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1.4.2正弦函数、余弦函数的性质 教案(人教A版必修4)


1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 ●三维目标 1.知识与技能 (1)理解周期函数、周期函数的周期和最小正周期的定义. (2)掌握正、余弦函数的周期和最小正周期,并能求出正、余弦函数的最小正周期. 2.过程与方法 让学生通过观察正、余弦线以及正、余弦函数图象得出正、余弦函数的周期性,并借助于诱导公式一给予代数论证这一过程,使学生学会由具体形 象到抽象概括这一研究问题的方法. 3.情感,态度与价值观 让学生自己探究学习正、余弦函数的图象性质,领会从特殊推广到一般的数学思想,体会三角函数图象所蕴涵的和谐美,激发学生学数学的兴趣. ●重点、难点 重点:正弦函数、余弦函数的图象及其主要性质(包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域);深化研究函数性质的思想方法. 难点:正弦函数和余弦函数的周期性,以及周期函数、(最小正)周期的意义. ●教学建议 对于函数性质的研究,学生已经有些经验.其中,通过观察函数的图象,从图象的特征获得函数的性质是一个基本方法,这也是数形结合思想的应 用.由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在 一个周期的区间上的性质,那么它的性质也就是完全清楚了,因此,教科书把对周期性的研究放在了首位.另外,要使学生明白研究三角函数性质就是 “要研究这类函数具有的共同特点”,这是对数学思考方向的一种引导. 1.周期性 可引导学生从正、余弦线,正、余弦函数图象以及诱导公式一即形与数两个方面,归纳总结“周而复始”的变化规律,给出“周期性”概念.关于

正弦函数、余弦函数的周期与最小正周期,一般只要弄清定义,并根据正弦、余弦曲线观察出结果就可以了.对于学有余力的学生,可以让他们尝试证 明正弦、余弦函数的最小正周期是 2π. 2.其他性质 与研究周期性的方法一样,根据正弦函数、余弦函数图象及函数解析式,同样可以直观地看出这两个函数的奇偶性、单调性、最大(小)值等性质.值 得注意的是,对于周期函数性质的讨论,只要认识清楚它在一个周期内的性质,就可以得到它在整个定义域内的性质. (1)正弦函数、余弦函数的奇偶性,无论是由图象观察,还是由诱导公式进行证明,都很容易.所以,这一性质的研究可以交给学生自主完成. (2)正弦函数、余弦函数的单调性,只要求由图象观察,不要求证明.教学中要注意引导学生根据函数图象以及《数学 1》中给出的增(减)函数定义进 行描述.具体的,可以先选择一个恰当的区间(这个区间长为一个周期,且仅有一个单增区间和一个单减区间),对正弦函数在这个区间上的单调性进行描 述;然后利用正弦函数的周期性说明在其他区间上的单调性.对于余弦函数的单调性,可让学生类比正弦函数的单调性自己描述.另外,从一个周期的 区间推广到整个定义域上去时,学生会有些不习惯,教学中要留给学生一定的思考时间,由他们自己归纳出正弦函数、余弦函数的单调区间的一般形式. 正弦函数、余弦函数的最大值和最小值可以作为单调性的一个推论.由于问题比较简单,所以可以由学生自己去研究.同样的,对于取最大(小)值时 的自变量 x 的一般形式,也要注意引导学生利用周期性进行正确归纳. ●教学流程

1.掌握 y=sin x(x∈R),y=cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值.(重点) 课标解读 2.会用正弦函数、余弦函数的性质解决一些简单的三角函数问题.(难点) 3.了解周期函数、周期、最小正周期的含义.(易混点)

知识点 1 【问题导思】

函数的周期性

1.观察下列实例: (1)海水会发生潮汐现象,大约在每一昼夜的时间里,潮水会涨落两次. (2)钟表上的时针每经过 12 小时运行一周,分针每经过 1 小时运行一周,秒针每经过 1 分钟运行一周. 上述两种现象,具有怎样的属性? 【提示】 周而复始,重复出现. 2.观察正弦曲线和余弦曲线,正弦函数和余弦函数具有上述规律吗?哪个公式可以反映这种规律? 【提示】 具有.sin(x+2kπ)=sin x,cos(x+2kπ)=cos x. 1.函数的周期性 (1)对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做 这个函数的周期. (2)如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数叫做 f(x)的最小正周期. 2.两种特殊的周期函数 (1)正弦函数 y=sin x 是周期函数,2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是它的周期,最小正周期是 2π. (2)余弦函数 y=cos x 是周期函数,2kπ(k∈Z 且 k≠0)都是它的周期,最小正周期是 2π.

