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南通最后一卷,高中数学考前适应试卷(含答案)

江苏新高考题库群:655740462
2019 届高三适应性考试
数学参考答案及评分建议

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.
1. 已知集合 A ? ? 1,3,5,7 ? , B ? ? 0,1,3 ? ,则集合 A ? B = ▲ .

【答案】 ? 1,3?

2.



a 1-

i

+

bi

=

1,其中

i

为虚数单位,

a

,b

?

R

,则

ab

的值为





【答案】-2

3. 已知一组数据 7,8,11,14,15,则该组数据的方差为 ▲ .

【答案】10

4. 一个算法的流程图如图所示,则输出的 a 的值为 ▲ .

【答案】9 5. 函数 f (x) = ln(4 - x2 ) 的定义域为 ▲ .

【答案】 (-2,2)

6. 一根绳子长为 5 米,若将其任意剪为两段,则剪成的

两段绳子的长度有一段大于 3 米的概率为 ▲ .

【答案】 4 5

7.

在平面直角坐标系

xOy

中,双曲线

x2 a2

?

y2

?(1 a

> 0)

的离心率为 2 3 ,则该双曲线的焦距为 ▲ . 3
【答案】 4

开始

n ? 1,a ? 0

n ?n ?1

n?4
N 输出 a

Y
a ?a?3

结束
(第 4 题)

8. 某长方体的长、宽、高分别为 2 cm,2 cm,4 cm,则该长方体的体积与其外接球的体积 之比为 ▲ . 【答案】 6 :3p
9. 已知等差数列 ?an? 满足 a4 ? 4 ,且 a1 , a2 , a4 成等比数列,则 a3 的所有值为 ▲ .
【答案】3,4

10. 在平面直角坐标系 xOy 中,圆 O1: x2 ? y2 ? 9 与圆 O2: x2 ? y2 ? 4x ? 2 y ? 3 ? 0 的
公共弦的长为 ▲ .
1

【答案】 12 5 5

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11. 若函数 f (x) ? ax2 ? a ? 1(a ? R ) 存在零点,且与函数 f ? f (x)? 的零点完全相同,则实数

a 的值为 ▲ . 【答案】1

12.如图,在直角△ABC 中, ?ACB ? 90? , ?BAC ? 60? ,

AB ? 4 .以 BC 为直径向△ABC 外作半圆,点 P 在半圆



B?C

上,且满足

???? BP

?

???? BA=6

,则

???? AC

?

???? AP

的值为





【答案】 7

P C

A

B

(第 12 题)

13.

在△

ABC

中,已知

AB

边上的中线

CM

?

1

,且

1 tan

A

,1 tan

C

,1 tan

B

成等差数列,则

AB

的长为 ▲ .

【答案】 2 3 3

? ? 解析:在△ ABC 中,根据中线长公式 CM ?

2 a2 ? b2 2

? c2

,得 a2 ? b2

? c2 2

?2.

由 1 , 1 , 1 成等差数列, tan A tan C tan B

得 2 ? 1 ? 1 ,从而 tan C tan A tan B

? ? 2

?

sin C cos C

cos A ? cos B sin A sin B

? sin C sin(A ? B) ?

sin2 C

?

c2



cosC sin Asin B

sin Asin B cosC

ab

?

a2

? b2 ? 2ab

c2

解得,

c

?

23 3



14. 已知函数 f (x) = ex -1 ,若存在实数 a ,b (a ? b) 使得 f (a) = f (b) ,则 a+2b 的最大值

为▲. 【答案】 ln 32
27 解析: f (a) ? f (b) ? t ,则 ea -1 = eb -1 = t ,解得 a = ln(1-t) , b = ln(1+t),

所以 a+2b = ln(1- t)+2ln(1+t)=ln(1- t)(1+t)2 .

设 g(t) = (1- t)(1+t)2(0 < t <1) ,则 g?(t) = (1- 3t)(1+t) .

因为 0 < t < 1 时, g?(t) > 0, g(t) 单调递增, 1 < t <1时, g?(t) < 0 , g(t) 单调递减,

3

3

2

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所以

g(t)max

=

g(1) 3

=

32 27

,所以

a

+ 2b 的最大值为

ln

32 27



二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15.(本小题满分 14 分)

如图,在三棱锥 A-BCD 中,AB⊥BC, AB = BC = 4 2 , BE⊥AC,点 F 是 CD 的

中点, EF = 3, BF = 5.

