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高二周练5教师版


顺德区容山中学

2012—2013 学年第二学期

周练

时间: 3 月 30 日

高二理科数学周练(五)
(内容:选修 2-2 全本)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1+2i 1.复数 的虚部是( B ) 1+i 1 A、2i B、 2 1 C、 i 2 3 D、 2
1 ? 3i 3?i ? (1 ? i ) ,则复数 Z 对应点落在( C
4

2. i 是虚数单位。已知复数 Z ? A.第四象限
2



B.第三象限

C.第二象限

D.第一象限

3.若复数

( a ? a ? 2 ) ? ( a ? 1 ? 1) i ( a ? R )

不是纯虚数,则 a 的取值范围是( C ) (C) a ? ? 1 (D) a ? 2

(A) a ? ? 1 或 a ? 2

(B) a ? ? 1 且 a ? 2

4.在古希腊,毕达哥拉斯学派把 1,3,6,10,15,21,28,?这些数叫做三角形数,因为这些数 对应的点可以排成一个正三角形

1 3 则第 n 个三角形数为( B ) A. n B.
n ( n ? 1) 2

6

10

15
n ( n ? 1) 2

C. n ? 1
2
*

D.

5.某个命题与正整数有关,若当 n ? k ( k ? N ) 时该命题成立,那么可推得当 n ? k ? 1 时该命题 也成立,现已知当 n ? 5 时该命题不成立,那么可推得( D (A)当 n ? 6 时,该命题不成立 (C)当 n ? 4 时,该命题成立 )

(B)当 n ? 6 时,该命题成立 (D)当 n ? 4 时,该命题不成立 )

6.否定“自然数 a、b、c 中恰有一个偶数”时的正确反设为( B A.a、b、c 都是奇数 B.a、b、c 或都是奇数或至少有两个偶数 C.a、b、c 都是偶数 D.a、b、c 中至少有两个偶数 7.求由曲线 y ? ?

x ,直线 y ? ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积错误的为( C ..



1

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2012—2013 学年第二学期

周练

时间: 3 月 30 日

A. ? ( 2 ? x ?
0

4

x )dx

B. ?

4

xdx
0

C. ? ( 2 ? y ? y ) d y D. ? ( 4 ? y ) d y
2 2 ?2 ?2

2

0

8.给出以下命题:

? ⑴若

b a

f ( x )d x ? 0

,则 f(x)>0;

? ⑵

2? 0

s in x d x ? 4

;
a 0

? ⑶f(x)的原函数为 F(x),且 F(x)是以 T 为周期的函数,则

f ( x)dx ?

?

a ?T

f ( x )d x
T



其中正确命题的个数为( B ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)0 9.设 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x <0 时,f ′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0,且 g ( ?3) ? 0 ,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是( D ) A. (-3,0)∪(3,+∞) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) 10. 已知函数
2

B. (-3,0)∪(0,3) D. (-∞,-3)∪(0,3) 3, 数列 ?
? ? 的前 n 项和为 Sn , ? f ( n) ? ? 1

f ( x) ? x ? bx 的图象在点 A(1, f (1)) 处的切线的斜率为

则 S2011 的值为( D )
A. 2008 2009
3

B.

2009 2010
2

C.

2010 2011

D.

2011 2012

11.设函数 f(x)=kx +3(k-1)x ? k 2 +1 在区间(0,4)上是减函数,则 k 的取值范围是 ( D ) A. k ?
1 3

B. 0 ? k ?

1 3

C. 0 ? k ?
3 2

1 3

D. k ?

1 3

12.函数 y ? f ( x ) 在定义域 ( ? 则不等式 f ? ( x ) ? 0 的解集为
? ? 1 ? ,1 ? ? 2 , 3 ? 3 ? ? 3 1? , ? ?1, 2 ? 2 2? ?

, 3 ) 内可导,其图象如图所示,记 y ? f ( x ) 的导函数为 y ? f ? ( x ) ,

(D )
?4 8?

A. ? ?
? ?

B. ? ? 1, 2 ? ? ? , ? ?3 3? D. ? ?
? ? ? ?1 4 ? ?8 ? , ?1 ? , ? ,3? ? ? ? ? 2 ? ?2 3? ?3 ? 3

C. ? ?

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 13. 利用定积分的几何意义或微积分基本定理计算下列定积分:

(1) ?