知识点 2 【问题导思】

正、余弦函数的奇偶性

对于 x∈R,sin(-x)=-sin x,cos(-x)=cos x,这说明正、余弦函数具备怎样的性质? 【提示】 奇偶性. 1.对于 y=sin x,x∈R 恒有 sin(-x)=-sin x,所以正弦函数 y=sin x 是奇函数,正弦曲线关于原点对称.

2.对于 y=cos x,x∈R 恒有 cos(-x)=cos x,所以余弦函数 y=cos x 是偶函数,余弦曲线关于 y 轴对称.

知识点 3 【问题导思】 观察正弦函数、余弦函数的图象:

正、余弦函数的定义域、值域和单调性

1.正弦函数、余弦函数的定义域各是什么? 【提示】 R 2.正弦函数、余弦函数的值域各是什么? 【提示】 [-1,1].

π 3π 3.正弦函数在[- , ]上函数值的变化有什么特点?余弦函数在[0,2π]上函数值的变化有什么特点? 2 2 π π π 3π 【提示】 y=sin x 在[- , ]上,曲线逐渐上升,是增函数,函数值 y 由-1 增大到 1;在[ , ]上,曲线逐渐下降,是减函数,函数值 y 由 1 减小 2 2 2 2 到-1; y=cos x 在[0,π]上,曲线逐渐下降,是减函数,函数值由 1 减小到-1;在[π,2π]上,曲线逐渐上升,是增函数,函数值由-1 增大到 1. 函数名称图象与 性质性质分类 相 同 处 定义域 值域 周期性 R [-1,1] 最小正周期为 2π R [-1,1] 最小正周期为 2π

y=sin x

y=cos x

图象 奇偶性 不 同 单调性 奇函数 π π π 3 在[2kπ- , 2kπ+ ](k∈Z)上是增函数; 在[2kπ+ , 2kπ+ π](k 2 2 2 2 ∈Z)上是减函数 偶函数 在[2kπ-π, 2kπ](k∈Z)上是增函数; 在[2kπ, 2kπ +π](k∈Z)上减函数



对称轴 对称中心

π x=kπ+ (k∈Z) 2 (kπ,0),(k∈Z) π x=2kπ+ (k∈Z)时,ymax=1; 2 π x=2kπ- (k∈Z)时, 2 ymin=-1 类型 1 求三角函数的周期

x=kπ(k∈Z) π (kπ+ ,0) 2 (k∈Z)

最值

x=2kπ 时,ymax=1;x=2kπ+π 时,ymin=-1

例 1 求下列函数的最小正周期: π (1)y=sin( x+3);(2)y=|cos x|. 2 π 【思路探究】 解答本题(1)可利用代换 z= x+3,将求原来函数的周期转化为求 y=sin z 的周期再求解,或利用公式求解;(2)可通过图象求周期. 2 π 【自主解答】 (1)法一 令 z= x+3,且 y=sin z 的最小正周期为 2π. 2 π π ∴sin( x+3+2π)=sin[ (x+4)+3], 2 2 π π 因此 sin( x+3)=sin[ (x+4)+3]. 2 2 π ∴由周期函数定义,T=4 是 y=sin( x+3)的最小正周期. 2

π 2π 法二 f(x)=sin( x+3)的周期 T= =4. 2 π 2 (2)作 y=|cos x|的图象,如图所示:

由图象知 y=|cos x|的最小正周期为 π. 规律方法 1.正弦函数、余弦函数的周期性,实质上是由终边相同角所具有的周期性决定的. 2.对于形如 y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数,且 ω≠0)函数的周期求法常直接利用 T= 的周期常结合函数的图象,观察求解. 互动探究 若把例题中两个函数改为: 1 π (1)y= cos(2x- ); 3 3 (2)y=cos|x|,试求函数的最小正周期. 2π 来求解;形如 y=|Asin ωx|或 y=|Acos ωx| |ω|

1 π 【解】 (1)∵y= cos(2x- )中,ω=2, 3 3 ∴函数的最小正周期为 T= (2)∵y=cos|x|=cos x, ∴y=cos|x|的最小正周期 T=2π. 2π =π. 2

类型 2 例 2 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)= 2sin 2x; 3x 3π (2)f(x)=sin( + ); 4 2 (3)f(x)= 1-cos x+ cos x-1.

