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《导学教程》高三数学二轮复习教案 专题一 第1讲 集合、常用逻辑用语


专题一 集合、常用逻辑用语、函数与导数、不等式

第1节
自主学习导引

集合、常用逻辑用语
真题感悟

1.(2012· 浙江)设集合 A={x| 1<x<4},集合 B={x| x2-2x-3≤0},则 A∩(?RB)= A.(1,4) C.(1,3) 解析 B.(3,4) D.(1,2)∪(3,4)

首先用区间表示出集合 B,再用数轴求 A∩(?RB).解 x2-2x-3≤0 得-1≤x≤3,∴B

=[-1,3],则?RB=(-∞,-1)∪(3,+∞),∴A∩(?RB)=(3,4). 答案 B 2.(2012· 福建)下列命题中,真命题是 A.?x0∈R, e 0 ≤0 B.?x∈R,2x>x2 a C.a+b=0 的充要条件是b=-1 D.a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件 解析 应用量词和充要条件知识解决. 对于?x∈R,都有 ex>0,故选项 A 是假命题;当 x=2 时,2x=x2,故选项 B 是假命题; a a 当b=-1 时,有 a+b=0,但当 a+b=0 时,如 a=0,b=0 时,b无意义,故选项 C 是假命 题;当 a>1,b>1 时,必有 ab>1,但当 ab>1 时,未必有 a>1,b>1,如当 a=-1,b= -2 时,ab>1,但 a 不大于 1,b 不大于 1,故 a>1,b>1 是 ab>1 的充分条件,选项 D 是 真命题. 答案 D
x

考题分析 高考对集合的考查主要集中在集合的运算与集合间关系的判定与应用,常用逻辑用语考查知 识面十分广泛,可以涵盖函数、立体几何、不等式、向量、三角函数等内容.考查的形式多 为选择题,难度不大,但需掌握基本知识与方法. 网络构建

高频考点突破
考点一:集合的概念与运算 【例 1】(1)(2012·朝阳二模)已知集合 A={0,1},B={-1,0,a+3},且 A?B,则 a 等于 A.1 B.0 C.-2 D.-3 | log2x<1}, (2)(2012· 西城二模)已知集合 A={x B={x| 0<x<c, 其中 c>0}. A∪B=B, 若 则 c 的取值范围是 A.(0,1] B.[1,+∞) C.(0,2] D.[2,+∞)

(3)(2012· 宜春模拟)设全集 U=R,A={x| 2x(x-2)<1},B={x| y=ln(1-x)},则图中阴影部 分表示的集合为

A.{x| x≥1} C.{x| 0<x≤1}

B.{x| 1≤x<2} D.{x| x≤1}

[审题导引] (1)利用子集的定义求解; (2)解出 A,然后借助于数轴解决; (3)观察图形,求得阴影部分表示的集合,解出 A,B 并求解. [规范解答] (1)∵A?B,∴a+3=1,∴a=-2. (2)解不等式 log2x<1,得 0<x<2, ∴A={x| 0<x<2}. ∵A∪B=B,∴A?B,∴c≥2. (3)解不等式 2x(x-2)<1=20 得 0<x<2,

∴A={x| 0<x<2}. 又易知 B={x| x<1},图中阴影部分表示的集合为 A∩(?UB)={x| 0<x<2}∩{x| x≥1}= {x| 1≤x<2}. [答案] (1)C (2)D (3)B 【规律总结】 解答集合间的关系判定与运算问题的一般思路 (1)正确理解各个集合的含义,认清集合元素的属性、代表的意义. (2)根据集合中元素的性质化简集合. (3)在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化. 一般规律为: ①若给定的集合是不等式的解集,用数轴求解; ②若给定的集合是点集,用数形结合法求解; ③若给定的集合是抽象集合,用 Venn 图求解. [易错提示] (1)准确理解集合中代表元素的属性,以求解有关不等式(如例 1 中的第(3)题,集 合 B 表示函数 y=ln(1-x)的定义域). (2)在借助于数轴进行集合的运算时, 要标清实点还是虚点, 避免漏解或增解(如例 1 中的第(2) 题). 【变式训练】 1. (2012· 三明模拟)已知集合 M={m, -3}, N={x| 2x2+7x+3<0, x∈Z}, 如果 M∩N≠ ?,则 m 等于 A.-1 B.-2 C.-2 或-1 D.- 3 2

1 解析 由 2x2+7x+3<0,得-3<x<-2, 又 x∈Z,∴N={-2,-1}, 又 M∩N≠?,∴m=-2 或-1. 答案 C 2.(2012· 海淀二模)设全集为 R,集合
? ?? ? 3? 1 ?x??x+ ?2+y2= 4 ? 2? ? ? ? ? ? ?可表示为 ? ?
2 ? ? ?x ?x? +y2=1 M= 4 ? ? ?