1

1 ? x dx ?
2


1 x?2

0

(2) ?

3

2 dx ?
x



3.

1

14.直线 l 过点 ( ? 1, 3 ),且与曲线 y ? 为 ;x ? y ? 4 ? 0

在点 (1, ? 1 ) 处的切线相互垂直, ,则直线 l 的方程

2

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2012—2013 学年第二学期

周练

时间: 3 月 30 日 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 12 1 6 1 2 1 3 1 12 1 4 1 5

15.如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形“,它们是由 1 整数的倒数组成的,第 n 行有 n 个数且两端的数均为 (n≥2) ,其 n 余每个数是它下一行左右相邻两个数的和,如: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + , = + , = + ,... ..., 1 2 2 2 3 6 3 4 12 则第 7 行第 4 个数(从左往右数)为( A ) 1 A、 140 1 1 B、 C、 105 60 D、 1 42

16.对于平面几何中的命题:“夹在两条平行线之间的平行线段相 等 ”, 在 立 体 几 何 中 , 类 比 上 述 命 题 , 可 以 得 到 命 题 : “_____________________________________________________” 这个类比命题的真假性是________ 夹在两个平行平面间的平行线段相等;真命题.
2 2 2 2 2

1 20

1 30

1 20

... ...

i 17. 设 a i ? R ? ,x i ? R ? , ? 1, 2 , ? n , a 1 ? a 2 ? ? a n ? 1 ,x1 ? x 2 ? ? x n ? 1 , 且 则
2

a a1 a 2 , ,? , n x1 x 2 xn

的值中,现给出以下结论,其中你认为正确的是 .③⑤ ①都大于 1②都小于 1③至少有一个不大于 1④至多有一个不小于 1⑤至少有一个不小于 1
1? 1 2
2

?

3 2

, 1?

1 2
2

?

1 3
2

?

5 3

, 1?

1 2
2

?

1 3
2

?

1 4
2

?

7 4 ,

18.观察下列式子

新疆
源头学子 小屋
http://www.xjktyg.com/wxc/

特级教师 王新敞
wxckt@126.com

新疆
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? ? ,

则可归纳出________________________________
1? 1 2
2

新疆 源头学子小屋
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?

1 3
2

?? ?

1 ( n ? 1)
2

?

2n ? 1 n ?1

(n∈N )

*

答题栏
姓名:_____________________学号:_____________________分数:_____________________
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

13._____________________ 15._____________________ 17._____________________

14._____________________ 16._____________________ 18._____________________

3

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周练

时间: 3 月 30 日

三、解答题(本大题共 6 小题,每小题 10 分,共 60 分)
a b b 19. 已知 a 、 ? R , a ? b ? e (其中 e 是自然对数的底数),求证: b ? a .(提示:可考虑用分析法找思路,

两边取对数)
a b 证明:∵ b ? 0, a ? 0 ∴要证: b ? a

a

b

只要证: a ln b ? b ln a
ln b ? ln a a ln x x

只要证 b
f (x) ?

.(∵ a ? b ? e )
f ?( x ) ? 1 ? ln x x
2

取函数

,∵

? ∴当 x ? e 时, f ( x ) ? 0 ,∴函数 f ( x ) 在 ( e , ? ? ) 上是单调递减.
ln b ? ln a a
2

∴当 a ? b ? e 时,有 f ( b ) ? f ( a ) 即 b 20.已知数列 ? a n ? 中, a 1 ?
1 2

.得证

, S n ? n an ? n ? N ? ? .

(Ⅰ)求 a 2 , a 3 , a 4 的值; (Ⅱ)推测数列 ? a n ? 的通项公式,并用数学归纳法证明. 解:(Ⅰ), a 1 ? ∵ ∵ ∴
1 2

, ∵ S 2 ? 4a2 ?
1 2
1 2

1 2

? a 2 ? 4 a 2 ,? a 2 ? 1 12

1 6

,即

S 3 ? 9 a 3 ,即

+

1 6

+ a 3 ? 9 a 3 ,? a 3 ?
1 6



S 4 ? 1 6 a 4 ,即
a4 ? 1 20
1

+

+

1 12

+ a4 ? 16a4 ,



(Ⅱ)猜想 a n ?

n (n ? 1 )

.证明如下:
1 2
1 k (k ? 1 )

【证明】 (1)当 n ? 1 时, a 1 ? 假设 n ? k 时成立,即 a k ?