求证:(1)EF∥平面 ABD;

A

(2)平面 ABC⊥平面 ADC.

【证】(1)在△ABC 中, 因为 AB = BC ,BE⊥AC, 所以 E 为 AC 的中点.…………………2 分

又因为点 F 是 CD 的中点

所以 EF∥AD.

…………………4 分

又 AD ? 平面ABD ,EF ? 平面ABD ,

E
B B

D F

C

(第 15 题)

所以 EF∥平面 ABD. ………………6 分 (2) 在 RT△ABC 中,

因为 AB = BC = 4 2 , 所以 AC=8. 又因为 AE=CE, 所以 BE = 4 . 又因为 EF = 3, BF = 5,

…………………8 分

所以 BF2 = BE2 + EF2 ,即 BE⊥EF.

…………………10 分

又因为 BE⊥AC,AC ?平面 ACD,EF ?平面 ACD, AC ? EF ? E ,

所以 BE⊥平面 ACD,
又因为 BE ?平面 ABC,

…………………12 分

所以平面 ABC⊥平面 ADC.

…………………14 分

16.(本小题满分 14 分)
3

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在△ ABC 中,已知

AB

=2

, cos B =

2 10

,C

=

p 4



(1)求 BC 的长;

(2)求

sin(2

A

+

p 3

)

的值.

解:(1)因为 cos B

=

2 10

, 0<B<π



所以 sin B =

1- cos2 B =

1

-

(

2 10

)2

=

72 10



…………………2 分

在△ ABC 中, A + B + C = p ,所以 A = p - (B + C) ,

于是 sin A = sin(p - (B +C)) = sin(B +C)

=

sin

B

cos

C

+

cos

B

sin

C

=

72 10

?

2 2

+ 2? 10

2 2

=

4. 5

在△

ABC

中,由正弦定理知

BC sin A

?

AB sin C



…………………4 分

所以

BC

?

AB sin C

?

sin

A=

2 2

?

4 5

=

8

2 5



2

…………………6 分

(2)在△ ABC 中, A + B + C = p ,所以 A = p - (B + C) ,

于是 cos A = cos(p - (B +C)) = - cos(B +C)

=

-(cos

B

cos

C

-

sin

B

sin

C)=

-

(

2 10

?

2 -7 2? 2 10

2 2

)

=

3 5

,………………8



于是 sin 2 A = 2 sin A cos A = 2

4 5

3 = 24 , 5 25

…………………10 分

cos 2 A = cos2 A - sin2 A = (3)2 - ( 4)2 = - 7 .

55

25

…………………12 分

因此,

sin(2

A

+

p3)=

sin

2

Acos

p 3

+

cos2

Asin

p 3

=

24 ? 25

1 2

+

(-

7 25

)?

3 = 24 - 7

2

50

3.

…………………14 分

17.(本小题满分 14 分) 如图所示,现有一张边长为 10 cm 的正三角形纸片 ABC,在三角形的三个角沿图中虚 线剪去三个全等的四边形 ADA1F1,BD1B1E,CE1C1F(剪去的四边形均有一组对角为直角),然后把三个矩形 A1B1D1D,B1C1E1E,A1C1FF1 折起,构成一个以 A1B1C1 为底面的无盖正三棱柱. (1)若所折成的正三棱柱的底面边长与高之比 为 3,求该三棱柱的高;
4

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(2)求所折成的正三棱柱的体积的最大值.

解:(1)设 A1D=x,则 AD ? 3x ,

A1B1 ? 10 ? 2 3x .………………2 分

因为 A1B1 ? 10 ? 2 3x ? 3 ,

A1 D

x

所以 x ? 10(2 3 ? 3) (cm). 3 ………………4 分

C

F C1 E1

F1 A1

E B1

A

D

D1

B

(第 17 题)

答:该三棱柱的高为 10(2 3 ? 3) cm. 3

(2)因为 A1B1 ? 10 ? 2

3x ? 0 ,所以 0 ? x ? 5 3 . 3

三棱柱的体积V (x) ? 1 (10 ? 2 3x)2 ? 3 ? x

2

2

? 3(3x3 ? 10 3x2 ? 25x)(0 ? x ? 5 3) , 3

………………6 分 ………………10 分

所以V ?(x) ? 3(9x2 ? 20 3x ? 25) ? 3(3 3x ? 5)( 3x ? 5) .