三角函数的奇偶性的判断

【思路探究】 首先求出函数定义域,在定义域关于原点对称的前提下,根据 f(-x)与 f(x)及-f(x)的关系来判断. 【自主解答】 (1)显然 x∈R, f(-x)= 2sin(-2x)=- 2sin 2x=-f(x), ∴f(x)是奇函数. 3x 3π 3x (2)∵x∈R,f(x)=sin( + )=-cos , 4 2 4 3?-x? 3x ∴f(-x)=-cos =-cos =f(x), 4 4 3x 3π ∴函数 f(x)=sin( + )是偶函数. 4 2

?1-cos x≥0 ? (3)由? ,得 cos x=1,∴x=2kπ(k∈Z), ? ?cos x-1≥0

此时 f(x)=0,故该函数既是奇函数又是偶函数. 规律方法 1.判断函数奇偶性要按函数奇偶性的定义,定义域关于原点对称是函数是奇函数或偶函数的前提. 2.要注意诱导公式在判断 f(x)与 f(-x)之间关系时的作用. 变式训练 判断下列函数的奇偶性: 5 (1)f(x)= 2sin(2x+ π); 2 (2)f(x)=lg(sin x+ 1+sin2x). 5 π 【解】 (1)函数的定义域为 R,f(x)= 2sin(2x+ π)= 2sin(2x+ )= 2cos 2x,显然有 f(-x)=f(x)成立. 2 2 5 ∴f(x)= 2sin(2x+ π)为偶函数. 2 (2)函数定义域为 R, f(-x)=lg(-sin x+ 1+sin2x) =lg 1 sin x+ 1+sin2x

=-lg(sin x+ 1+sin2x)=-f(x). ∴函数 f(x)=lg(sin x+ 1+sin2x)为奇函数.

类型 3 π 例 3 求函数 y=sin( -x)的单调递减区间. 6

求正、余弦函数的单调区间

π π π 【思路探究】 本题中自变量的系数为负,故首先利用诱导公式,将 y=sin( -x)化为 y=-sin(x- )形式,故只需求 y=sin(x- )的单调递增区间即 6 6 6 可. π π 【自主解答】 y=sin( -x)=-sin(x- ), 6 6 π 令 z=x- ,则 y=-sin z, 6 要求 y=-sin z 的递减区间,只需求 sin z 的递增区间, π π 即 2kπ- ≤z≤2kπ+ ,k∈Z, 2 2 π π π ∴2kπ- ≤x- ≤2kπ+ ,k∈Z. 2 6 2 π 2 ∴2kπ- ≤x≤2kπ+ π,k∈Z. 3 3 π π 2 故函数 y=sin( -x)的单调递减区间为[2kπ- ,2kπ+ π],k∈Z. 6 3 3 规律方法 1.求形如 y=Asin(ωx+φ)+b 或形如 y=Acos(ωx+φ)+b(其中 A≠0,w>0,b 为常数)的函数的单调区间,可以借助于正弦函数、余弦函数的单调区 间,通过解不等式求得. 2.具体求解时注意两点:①要把 ωx+φ 看作一个整体,若 ω<0,先用诱导公式将式子变形,将 x 的系数化为正;②在 A>0,ω>0 时,将“ωx+φ” 代入正弦(或余弦)函数的单调区间,可以解得与之单调性一致的单调区间;当 A<0,ω>0 时同样方法可以求得与正弦(余弦)函数单调性相反的单调区间. 变式训练

π 求函数 y=2cos( -x)的单调递增区间. 4 π π π 3 π 【解】 y=2cos( -x)=2cos(x- ),由 2kπ-π≤x- ≤2kπ(k∈Z)得 2kπ- π≤x≤2kπ+ (k∈Z). 4 4 4 4 4 π 3 π ∴y=2cos( -x)的单调递增区间为[2kπ- π,2kπ+ ](k∈Z). 4 4 4 类型 4 有关三角函数的最值问题

3 1 例 4 已知函数 y1=a-bcos x 的最大值是 ,最小值是- ,求函数 y=-4asin 3bx 的最大值. 2 2 【思路探究】 欲求函数 y 的最大值,须先求出 a,为此可利用函数 y1 的最大、最小值,结合分类讨论求解. 3 1 【自主解答】 ∵函数 y1 的最大值是 ,最小值是- . 2 2

?a+b=2, 当 b>0 时,由题意得? 1 ?a-b=-2,
当 b<0 时,由题意得

3

1 ? ?a=2, ∴? ? ?b=1.