? ? ?x-3 ? ?,N=?x? ≤0 ? ? ? ?x+1

? ?,则集合 ?

A.M∪N C.(?RM)∩N 解析 x≤3}.

B.M∩N D.M∩(?RN) x-3 ≤0,得 N={x | -1< x+1

根据椭圆的有界性知 M={x | -2≤x≤2},解不等式

? ?? ? 3? 1 由圆的定义可得?x??x+2?2+y2=4 ? ?? ? ?

? ? ? ? ?

={x| -2≤x≤-1},
? ? ? ?? 3? 1 ? 即?x??x+2?2+y2=4 ?=M∩(?RN). ? ? ?? ? ? ?

答案

D

考点二:命题与逻辑联结词 【例 2】(1)(2012·潍坊模拟)命题: “若 x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是 A.若 x2≥1,则 x≥1,或 x≤-1 B.若-1<x<1,则 x2<1 C.若 x>1,或 x<-1,则 x2>1 D.若 x≥1,或 x≤-1,则 x2≥1 (2)若 p 是真命题,q 是假命题,则 A.p∧q 是真命题 B.p∨q 是假命题 C. ? p 是真命题 D. ? q 是真命题 [审题导引] (1)按照四种命题的定义即可解决;(2)由复合命题的真值表判定. [规范解答] (1)∵“-1<x<1”的否定是 x≥1, 或 x≤-1. 又由逆否命题的定义, ∴原命题的逆否命题为:若 x≥1,或 x≤-1,则 x2≥1. (2)由条件知, ? p 是假命题, ? q 是真命题,故选 D. [答案] (1)D (2)D 【规律总结】 命题真假的判定方法 (1)一般命题 p 的真假由涉及到的相关交汇知识辨别. (2)四种命题的真假的判断根据:一个命题和它的逆否命题同真假,而与它的其他两个命题的 真假无必然联系. (3)形如 p 或 q、p 且 q、 ? p 命题的真假根据真值表判定. 【变式训练】 3. (2012·衡水模拟)命题 A: 若函数 y=f(x)是幂函数, 则函数 y=f(x)的图象不经过第四象限. 那 么命题 A 的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中假命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 解析 易知命题 A 是真命题,其逆否命题也是真命题,A 的逆命题与否命题都是假命题. 答案 C 4.(2012· 石家庄模拟)有下列命题: p:函数 f(x)=sin4x-cos4x 的最小正周期是 π; q:已知向量 a=(λ,1),b=(-1,λ2),c=(-1,1),则(a+b)∥c 的充要条件是 λ=-1;

r:若 ?

a

1

1 dx ? 1 (a>1),则 a=e. x

其中所有的真命题是 A.r B.p,q C.q,r D.p,r

解析 ∵f(x)=sin4x-cos4x =(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)=-cos 2x, ∴T=π,故 p 是真命题; ∵a+b=(λ-1,λ2+1),(a+b)∥c, 则 λ2+λ=0,即 λ=-1 或 λ=0, 故 q 是假命题;
a a1 ? xdx=ln x |1 =ln a=1, ?1

∴a=e,故 r 是真命题. 答案 D

考点三:量词、含有量词的命题的否定 【例 3】下列命题中是假命题的是 π? ? A.?x∈?0,2?,x>sin x ? ? B.?x0∈R,sin x0+cos x0=2 C.?x∈R, 3x>0 D.?x0∈R,lg x0=0 [审题导引] 对全称命题与特称命题真假的判定,要结合具体的知识进行,要特别注意思维 的严谨性. π? ? [规范解答] ?x∈?0,2?,设单位圆与角 x 的终边交于点 P(m,n),与 m 轴正半轴交于 ? ? 点 A(1,0),作 PM⊥m 轴于 M,由正弦函数的定义,知 MP=sin x, ? 的长 l=x,由 S 扇形 OAP AP π? ? ? π? >S△OAP?x>sin x,故?x∈?0,2?,x>sin x,即选项 A 是真命题;sin x+cos x= 2sin?x+4? ? ? ? ? ≤ 2, 所以不存在 x0∈R,使 sin x0+cos x0=2,故选项 B 是假命题.故选 B.(事实上,由指数 函数的值域?x∈R,3x>0 是真命题; x0=1, x0=lg 1=0, 取 lg 故?x0∈R, x0=0 是真命题. lg ) [答案] B

