱ)设 A、B 两点的坐标分别为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,假设使

成立的直线 l 存在. |=1 得
2 2 2

(i)当 l 不垂直于 x 轴时,设 l 的方程为 y=kx+m,由 l 与 n 垂直相交于 P 点,且| , 即 m =k +1, 由
2 2

得 x1x2+y1y2=0, 将 y=kx+m 代入椭圆得 (3+4k ) x +8kmx+ (4m

﹣12)=0,

,① ,
2

,②
2

0=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m) (kx2+m)=x1x2+k x1x2+km(x1+x2)+m 2 2 2 2 2 2 把① ② 代入上式并化简得(1+k ) (4m ﹣12)﹣8k m +m (3+4k )=0,③ 2 2 2 将 m =1+k 代入③ 并化简得﹣5(k +1)=0 矛盾.即此时直线 l 不存在. (ii)当 l 垂直于 x 轴时,满足| 由 A、B 两点的坐标为 当 x=1 时, 当 x=﹣1 时, = = |=1 的直线 l 的方程为 x=1 或 x=﹣1, 或 =﹣ . =﹣ . .

∴此时直线 l 也不存在. 综上所述,使 16.解: (I)∵ =0 成立的直线 l 不成立.

,∴b=2∵

,∴

∵a2﹣b2=c2,∴

解得 a2=12,b2=4.

椭圆的方程为 (II) (i)∵ 易知右焦点 由① ,② 有: ,∴

. (4 分) .椭圆的方程可化为:x2+3y2=3b2① ,据题意有 AB: ③ ②

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , ∴b=1(8 分) (II) (ii)显然 与 可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量 成立. ,

有且只有一对实数 λ,μ,使得等

设 M(x,y) ,∵(x,y)=λ(x1,y1)+μ(x2,y2) ,∴x=λx1+μx2,y=λy1+μy2, 2 2 又点 M 在椭圆上,∴(λx1+μx2) +3(λy1+μy2) =3b2④ 由③ 有: 则
3b ﹣9b +6b =0⑤ 又 A,B 在椭圆上,故有 x12+3y12=3b2,x22+3y22=3b2⑥ 将⑥ ,⑤ 代入④ 可得:λ2+μ2=1. (14 分) 思考题: (Ⅰ)解:由题意, ∵当 k=3 时,△ABM 是直角三角形,左顶点 A(﹣3,0)和下顶点 B ∴ ,∴b=1,∴椭圆 L 的标准方程为 ;
2 2 2

(Ⅱ) (i)证明:设两直线 l1,l2 的方程分别为 y=k(x+3)和 y=kx﹣1,其中 k≠0,则 M(0,3k) ,N( , 0) . 2 2 2 2 y=k(x+3)代入椭圆方程可得(1+9k )x +54k x+81k ﹣9=0, 方程一根为﹣3,则由韦达定理可得另一根为 ,∴C( , ) .

同理 D(





∵两直线 l1,l2 平行, ∴可设 ∵ =t , =t ,从而可得 P( , )∴ =( , )

=(3,3k) , ,使得 , =λ ;

∴存在实数 λ= (ii)∵ =(

) ,∴消去参数可得 P 的轨迹方程为 x+3y﹣3=0, = ∴|OP|的取值范围为[ ,+∞) .

∴|OP|的最小值为 d=


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