?a-b=2 ? 1 ?a+b=-2

3

1 ? ?a=2 ,∴? . ?b=-1 ?

因此 y=-2sin 3x 或 y=2sin 3x. 函数的最大值均为 2. 规律方法

1.对于求形如 y=asin x+b 或 y=acos x+b 的函数值域问题,一般情况下只要注意到正、余弦函数的性质“有界性”即可解决.注意当 x 有具体范 围限制时,需考虑 sin x 或 cos x 的范围. 2.求解此类问题时,要先求三角函数值的范围,然后再根据其系数的正负性质求解. 变式训练 π π 求函数 y=3-2cos x,x∈[- , ]的值域. 4 4 π π 【解】 (1)∵- ≤x≤ , 4 4 ∴ 2 ≤cos x≤1, 2 2 , 2

∴-1≤-cos x≤-

∴-2≤-2cos x≤- 2, ∴1≤3-2cos x≤3- 2. π π 故函数 y=3-2cos x,x∈[- , ]的值域为[1,3- 2]. 4 4

易错易误辨析 忽略弦函数值域的有界性致误 典例 求函数 y=1-2cos2x+5sin x 的最大值和最小值. 【错解】 y=1-2cos2 x+5sin x =2sin2 x+5sin x-1

5 33 33 =2(sin x+ )2- ≥- , 4 8 8 33 ∴函数 y=1-2cos2x+5sin x 的最小值为- ,没有最大值. 8 【错因分析】 根据正弦函数的图象,可以发现 sin x 的值介于[-1,1]之间,上述解答错误地将 sin x 的范围当成了实数集 R,所以本题中的以 sin x 为自变量的二次函数的定义域不是 R,而是[-1,1]. 【防范措施】 定义域是函数的三要素之一,研究函数的性质一般要先考虑函数的定义域,三角函数也不例外,若忽略定义域这一细节,可能扩大

自变量的取值范围而导致错误. 【正解】 y=1-2cos2x+5sin x 5 33 =2sin2x+5sin x-1=2(sin x+ )2- . 4 8 5 33 令 sin x=t,则 t∈[-1,1],则 y=2(t+ )2- . 4 8 因为函数 y 在[-1,1]上是增函数,所以当 t=sin x=-1 时,函数取得最小值-4,当 t=sin x=1 时,函数取得最大值 6. 课堂小结 1.三角函数的最值、单调区间及三角函数值的大小比较等问题,能结合图象时一定要联系图象进行综合思考,将数形有机结合起来. 2.讨论对称问题时一定要注意最值点、平衡点及周期的必然联系,形成思维网络. 3.讨论三角函数的所有性质,都要在其定义域内进行. 当堂双基达标

1.下列函数中,最小正周期为 π 的是( A.y=sin x B.y=cos x

)

x C.y=sin 2 2π 【解析】 由 T= 知 D 中函数的最小正周期为 π. |ω| 【答案】 D 2.下列函数是奇函数的是( A.y=x2 C.y=sin x 【解析】 由奇函数定义知 y=sin x 为奇函数. 【答案】 C π 3.函数 y=cos x(0≤x≤ )的值域是( 3 A.[-1,1] 1 C.[0, ] 2 π 【解析】 y=cos x 在[0, ]上单调递减, 3 π 1 ∴cos ≤y≤cos 0,即 ≤y≤1. 3 2 【答案】 B π 4.求函数 y=2sin( -x)在[-π,π]上的减区间. 4 ) 1 B.[ ,1] 2 D.[-1,0] ) B.y=cos x

D.y=cos 2x

D.y=|sin x|

π π 【解】 y=2sin( -x)=-2sin(x- ). 4 4 π 令 z=x- ,只需求 y=-2sin z 的减区间,即求 sin z 的增区间. 4 π π π 由 2kπ- ≤x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 4 2 π 3 ∴2kπ- ≤x≤2kπ+ π,k∈Z. 4 4 又-π≤x≤π, π 3 令 k=0,则- ≤x≤ π, 4 4 π 3 ∴所求函数在[-π,π]上的减区间是[- , π]. 4 4 课后知能检测 一、选择题 1.正弦函数 y=sin x,x∈R 的图象的一条对称轴是( A.y 轴 B.x 轴 )