【规律总结】 全称命题与特称命题的判断方法 对于特称命题的判断,只要能找到符合要求的元素使命题成立,即可判断该命题成立;对于 全称命题的判断,必须对任意元素证明这个命题为真,也就是证明一个一般性的命题成立时, 方可证明该命题成立,而只要找到一个特殊元素使命题为假,即可判断该命题不成立. [易错提示] 注意对数函数、指数函数、三角函数、不等式、方程等知识在解题中的应用, 在判断由这些知识组成的全称或者特称命题时,要特别注意对数函数的定义域、指数函数的 值域、三角函数的定义域和周期性、不等式成立的条件等. 【变式训练】 1 5.(2012· 朝阳二模)若命题 p:?x∈R, 2 >0,则其否定是_______________. x +x+1 解析 ∵不等式 1 1 >0 的隐含条件为 2 >0 且 x2+x+1≠0, x +x+1 x +x+1
2

∴綈 p:?x∈R,

1 <0,或 x2+x+1=0. x +x+1
2

答案 綈 p:?x∈R,

1 <0,或 x2+x+1=0 x +x+1
2

?1? ?1? 6.命题 p1:?x∈(0,+∞),?2?x<?3?x;p2:?x∈(0,1), log 1 x > log 1 x ;p3:?x∈(0, ? ? ? ? 3 2 1? ?1? ?1? ? +∞),?2?x> log 1 x ;p4:?x∈?0,3?,?2?x< log 1 x ,其中的真命题是 ? ? ? ? ? ? 3 2 A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4

1? 1 ? ?1? ? log 解析 取 x=2, log 1 x =1, 1 x =log32<1, 2 正确; x∈?0,3?时,2?x<1, log 1 x 则 p 当 而 ? ? ? ? 3 3 2 >1,p4 正确. 答案 D

考点四:充分必要条件 【例 4】(1)(2012·黄冈模拟)已知条件 p:x≤1,条件 q:<1,则綈 p 是 q 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既非充分也非必要条件 x-1? ? ?≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若 ? p 是 ? q 的 (2)(2012· 丰台二模)已知 p:?1- 3 ? ?

充分不必要条件,则实数 m 的取值范围是 A.(0,9) B.(0,3) C.(0,9] D.(0,3]

[审题导引] (1)求出綈 p 与 q 中 x 的范围后,再判断; (2)先解 p 与 q 中的不等式,然后利用数轴求解. [规范解答] (1) ? p:x>1,又易知 q:x<0 或 x>1,

∴ ? p 是 q 的充分不必要条件. x-1? ? ?≤2 得 p:-2≤x≤10, (2)解不等式?1- 3 ? ? 又 x2-2x+1-m2=[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0, 且 m>0, ∴q:1-m≤x≤1+m. ∵ ? p 是 ? q 的充分不必要条件, ∴q 是 p 的充分不必要条件.