,结论成立.

.
k k ?1
2



S k ? a1 ? a 2 ? ? ? a k ? 1 ?
2

1 k ?1

?

由 S k ?1 ? ? k ? 1 ? ? a k ?1 ? S k ? a k ?1 ? ? k ? 1 ? ? a k ?1

4

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时间: 3 月 30 日

得 a k ?1 ?

Sk k ? 2k
2

=

1 (k ? 1)(k ? 2)



说明当 n ? k ? 1 时,结论也成立. 综合上述,可知对一切 n∈N,都有 a n ?
1 n (n ? 1 )

1 2 21.已知数列{bn}的通项公式为 bn=4?3?n-1.求证:数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列. (反 ? ? 证法) [解析] 假设数列{bn}存在三项 br、bs、bt(r<s<t)按某种顺序成等差数列,由于数列{bn}是首项为 1 2 ,公比为 的等比数列,于是有 bt>bs>br,则只可能有 2bs=br+bt 成立. 4 3 1 2 - 1 2 - 1 2 - ∴2·?3?s 1= ?3?r 1+ ?3?t 1. 4? ? 4? ? 4? ? 两边同乘 3t 121 r,化简得 3t r+2t r=2·s r3t s, 2 由于 r<s<t,所以上式左边为奇数,右边为偶数,故上式不可能成立,导致矛盾. 故数列{bn}中任意三项不可能成等差数列. 22.已知函数
f ( x )? 1 ? m ? ln x x
- - - - - -

,m ? R .

(Ⅰ)求 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)若 ln x ? a x ? 0 在 ( 0 , ?

? )

上恒成立,求 a 的取值范围.
f?( x )? m ? ln x x
2

解(Ⅰ)由导数运算法则知, 令
f?( x)? 0



,得 x ? e .
m

当x?(0,e 当x?(e
m

m

)

时,

f?( x)? 0



f ( x ) 单调递增; f ( x ) 单调递减.
?m

,?? )

时,

f?( x)? 0



故当 x ? e 时,
m

f ( x ) 有极大值,且极大值为 f ( e

m

)?e

. 在 ( 0 , ? ? ) 上恒成立,等价于只需
ln x x

(Ⅱ)欲使 ln x ? a x ? 0 在 ( 0 , ? ? ) 上恒成立,只需 在 ( 0 , ? ? ) 上的最大值小于 a . 设g
( x )? 1 e ln x x

ln x x

? a

(x ? 0) ,由(Ⅰ)知, g
1 e ,? ? )

( x)

在 x ? e 处取得最大值 .
e

1

所以 a

?

,即 a 的取值范围为 (
? ? x ?
?



23.设 f ( x) ? ?

? ?

x ? ?ax

?

5

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(1)若 f ( x) 在 ( , ??) 上存在单调递增区间,求 a 的取值范围;
?

?

(2)当 a=1 时,求 f ( x) 在 [?, ?] 上的最值.

解: (1)由 当 x ?[ 令
2 9 2

2 f ?( x ) ? ? x ? x ? 2a ? ?( x ?

1 2

) ?
2

1 4

? 2a

2 2 , ??)时, f ?( x)的最大值为f ?( ) ? ? 2a; 3 3 9 1 9 1 2 时, f ( x )在( , ??) 上存在单调递增区间 9 3 f ( x) ? ? ? ?
2

? 2a ? 0, 得a ? ?

所以,当 a ? ?

(2)当 a=1 时,
f '( x) ? ? x
2

x ?

?

? ?

x ? ?x

?

+x+2,令

f '( x) ? ? x

+x+2=0 得 x1=-1,x2=2

因为 f ( x)在(1, 2) 上单调递增,在 (2, 4) 上单调递减. 所以在[1,4]上的 因为
f (1) ? 13 6
f ( x ) 在[1,4]上的最大值为 f (2) ?

10 3

.



f (4) ? ? 16 3

16 3

最小值为

f (4) ? ?

24.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千克)与销售价格 x(单位:元/ 千克)满足关系式 y ?
a x ?3 ? 10( x ? 6) ,其中 3<x<6,a 为常数,已知销售价格为 5 元/千克时,每日可
2

售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值 (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润 最大.

6

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