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2017届高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 8.2 两条直线的位置关系课件 文


第八章 平面解析几何

第二节

两条直线的位置关系

基础知识 自主学习

热点命题 深度剖析

思想方法 感悟提升

最新考纲 1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直;2.能
用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标; 3. 掌握两点间的距离公 式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离。

J 基础知识

自主学习

知 识 梳 理
1.两条直线平行与垂直的判定

(1)两条直线平行
对 于 两 条 不 重 合 的 直 线 l1 , l2 , 其 斜 率 分 别 为 k1 , k2 , 则 有 k1=k2 l1∥l2?____________ 。特别地,当直线l1,l2的斜率都不存在时,l1与 l2____________ 平行 。 (2)两条直线垂直 k1·k2=-1 , 如果两条直线l1,l2斜率存在,设为k1,k2,则l1⊥l2?_________ 特别地,当一条直线斜率为零,另一条直线斜率不存在时,两直线 ________ 垂直 。

2.两直线的交点

设直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,将这两条直线的
?A1x+B1y+C1=0, 方程联立,得方程组? ?A2x+B2y+C2=0,

(1)若方程组有唯一解,则l1与l2相交 ,此解就是l1、l2交点的坐标;
(2)若方程组无解,则l1与l2 无公共点 ,此时l1∥l2; (3)若方程组有无数组解,则l1与l2重合。

3.距离公式 (1)两点间的距离 平面上的两点A(x1,y1),B(x2,y2)间的距离公式

?x1-x2?2+?y1-y2?2 |AB|=_________________________ 。
(2)点到直线的距离 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离
|Ax0+By0+C| 2 2 A + B d=_____________________。

(3)两条平行线间的距离 两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 间的距离
|C1-C2| 2 2 A + B d=______________。(其中 A,B 不同时为零,且 C1≠C2)。

基 础 自 测
[判一判]

(1)当直线l1和l2斜率都存在时,一定有k1=k2?l1∥l2。( × )
解析 合。 错误。当直线l1和l2斜率都存在时,虽然有k1=k2,但有可能重

(2)如果两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1。( × )
解析 错误。两条直线l1与l2垂直,它们的斜率之积等于-1,或一条 直线斜率不存在,另一条直线斜率为零。

(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交。( √ 解析 交。

)

正确。若两条直线组成的方程组有唯一解时,两条直线必相

|kx0+b| (4)点 P(x0,y0)到直线 y=kx+b 的距离为 2。( × ) 1+k
解析 式。 错误。点到直线的距离公式的使用条件是直线方程必须是一般

[练一练]

1.(2016·合肥模拟)点(1,1)到直线x+2y=5的距离为(

)

5 A. 5 3 5 C. 5

8 5 B. 5 2 5 D. 5

解析 因为直线 x+2y=5 可化为 x+2y-5=0, 点(1,1)到直线 x+2y |1+2-5| 2 5 -5=0 的距离为 = 5 。 5 答案 D

2.两条直线 l1:2x+y-1=0 和 l2:x-2y+4=0 的交点为(
?2 9? A.?5,5? ? ? ?2 9? ? ? ,- C. 5 5 ? ? ? 2 9? B.?-5,5? ? ? ? 2 9? ? ? - ,- D. 5 5 ? ?

)

?x=-2, ? ?2x+y-1=0, 5 ? 解析 解方程组 得? ?x-2y+4=0, ?y=9, ? 5
? 2 9? 所以两直线的交点为?-5,5?。 ? ?

答案

B

1 3.若经过点(3,a)、(-2,0)的直线与经过点(3,-4)且斜率为2的直线 垂直,则 a 的值为( A. 5 2 ) 2 B. 5 D.-10

C.10

a-0 解析 ∵ =-2,∴a=-10。 3-?-2? 答案 D

4.过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是( A.x-2y-1=0 C.2x+y-2=0 B.x-2y+1=0 D.x+2y-1=0

)

1 解析 所求直线斜率为 ,过点(1,0) 2 1 由点斜式 y= (x-1),即 x-2y-1=0。 2 答案 A

5.已知直线l1的方程为3x+4y-7=0,直线l2的方程为6x+8y+1=0, 3 则直线l1与l2的距离为________ 。 2

解析 ∵直线 l1 的方程为 3x+4y-7=0,直线 l2 的方程为 6x+8y+1 1 3 =0,即 3x+4y+2=0,∴直线 l1 与直线 l2 的距离为 2 = 。 3 +42 2
?1 ? ? +7? ?2 ?