因为当 0 ? x ? 5 3 时,V ?(x) ? 0 ,V (x) 单调递增, 9

当 5 3 ? x ? 5 3 时,V ?(x) ? 0 ,V (x) 单调递减,

9

3

所以

x

?

53 9

时, V (x)max

?

500 27

(cm3).

答:该三棱柱的体积为 500 cm3. 27

………………12 分 ………………14 分

18.(本小题满分 16 分)

如图,在平面直角坐标系

xOy

中,已知椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

= 1 (a > b > 0) 经过点(1,3).设椭圆 2

C

的左顶点为

A,右

焦点为 F ,右准线与 x 轴交于点 M ,且 F 为线段 AM 的中点.

(1)求椭圆 C 的标准方程;

(2)若过点 A 的直线 l 与椭圆 C 相交于另一点 P(P 在 x 轴上方),直线 PF 与椭圆 C 相交于另一点 Q,且直
线 l 与 OQ 垂直,求直线 PQ 的斜率. y

P

A

OF

Mx

5

Q

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【解】(1)因为 A(?a,0) , F(c,0) , M ( a2 ,0) ,且 F 为 AM 的中点 c
所以 ?a ? a2 ? 2c ,则 2c2 + ac - a2 = 0 . c
即 (2c ? a)(a ? c) ? 0 ,所以 a ? 2c . b2 ? a2 ? c2 ? 3c2

………………2 分

因为点(1,3)在椭圆上, 2

9

所以

1 a2

+

4 b2

=1,

………………4 分

又因为 b2 ? a2 ? c2 ? 3c2 ,所以 c = 1 ,则 a2 = 4 , b2 = a2 ? c2 = 3 .

所以椭圆的标准方程为 x2 ? y2 = 1 . 43
(2)由题意直线 AP 的斜率必存在且大于 0 ,

………………6 分

设直线 AP 的方程为: y ? k(x ? 2) , (k ? 0)

代入椭圆方程并化简得: (3 ? 4k 2 )x2 ?16k 2 x ?16k 2 ?12 ? 0 ,

因为

?2xP

?

16k 2 ?12 3 ? 4k2





xP

?

6 ? 8k 2 3 ? 4k 2



yP

?

k

(

6 3

? ?

8k 4k

2 2

? 2)

?

12k 3 ? 4k2



………………8 分



k2

?

1

时,PQ

的斜率不存在,此时

???? OQ

?

???? AP

?

0

不符合题意.

4



k2

?

1 4

时,直线

PQ

的方程为:

y

?

4k 1 ? 4k 2

(x

? 1)



因为

???? OQ

?

???? AP

?

0

,所以直线

OQ

的方程为:

y

?

?

1

x



k

……………12 分

两直线联立解得: Q(4k2,? 4k) ,因为 Q 在椭圆上,

所以 16k 4 ? 16k 2 = 1 ,化简得: (2k 2 ? 3)(6k 2 ?1) ? 0 ,即 k ? ? 6 ,

43

6

因为 k ? 0 ,所以 k ? 6 , 6

……………14 分

此时 Q( 2,? 2 6 ) . 33

直线 PQ 的斜率为 2 6 .

……………16 分

6

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19.(本小题满分 16 分) 设函数 f (x) = ex - aln x(a ? R) ,其中 e 为自然对数的底数.

(1)当 a < 0 时,判断函数 f (x) 的单调性;

(2)若直线 y = e 是函数 f (x) 的切线,求实数 a 的值;

(3)当 a > 0 时,证明: f (x) ≥ 2a - a ln a .

解:(1) 函数 f (x) = ex - aln x(a ? R) 的定义域为 (0,+ ?) .