π C.直线 x= D.直线 x=π 2 π π 【解析】 当 x= 时,y 取最大值,∴x= 是一条对称轴. 2 2 【答案】 C

2.函数 y=sin(2x+φ)(0≤φ≤π)是 R 上的偶函数,则 φ 的值是( A.0 π π B. C. 4 2 D.π

)

π π 【解析】 当 φ= 时,y=sin(2x+ )=cos 2x,而 y=cos 2x 是偶函数,故选 C. 2 2 【答案】 C π 3.函数 y=1-2cos x 的最小值,最大值分别是( 2 A.-1,3 B.-1,1 C.0,3 D.0,1 π π 【解析】 ∵cos x∈[-1,1],∴-2cos x∈[-2,2], 2 2 π ∴y=1-2cos x∈[-1,3], 2 ∴ymin=-1,ymax=3. 【答案】 A π 4.函数 f(x)=3sin(x+ )在下列区间内递减的是( 6 π π A.[- , ] B.[-π,0] 2 2 2 2π π 2π C.[- π, ] D.[ , ] 3 3 2 3 π π 3π 【解析】 令 2kπ+ ≤x+ ≤2kπ+ ,k∈Z 可得 2 6 2 π 4π 2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈Z, 3 3 ) )

π 4π ∴函数 f(x)的递减区间为[2kπ+ ,2kπ+ ],k∈Z. 3 3 【答案】 D 5.下列关系式中正确的是( A.sin 11° <cos 10° <sin 168° B.sin 168° <sin 11° <cos 10° C.sin 11° <sin 168° <cos 10° D.sin 168° <cos 10° <sin 11° 【解析】 ∵sin 168° =sin(180° -12° )=sin 12° ,cos 10° =sin(90° -10° )=sin 80° . 由正弦函数的单调性得 sin 11° <sin 12° <sin 80° ,即 sin 11° <sin 168° <cos 10° . 【答案】 C 二、填空题 π 6.函数 y=2cos( -ωx)的最小正周期为 4π,则 ω=________________________________________________________________________. 3 2π 1 【解析】 ∵4π= ,∴ω=± . 2 |-ω| 1 【答案】 ± 2 7.函数 y=sin2x+sin x-1 的值域为________. 1 5 【解析】 y=(sin x+ )2- , 2 4 ∵-1≤sin x≤1, )

1 9 ∴0≤(sin x+ )2≤ . 2 4 5 - ≤y≤1. 4 5 【答案】 [- ,1] 4 8.若已知 f(x)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=sin 2x+cos x.则 x<0 时,f(x)=__________. 【解析】 当 x<0 时,-x>0,∴f(-x)=sin(-2x)+cos(-x), ∴f(-x)=-sin 2x+cos x. ∵f(x)为奇函数, ∴f(-x)=-f(-x), ∴f(x)=-[-sin 2x+cos x]=sin 2x-cos x. 【答案】 sin 2x-cos x 三、解答题 9.判断下列函数的奇偶性: 3π (1)f(x)=sin(2x+ ); 2 (2)f(x)= sin x?1-sin x? . 1-sin x

3π 【解】 (1)函数 f(x)的定义域是 R,f(x)=sin(2x+ )=-cos 2x, 2 ∴f(-x)=-cos(-2x)=-cos 2x=f(x). ∴f(x)是偶函数.

π (2)由题意,知 sin x≠1,即 f(x)的定义域为{x|x≠2kπ+ },k∈Z,此函数的定义域不关于原点对称. 2 ∴f(x)是非奇非偶函数. π x 10.求函数 y=3sin( - )的单调递增区间. 3 2 π x x π 【解】 y=3sin( - )=-3sin( - ). 3 2 2 3 π x π 3π 由 +2kπ≤ - ≤ +2kπ,k∈Z, 2 2 3 2 5π 11π 解得: +4kπ≤x≤ +4kπ,k∈Z, 3 3 π x 5π 11π ∴函数 y=3sin( - )的单调增区间为[ +4kπ, +4kπ](k∈Z). 3 2 3 3 π π 11.已知函数 f(x)=2asin(2x- )+b 的定义域为[0, ],最大值为 1,最小值为-5,求 a 和 b 的值. 3 2 π 【解】 ∵0≤x≤ , 2 π π 2 ∴- ≤2x- ≤ π, 3 3 3 ∴- 3 π ≤sin(2x- )≤1,易知 a≠0. 2 3

当 a>0 时,f(x)max=2a+b=1, f(x)min=- 3a+b=-5.