R

热点命题

深度剖析

考点一

两条直线的平行与垂直
(1)(2016·济南模拟)已知两条直线l1:(a-1)·x+2y+1=0, ) B.2 D.-1或2

【例1】 A.-1

l2:x+ay+3=0平行,则a=( C.0或-2

【解析】 若 a=0,两直线方程为-x+2y+1=0 和 x=-3,此时 a-1 两直线相交,不平行,所以 a≠0。当 a≠0 时,若两直线平行,则有 1 2 1 =a≠3,解得 a=-1 或 a=2,选 D。 【答案】 D

(2)(2015·浙江名校联考)已知直线l1:x+(a-2)y-2=0,l2:(a-2)x+

ay-1=0,则“a=-1”是“l1⊥l2”的(
A.充分不必要条件 C.充要条件

)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】

若a=-1,则l1:x-3y-2=0,l2:-3x-y-1=0,显

然两条直线垂直;若 l1⊥l2,则(a-2)+a(a-2)=0,∴a=-1或a=2, 因此,“a=-1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件,故选A。

【答案】 A

【规律方法】

(1)当直线的方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜

率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况。同时还要注意x, y的系数不能同时为零这一隐含条件。

(2)在判断两直线的平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的
关系得出结论。 设l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0。

①l1∥l2?A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0。
②l1⊥l2?A1A2+B1B2=0。

变式训练1 A.-10 C.0

已知过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为l1,直线2x+y-1 ) B.-2 D.8

=0为l2,直线x+ny+1=0为l3.若l1∥l2,l2⊥l3,则实数m+n的值为(

4-m 解析 ∵l1∥l2,∴kAB= =-2, m+2 解得 m=-8。
? 1? 又∵l2⊥l3,∴?-n?×(-2)=-1, ? ?

解得 n=-2,∴m+n=-10。 答案 A

考点二
【例2】

两条直线的交点问题
求经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y+1=0的交点,且

垂直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程。

【解】 解法一:先解方程组
?3x+2y-1=0, ? ?5x+2y+1=0,

得 l1,l2 的交点坐标为(-1,2), 3 5 再由 l3 的斜率5求出 l 的斜率为-3, 于是由直线的点斜式方程求出 l: 5 y-2=- (x+1),即 5x+3y-1=0。 3

解法二:由于 l⊥l3,故 l 是直线系 5x+3y+C=0 中的一条, 而 l 过 l1,l2 的交点(-1,2), 故 5×(-1)+3×2+C=0,由此求出 C=-1, 故 l 的方程为 5x+3y-1=0。
解法三:由于 l 过 l1,l2 的交点,故 l 是直线系 3x+2y-1+λ(5x+2y+ 1)=0 中的一条, 将其整理,得(3+5λ)x+(2+2λ)y+(-1+λ)=0。 3+5λ 5 1 其斜率- =- ,解得 λ= , 3 5 2+2λ 代入直线系方程即得 l 的方程为 5x+3y-1=0。

【规律方法】 二元一次方程组。

(1)求两直线的交点坐标,就是解由两直线方程组成的

(2)经过两条直线交点的直线方程的设法 经过两相交直线 A1x+ B1y+ C1 = 0 和 A2x+ B2y+ C2 = 0的交点的直线系 方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ∈R,这个直线系方程中不 包括直线A2x+B2y+C2=0)。

变式训练2
程。

如图,设一直线过点(-1,1),它被两平行直线l1:x+2y-

1=0,l2:x+2y-3=0所截的线段的中点在直线l3:x-y-1=0上,求其方

解 与 l1,l2 平行且距离相等的直线方程为 x+2y-2=0。 设所求直线方程为(x+2y-2)+λ(x-y-1)=0, 即(1+λ)x+(2-λ)y-2-λ=0。 又直线过点(-1,1), ∴(1+λ)· (-1)+(2-λ)· 1-2-λ=0。 1 解得 λ=-3。 ∴所求直线方程为 2x+7y-5=0。