因为 a < 0 ,所以 f ?(x) = ex - a > 0 , x

所以 f (x) 在区间上单调递增

………………2 分

(2) 设切点为 (x0,ex0 - a ln x0 ) ,则 ex0 - a ln x0 = e ,

因为

f ?(x) =

ex

-

a x

,所以 ex0

-

a x0

=

0 ,得 a

=

x0 e x0



所以 ex0 - x0ex0 ln x0 = e . 设 g(x) = ex - xex ln x ,则 g?(x) = (-x -1)ex ln x ,

所以当 0 < x < 1时, g?(x) > 0 , g(x) 单调递增,

当 x > 1 时, g?(x) < 0 , g(x) 单调递减,

………………4 分

所以 g(x)max = g(1) = e .

………………6 分

因为方程 ex0 - x0ex0 ln x0 = e 仅有一解 x0 = 1 ,

所以 a = e .

………………8 分

(3) 因为 f ?(x) = ex - a = xex - a , xx

设 h(x) = xex - a(x ≥ 0) ,则 h?(x) = (x +1)ex > 0 ,所以 h(x) 单调递增.

因为 h(0) = -a < 0 , h(a) = aea - a = a(ea -1) > 0 ,

………………10 分

所以存在 0 < x0 < a ,使得 h(x0 ) = x0ex0 - a = 0 . 当 0 < x < a 时, h?(x) < 0 , f ?(x) < 0 , f (x) 单调递减,
7

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当 x > 1 时, h?(x) > 0 , f ?(x) > 0 , f (x) 单调递增,

所以 f (x)min = f (x0 ) = ex0 - a ln x0 .

………………12 分

因为 x0ex0

- a = 0 ,所以 ex0

=

a x0

, ln x0

= ln a -

x0 ,

………………14 分

所以

f

( x)min

=

e x0

- a ln x0

=

a x0

- a(ln a -

x0 )

=

a x0

+ ax0

-

a ln a ≥ 2a -

a ln a

.……16



20.(本小题满分 16 分)
定义:从数列 ?an? 中抽取 m(m ? N,m≥3) 项按其在?an? 中的次序排列形成一个新数列

?bn ? ,则称 ?bn ? 为 ?an? 的子数列;若 ?bn ? 成等差(或等比),则称 ?bn ? 为 ?an? 的等差(或
等比)子数列.
(1) 记数列 ?an? 的前 n 项和为 Sn ,已知 Sn ? 2n ? 1 .

① 求数列 ?an? 的通项公式;

② 数列 ?an? 是否存在等差子数列,若存在,求出等差子数列;若不存在,请
说明理由.
(2) 已知数列 ?an? 的通项公式为 an ? n ? a (a ? Q+ ) ,证明: ?an? 存在等比子数列.

解:(1) ①因为 Sn ? 2n ? 1 ,所以当 n ? 1 时, a1 ? 21 ? 1 ? 1 ,

当 n ≥ 2 时, Sn?1 ? 2n?1 ? 1 ,所以 an ? (2n ? 1) ? (2n?1 ? 1) ? 2n?1 .

综上可知: an ? 2n?1 .
②假设从数列 ?an ? 中抽 3项 ak , al , am (k < l < m) 成等差,

………………2 分

则 2al ? ak ? am ,即 2 ? 2l?1 ? 2k ?1 ? 2m?1 ,

化简得: 2 ? 2l?k ? 1 ? 2m?k .

………………4 分

因为 k < l < m ,所以 l - k > 0 , m - k > 0 ,且 l - k , m - k 都是整数, 所以 2 ? 2l?k 为偶数, 1 ? 2m?k 为奇数,所以 2 ? 2l?k ? 1 ? 2m?k 不成立.

因此,数列 ?an? 不存在三项等差子数列.

………………6 分

若从数列?an? 中抽 m(m? N, m ? 4) 项,其前三项必成等差数列,不成立.

8

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综上可知,数列 ?an? 不存在等差子数列.

………………8 分

(2) 假设数列 ?an ? 中存在 3项 n0 ? a , n0 ? a ? k , n0 ? a ? l (k < l) 成等比.

设 n0

?a

? b ,则 b ?Q+ ,故可设 b

?

q p

(p



q

是互质的正整数).