?2a+b=1 由? , ?- 3a+b=-5 ?a=12-6 3 解得? . ?b=-23+12 3
当 a<0 时,f(x)max=- 3a+b=1, f(x)min=2a+b=-5.

?a=-12+6 3 ?- 3a+b=1 由? ,解得? . ?2a+b=-5 ?b=19-12 3
【教师备课资源】 1.比较大小 比较下列各组值的大小. (1)sin 21π 42 与 sin π; 5 5

(2)sin 194° 与 cos 160° . 21π 42π 【思路探究】 (1)首先将角 和 化为[0,2π]内的角,再依据单调性比较大小.(2)先化为同名函数再进行比较. 5 5 【解】 (1)由于 sin sin 21π π π =sin(4π+ )=sin , 5 5 5

42π 2π 2π =sin(8π+ )=sin . 5 5 5

π 2π π π 又 0< < < ,而 y=sin x 在[0, ]上单调递增, 5 5 2 2

π 2π 21π 42π 所以 sin <sin ,即 sin <sin . 5 5 5 5 (2)由于 sin 194° =sin(180° +14° )=-sin 14° , cos 160° =cos(180° -20° )=-cos 20° =-sin 70° , π 又 0° <14° <70° <90° ,而 y=sinx 在[0, ]上单调递增, 2 所以 sin 14° <sin 70° ,-sin 14° >-sin 70° , 即 sin 194° >cos 160° .

借助正弦、余弦函数的单调性可以比较两个三角函数值的大小,关键是将两个三角函数值化为在同一个单调区间内的两个角的同名三角函数值.对 π π π 3π 于正弦函数来说,一般将两个角转化到[- , ]或[ , ]内;对于余弦函数来说,一般将两个角转化到[-π,0]或[0,π]内. 2 2 2 2

比较下列各组数的大小: (1)sin(-320° )与 sin 700° ; 17π 37 (2)cos 与 cos π. 8 9 【解】 (1)∵sin(-320° )=sin(-360° +40° ) =sin 40° , sin 700° =sin(720° -20° )=sin(-20° ), π π 又函数 y=sin x 在[- , ]上是增函数, 2 2

∴sin 40° >sin(-20° ), ∴sin(-320° )>sin 700° . 17π π π (2)∵cos =cos(2π+ )=cos , 8 8 8 37π π π cos =cos(4π+ )=cos , 9 9 9 又函数 y=cos x 在[0,π]上是减函数, π π ∴cos <cos , 8 9 17π 37π ∴cos <cos . 8 9 2.知识拓展 正弦函数、余弦函数图象对称性的应对策略 (1)由正弦曲线和余弦曲线可知: 函数 y=sin x 和 y=cos x 既是中心对称图形,又是轴对称图形. π y=sin x 的对称中心为(kπ,0)(k∈Z),对称轴为 x=kπ+ (k∈Z). 2 π y=cos x 的对称中心为(kπ+ ,0)(k∈Z),对称轴为 x=kπ(k∈Z). 2 π (2)例如:若函数 f(x)=sin x+acos x 的图象关于直线 x= 对称,则 a=________. 6 π 【解析】 可先对 f(x)的解析式化简,要求其对称轴方程,使其中的一个对称轴方程为 x= ,从而求出 a 的值,也可用特例法来求解: 6

π ∵f(x)的图象关于直线 x= 对称, 6 π ∵f(0)=f( ), 3 π π 即 a=sin +acos , 3 3 ∴a= 3,故填 3. 【答案】 3

(3)由函数图象的对称性可知: π 若 f(x)=sin x,且 f(a+x)=f(a-x)对任意实数 x 恒成立,则 a=kπ+ (k∈Z). 2 若 f(x)=cos x,且 f(a+x)=-f(a-x)对任意实数 x 恒成立,则 a=kπ(k∈Z).


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