考点三

距离公式的应用

【例3】 (2016·荆州模拟)已知点P(2,-1)。 (1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程;

【解】 过点 P 的直线 l 与原点距离为 2,而点 P 的坐标为(2,-1)。 当斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=2,此时,原点到直线 l 的距离为 2,符合题意; 当斜率存在时,设直线 l 的方程为 y+1=k(x-2), 即 kx-y-2k-1=0, |-2k-1| 3 由已知得 =2,解得 k= 。 4 k2+1 此时直线 l 的方程为 3x-4y-10=0, 综上可知:直线 l 的方程为 x=2 或 3x-4y-10=0。

(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程,最大距离是多少?

【解】 过点 P 与原点 O 距离最大的直线是过点 P 与 PO 垂直的直线, 1 由 l⊥PO,得 klkOP=-1,所以 kl=-k =2,
OP

由直线的点斜式得 y+1=2(x-2),即 2x-y-5=0, 即直线 2x-y-5=0 是过点 P 且与原点距离最大的直线 l 的方程, 最大 |-5| 距离是 = 5。 5

(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线?若存在,求出方程;若不 存在,请说明理由。 【解】 不存在。由(2)可知,过点P不存在到原点距离超过的直线, 因此不存在过点P且与原点距离为6的直线。

【规律方法】 距离的求法

(1)点到直线的距离
可直接利用点到直线的距离公式来求,但要注意此时直线方程必须为 一般式。

(2)两平行直线间的距离
①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点 到另一条直线的距离;

②利用两平行线间的距离公式。
提醒:在应用两条平行线间的距离公式时,应把直线方程化为一般形 式,且使x,y的系数分别对应相等。

变式训练 3 (1)(2016· 安庆模拟)若直线 l1: x+3y+m=0(m>0)与直线 l2: 2x+6y-3=0 的距离为 10,则 m=( A.7 C.14 B. 17 2 )

D.17

解析 直线 l1:x+3y+m=0(m>0), 即 2x+6y+2m=0。 因为它与直线 l2:2x+6y-3=0 的距离为 10, 所以 |2m+3| 17 = 10,求得 m= 2 。故选 B。 4+36

答案 (1)B

(2)(2016·南昌模拟 ) 过点 P(1,2) 引直线,使 A(2,3) ,B(4 ,-5) 到它的距 4x+y-6=0或3x+2y-7=0 。 离相等,则直线方程为___________________________ 解析 解法一:显然这条直线斜率存在。

设直线方程为 y=kx+b,根据条件有 2=k+b, ? ? ?|2k-3+b| |4k+5+b| = 。 2 2 ? k +1 ? k +1
?k+b=2, ?k+b=2, 化简得? 或? ?k=-4 ?3k+b+1=0。

3 7 所以 k=-4,b=6 或 k=-2,b=2。 3 7 所以直线方程为 y=-4x+6 或 y=-2x+2。 即 4x+y-6=0 或 3x+2y-7=0。

解法二:因为 kAB=-4,线段 AB 的中点为(3,-1), 所以过 P(1,2)且与直线 AB 平行的直线方程为 y-2=-4(x-1), 即 4x+y-6=0。此直线符合题意。 3 过 P(1,2)及线段 AB 的中点(3,-1)的直线方程为 y-2=-2(x-1),即 3x+2y-7=0。此直线也是所求。 故所求直线方程为 4x+y-6=0 或 3x+2y-7=0。

考点四

对称问题

对称问题是高考常考内容之一,也是考查学生转化能力的一种常见题 型。常见的命题角度有:

角度一:点关于点的对称

1 .(2016·泉州模拟 ) 过点P(0,1) 作直线 l,使它被直线 l1 :2x+ y-8 = 0
和 l2 : x - 3y + 10 = 0 截 得 的 线 段 被 点 P 平 分 , 则 直 线 l 的 方 程 为 x+4y-4=0 。 ____________

解析

设l1与l的交点为A(a,8- 2a),则由题意知,点A关于点 P的对称

点B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4, 即点A(4,0)在直线l上,所以直线l的方程为x+4y-4=0。

角度二:点关于直线对称 2.(2016· 日照模拟)已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2),则点 ? 33 4 ? ?- , ? A关于直线l的对称点A′的坐标为_____________ 。 ? 13 13?

