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高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)数学归纳法_图文

第七节 数学归纳法 [备考方向要明了] 考什么 怎么考 1.与数列等知识相结合,以解答题的形式考查等式、不等 式的证明,如 x 年 xT21 等. 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简 单的数学命题. 2.以解答题的形式考查“观察—归纳—猜想—证明”的问 题,如 x 年湖北 T22 等. [归纳· 知识整合] 1.数学归纳法 一般地,证明一个与正整数 n 有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当 n 取 x 个值 n0(n0∈N*)时命题成立; (2)(归纳递推)假设 n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当 n=k+1 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立. [探究] 1.数学归纳法证题的基本原理是什么? 提示:数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法,它的表述严格而 且规范,两个步骤缺一不可.x 步是递推的基础,第二步是递推的依据,第二步中,归纳 假设起着 “ 已知条件 ” 的作用,在第二步的证明中一定要运用它,否则就不是数学归纳 法.第二步的关键是“一凑假设,二凑结论”. 2.用数学归纳法证明问题应该注意什么? 提示:(1)x 步验证 n=n0 时命题成立,这里的 n0 并不一定是 1,它是使命题成立的最小 正整数.(2)第二步证明的关键是合理运用归纳假设,特别要弄清由 k 到 k+1 时命题的变化 情况.(3)由假设 n=k 时命题成立,证明 n=k+1 命题也成立时,要充分利用归纳假设,即 要恰当地“凑”出目标. 2.数学归纳法的框图表示 [自测· 牛刀小试] n?n-3? 1.在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 条时,x 步检验 n 等于( 2 A.1 C.3 解析:选 C ∵n≥3,∴x 步应检验 n=3. B.2 D.0 ) n4+n2 2.用数学归纳法证明 1+2+3+…+n2= ,则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基 2 础上加上( A.k2+1 B.(k+1)2 ?k+1?4+?k+1?2 C. 2 D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2 解析:选 D ∵当 n=k 时,左侧=1+2+3+…+k2,当 n=k+1 时, ) 左侧=1+2+3+…+k2+(k2+1)+…+(k+1)2, ∴当 n=k+1 时,左端应在 n=k 的基础上加上 (k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2. 3.利用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1),n∈N*”时, 从“n=k”变到“n=k+1”时,左边应增乘的因式是( A.2k+1 2k+1 C. k+1 解析:选 B 当 n=k(k∈N*)时, 左式为(k+1)(k+2)…(k+k); 当 n=k+1 时,左式为(k+1+1)· (k+1+2)· …· (k+1+k-1)· (k+1+k)· (k+1+k+1), ?2k+1??2k+2? 则左边应增乘的式子是 =2(2k+1). k+1 B.2(2k+1) 2k+3 D. k+1 ) 1 1 1 4.(教材习题改编)用数学归纳法证明 1+ + +…+ n <n(n∈N,且 n>1),x 步要 2 3 2 -1 证的不等式是________. 1 1 1 1 解析:当 n=2 时,左边=1+ + 2 =1+ + , 2 2 -1 2 3 1 1 右边=2,故填 1+ + <2. 2 3 1 1 答案:1+ + <2 2 3 5.记凸 k 边形的内角和为 f(k),则凸 k+1 边形的内角和 f(k+1)=f(k)+________. 解析:由凸 k 边形变为凸 k+1 边形时,增加了一个三角形. 答案:π 用数学归纳法证明等式 1 1 1 1 1 1 1 1 [例 1] n∈N*,求证:1- + - +…+ - = + +…+ . 2 3 4 2n 2n-1 2n n+1 n+2 1 1 [自主解答] (1)当 n=1 时,左边=1- = , 2 2 右边= 1 = .左边=右边. 1+1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (2)假设 n=k 时等式成立,即 1- + - +…+ - = + +…+ , 2 3 4 2 k 2 k 2k-1 k+1 k+2 则当 n=k+1 时, ?1-1+1-1+…+ 1 - 1 ? ? 1 - 1 ? +? ? 2 3 4 ? 2k-1 2k? ? ? ?2k+1 2k+2? =? = ? 1 + 1 +…+ 1 ? ? 1 - 1 ? 2k?+?2k+1 2k+2? ?k+1 k+2 ? ? ? 1 1 1 + +…+ + . k+2 k+3 2k+1 2k+2 1 即当 n=k+1 时,等式也成立. 综合(1),(2)可知,对一切 n∈N*,等式成立. ————— —————————————— 用数学归纳法证明等式应注意的问题 (1)用数学归纳法证明等式问题是常见题型,其关键点在于弄清等式两边的构成规律, 等式两边各有多少项,以及初始值 n0 的值. (2)由 n=k 到 n=k+1 时,除考虑等式两边变化的项外还要充分利用 n=k 时的式子, 即充分利用假设,正确写出归纳证明的步骤,从而使问题得以证明. n?n+1??2n+1? 1.求证:x+22+…+n2= . 6 1· ?1+1??2+1? 证明:(1)当 n=1 时,左边=1,右边= =1,左边=右边,等式成立; 6 (2)假设 n=k(k∈N*,且 k≥1)时,等式成立, k?k+1??2k+1? 即 x+22+…+k2= , 6 则当 n=k+1 时,x+22+…+k2+(k+1)2 = k?k+1??2k+1? +(k+1)2 6 ?k+1?[?k+1?+1][2?k+1?+1] , 6 = 所以当 n=k+1 时,等式仍然成立. 由(1)

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