?1-m>-2 由图得?1+m≤10 ?m>0
∴0<m≤3. [答案] (1)A (2)D 【规律总结】

?1-m≥-2 或?1+m<10 ?m>0

充分必要条件的判定方法 (1)充要关系的判断就是在两个条件之间互推,当问题为 A 是 B 的什么条件时,如果 A?B, 反之不成立的话,则 A 是 B 的充分不必要条件(B 是 A 的必要不充分条件);如果 B?A,反之 不成立的话,则 A 是 B 的必要不充分条件(B 是 A 的充分不必要条件);若 A?B,则 A,B 互 为充要条件. (2)充要关系可以从集合的观点理解,即若满足命题 p 的集合为 M,满足命题 q 的集合为 N, 则 M 是 N 的真子集等价于 p 是 q 的充分不必要条件,N 是 M 的真子集等价于 p 是 q 的必要 不充分条件,M=N 等价于 p 和 q 互为充要条件,M,N 不存在相互包含关系等价于 p 既不是 q 的充分条件也不是 q 的必要条件 [易错提示] 充分必要条件的判断应注意问题的设问方式, 我们知道: ①A 是 B 的充分不必要 条件是指:A?B 且 B ? A;②A 的充分不必要条件是 B 是指:B?A 且 A ? B.在解题中一定要 弄清它们的区别,以免出现错误. 【变式训练】 7.(2012·咸阳二模)下面四个条件中,使 a>b 成立的充分而不必要的条件是 A.a>b+1 B.a>b-1 2 2 C.a >b D.a3>b3 解析 ∵a>b+1>b,∴a>b+1 是 a>b 的充分条件, 但当 a>b 时不能推出 a>b+1,故选 A. 答案 A 1 8.(2012· 成都模拟)已知 p:|x-10|+|9-x|≥a 的解集为 R,q:a<1,则綈 p 是 q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析 ∵|x-10|+|9-x|≥1, 且|x-10|+|9-x|≥a 的解集为 R, ∴p:a≤1,则 ? p:a>1; 1 解不等式a<1,得 q:a<0 或 a>1, ∴ ? p 是 q 的充分不必要条件. 答案 A 名师押题高考 ? ? ? x 【押题 1】设全集 U=R,集合 A=?x∈Z?3-x≥0 ?,B={x∈Z| x2≤9},则图中阴影部 ? ? ? 分表示的集合为

A.{1,2} C.{x| 0≤x<3} 解析

B.{0,1,2} D.{x| 0≤x≤3}

? ? ? x 图 中 阴 影 表 示 的 是 A∩B , 化 简 集 合 : A = ?x∈Z?x-3≤0 ? = ? ? ? ? ? ?={x∈Z| 0≤x<3}={0,1,2},B={x∈Z| -3≤x≤3}={-3,-2, ? ?

? ??x?x-3?≤0, ? ?x∈Z?? ??x-3≠0 ? ? ? 答案 B

-1,0,1,2,3},所以 A∩B={0,1,2},故选 B.

[押题依据] 高考对集合的考查集中在三个方面:集合的表示方法,元素的性质特征与集合 的运算.本题与不等式的解法交汇命题、综合性较强.重点考查集合的运算,难度不大,但 重点突出,立意新颖,故押此题. 【押题 2】已知命题 p1:当 x,y∈R 时,|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是 xy≥0. p2:函数 y= 2x+2-x 在 R 内为减函数,则在命题 q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:( ? p1)∨p2 和 q4:p1∧( ? p2) 中,真命题是 A.q1,q3 C.q1,q4 B.q2,q3 D.q2,q4

解析 解法一 p1 是真命题,事实上:(充分性)若 xy≥0,则 x,y 至少有一个为 0 或两 者同号,∴|x+y|=|x|+|y|一定成立. (必要性)若|x+y|=|x|+|y|,两边平方,得 x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2,∴xy=|xy|.∴xy≥0. 故 p1 为真. 1? 1 1 ? 而对于 p2: y′=2xln 2-2xln 2=ln 2?2x-2x?, x∈[0, 当 +∞)时, x≥2x, ln 2>0, 2 又 ∴y′≥0, ? ? 函数单调递增; 同理得当 x∈(-∞,0)时,函数单调递减,故 p2 是假命题. 由此可知,q1 真,q2 假,q3 假,q4 真.故选 C. 解法二 p1 是真命题,同解法一.对 p2 的真假可以取特殊值来判断,如取 x1=1<x2=2, 5 17 5 17 得 y1=2<y2= 4 ;取 x3=-1>x4=-2,得 y3=2<y4= 4 ,即可得到 p2 是假命题,由此可 知,q1 真,q2 假,q3 假,q4 真.故选 C. 解法三 p1 是真命题,同解法一.对 p2:由于 y=2x+2-x≥2 2x·-x=2(等号在 x=0 时 2 取得),故函数在 R 上有最小值 2,故这个函数一定不是单调函数,p2 是假命题,由此可知, q1 真,q2 假,q3 假,q4 真.故选 C. 答案 C [押题依据] 常用逻辑用语重要的数学基础知识,是高考考查的热点,本题综合考查了命题 的真假判断,充分必要条件及逻辑联结词,题目难度适中,体现了对基础知识,重点知识的 考查,故押此题.


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