解析 设 A′(x,y),由已知得

?y+2×2=-1, ?x+1 3 ? ?2×x-1-3×y-2+1=0, 2 2 ? ?x=-33, ? 13 解得? ?y= 4 , ? 13
? 33 4 ? 故 A′?-13,13?。 ? ?

角度三:直线关于直线的对称 3 .直线 l1 : 3x + y = 0 关于直线 l : x - y + 4 = 0 对称的直线 l2 的方程为 x+3y-8=0 。 _______________

解析 1,3)。

?3x+y=0, 解法一:解方程组? 得直线 l1 与 l 的交点为 A(- x - y + 4 = 0 , ?

在直线 l1 上任取一点 B(1, -3), 设点 B 关于直线 l 的对称点为 B′(x0,
?x0+1 y0-3? y0),则线段 BB′的中点? , 2 ?在直线 l 上,且直线 BB′与直线 l ? 2 ?

垂直,

?x0+1-y0-3+4=0, ? 2 2 所以有? ?y0+3=-1, ?x0-1
?x0=-7, 解得? 即 B′(-7,5)。 ?y0=5,

y -3 又直线 l2 过点 A(-1,3)和 B′(-7,5)两点,由两点式方程,得 = 5-3 x+1 , -7+1 即 x+3y-8=0。

解法二:设 M(x0,y0)是直线 l1 上任意一点,它关于直线 l 的对称点为 N(x,y),
?x+x0 y+y0? y-y0 ? 则线段 MN 的中点坐标为? ,直线 MN 的斜率为 , , 2 2 x - x ? ? 0

?x+x0-y+y0+4=0, ? 2 2 依题意,得? ?y-y0=-1, ?x-x0
?x0=y-4, 解得? ?y0=x+4。

因为 M(x0,y0)是直线 l1 上任意一点,所以 3x0+y0=0,所以 3(y-4)+ x+4=0,即 x+3y-8=0,此为所求直线 l2 的方程。

角度四:对称问题的应用 4.已知光线从A(-4,-2)点射出,到直线y=x上的B点后被直线y=x 反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(-1,6),求BC 所在的直线方程。



作出草图,如图所示,设 A 关于直线 y=x 的对称点为 A′,D 关

于 y 轴的对称点为 D′,则易得 A′(-2,-4),D′(1,6)。由入射角等于 y-6 反射角可得 A′D′所在直线经过点 B 与 C。 故 BC 所在的直线方程为 -4-6 x-1 = ,即 10x-3y+8=0。 -2-1

【规律方法】

(1)解决点关于直线对称问题要把握两点,点M与点 N

关于直线l对称,则线段MN的中点在直线l上,直线l与直线MN垂直。 (2)如果是直线或点关于点成中心对称问题,则只需运用中点公式就可

解决问题。
(3)若直线l1、l2关于直线l对称,则有如下性质:①若直线l1与l2相交, 则交点在直线l上;②若点B在直线l1上,则其关于直线l的对称点B′在直线l2

上。

S

思想方法

感悟提升

⊙1条规律——与已知直线垂直及平行的直线系的设法 与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为: (1)垂直:Bx-Ay+m=0;

(2)平行:Ax+By+n=0。
⊙1种思想——转化思想在对称问题中的应用 一般地,对称问题包括点关于点的对称,点关于直线的对称,直线关

于点的对称,直线关于直线的对称等情况,上述各种对称问题最终化归为
点的对称问题来解决。

⊙2个注意点——判断直线位置关系及运用两平行直线间的距离公式的 注意点

(1)在判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率是否存在。
若两条直线都有斜率,可根据判定定理判断,若直线无斜率时,要单独考 虑;
|C1-C2| (2)运用两平行直线间的距离公式 d= 的前提是将两方程中的 A2+B2 x,y 的系数化为对应相等。


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