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高一上期中数学考试2014年11月参考答案

2014—2015 学年度第一学期期中练习(参考答案)
高一数学
一、选择题 ABCDBCAA 二、填空题 9. 三、解答题 15.解: A

?x | x ? ?1?

10.2

11.[0,4]

12. ? 1,

3 2

13. 2

14.

1 16

B ? {x ? 2 ? x ? 8} .

……………………………………2 分 ………………………………… 3 分 ………………………………5 分 ………………………………6 分 ………………………………8 分

?R A ? {x x ? ?2, 或x ? 5}. (?R A) B={ x x ? ?2, 或x ? 1} . A B ? {x 1 ? x ? 5} . ?R ? A B? ? {x x ? 1, 或x ? 5} .
16.解: (1 ) 因为 ?

?1 ? x ? 0 ……………………………….2 分 ?1 ? x ? 0
所以 ?

? x ? ?1 , ?1 ? x

得到 ?1 ? x ? 1 …………………….3 分

所以函数 f ( x) 的定义域为 (?1,1) …………………….4 分 ( 2) 函数 f ( x) 的定义域为 (?1,1) , 当 x ? ( ?1,1) 时, ? x ? (?1,1) ………… …….5 分 因为 f (? x) ? log2 (1 ? (? x)) ? log2 (1 ? (? x)) …………….6 分

? log2 (1 ? x) ? log2 (1 ? x)
? f ( x) …………….7 分
所以函数 f ( x) ? log2 (1 ? x) ? log 2 (1 ? x) 是偶函数 …….8 分 ( 3) 因为 f (

2 2 2 ) ? log 2 (1 ? ) ? log 2 (1 ? ) 2 2 2 ? log 2 [(1 ? 2 2 )(1 ? )] …………….10 分 2 2

1 ? log 2 (1 ? ) 2
第1页 共3页

? log 2
= ?1

1 2
................................................12 分

3 17. 解:(1) f ( f (3)) ? f ( ) ? 3 ................................................2 分 2
(2)函数在 (1,? ?) 上单调递减...........................................3 分 证明:设 x1 , x 2 是 (1,??) 上的任意两个实数,且 x1 ? x 2 ,则................4 分

?x ? x1 ? x2 ? 0

?y ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 ?

1 1 x2 ? x1 ?1 ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ....................7 分

由 x1 , x2 ? (1,??) ,得 ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? 0 ,且 x2 ? x1 ? ?x ? 0 于是 ?y ? 0 ..........................................9 分 所以, f ( x ) ? (3) f ( x) ? 18. (1)

x 在 (1,??) 上是减函数 ..........................................10 分 x ?1

x ? 1或x ? 0

x ?0 x ?1

........................................................12 分

又 f ( x) ? x2 在 ?0, ??? 是增函数。 f (n) ? n2 ,n2 ? n ,n ? 0, n ? 1 。 f ( x) ? x2 ? 0,?n ? 0 ,

? 函数 f ? x ? ? x2 形如 ?n, ???? n ? R? 的保值区间有 ?0, ??? 或 ?1, ?? ? 。……………3 分
( 2 )假设存在实数 a,b 使得函数 g ? x ? ? 1 ?

1 ? x ? 0 ? ,有形如 ?a, b? ? a ? b? 的保值区间,则 a >0 , x

?1 ? 1, x ? (0,1) ? ?x g ( x) ? ? ,……………5 分 ?1 ? 1 , x ? ?1, ?? ? ? ? x ?1 ?1 ? b ? g ( a ) ? b ? 1 ?a 10 当实数 a,b ? (0,1) 时, g ( x ) ? ? 1, (0,1) 为减函数,故 ? ,? ,? a =b 与 a <b 矛 x ? g (b) ? a ? 1 ? 1 ? a ? ?b
盾。…………………………………………………………………………………………………………7 分

第2页

共3页

? 1 1? ? a ? g (a) ? a ? 1 ? a 0 2 当实数 a ,b ??1, ?? ? 时, g ( x) ? 1 ? ,? ?1, ?? ? 为增函数,故 ? ,? , x ? g (b) ? b ?1 ? 1 ? b ? ? b
得方程 1 ?

1 1 ? x 在 ?1, ?? ? 上有两个不等的实根,而 1 ? ? x ,即 x2 ? x ? 1 ? 0 无实根。……………9 分 x x

30 当 a ? (0,1) , b ??1, ??? , 1? ? a, b ? ,而 g (1) ?0 。故此时不存在满足条件的实数 a,b。………11 分
综上述,不存在实数 a,b 使得函数 g ? x ? ? 1 ?

1 ? x ? 0 ? 有形如 ?a, b? ? a ? b? 的保值区间. ………12 分 x

第3页

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