则需满足 (n0 ? a ? k )2 ? (n0 ? a)(n0 ? a ? l) ,

………………12 分

即需满足 (b ? k )2 ? b(b ? l) ,则需满足 l ? 2k ? k 2 ? 2k ? pk 2 .

b

q

取 k ? q ,则 l ? 2k ? pq .

………………14 分

此时 (b

?

q)2

?

(q p

? q)2

?

q2 p2

?

2 q2 p

?

q2 ,

b(b ? l)

?

q (q pp

?

2q ?

pq)

?

q2 p2

?

2 q2 p

?

q2 .

故此时 (b ? k )2 ? b(b ? l) 成立.

因此数列 ?an ? 中存在 3项 n0 ? a , n0 ? a ? k , n0 ? a ? l (k < l) 成等比,

所以数列 ?an? 存在等比子数列.

………………16 分

数学Ⅱ(附加题)

21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选.定.两.题.,.并.在.相.应.的.答.题.区.域.内.作.答..

已知

1

是矩阵

A

?

?a ??0

1? 2??

的一个特征值,求点(1,2)在矩阵

A

对应的变换作用下得

到的点的坐标.

【解】因为矩阵 A 的特征多项式为 f (? ) ? ? ? a 0

?1 ??2

?

(?

?

a)(?

?

2)



因为 1 是矩阵 A 的一个特征值,所以 f (1) ? 0 ,

解得

a

=

1

,所以矩阵

A

?

?1 ??0

1? 2??



………………6 分

因此

A

?1 ? ??2??

?

?1 ??0

1? 2??

?1 ? ??2??

?

?3? ??4??



所以点(1,2)在矩阵 A 对应的变换作用下得到的点为(3,4).………10 分

9

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B.[选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2sin? .以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l

的参数方程为

? ?? ?

x

?

1 2

t,

(t 为参数).

? ??

y

?

3t?2 2

(1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程;

(2)求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长.

【解】(1)因为曲线 C 的极坐标方程可化为 ? 2 ? 2? sin? .

且 x2 ? y2 ? ? 2 ,y ? ? sin? ,

所以曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y2 ? 2 y ? 0 .

直线 l:

??? x

?

1t 2

?

?

? ??

y

?

3t 2

3 (t 为参数)的普通方程为 y ?

3x ? 2 .…………6 分

(2)圆心 (0,1) 到直线 l: y ? 3x ? 2 的距离为 d ? ?1 ? 2 ? 1 ,

1?

2
3

2

又因为半径为 1,所以弦长为 2 1 ? (1 )2 ? 3 . 2

………………10 分

C.[选修 4-5:不等式选讲](本题满分 10 分)
已知关于 x 的不等式 x2 ? mx ? n ? 0 的解集为 ?x |1 ? x ? 2? ,其中 m ,n ? R .

求证: (m ?1) x ? 3 ? (n ?1) 4 ? x ≤ 5 .

【解】因为关于 x 的不等式 x2 ? mx ? n ? 0 的解集为 ?x |1 ? x ? 2? ,

所以 m=1+2=3,n=1? 2=2 .

······················································3 分

所以 (m ?1) x ? 3 ? (n ?1) 4 ? x ? 2 x ? 3 ? 4 ? x ,

由柯西不等式可得, (2 x ? 3 ? 4 ? x)2≤(22 ?12)[( x ? 3)2 ? ( 4 ? x)2] ? 5 ,

当且仅当 2

x?3 ?

4

?

x

,即

x

?

16 5

?[3,4]

时取等号.

所以, (m ?1) x ? 3 ? (n ?1) 4 ? x ≤ 5 .

········································10 分

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答.卷.纸.指.定.区.域.内.作答.
10

22.(本小题满分 10 分)

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已知正四棱锥 P ? ABCD 的底面边长和高都为 2.现从该棱锥的 5 个顶点中随机

选取 3 个点构成三角形,设随机变量 X 表示所得三角形的面积.

(1)求概率 P(X ? 2) 的值;

P

(2)求随机变量 X 的概率分布及其数学期望 E(X ) .

解:(1)从 5 个顶点中随机选取 3 个点构成三角形,

共有 C53 =10 种取法.其中 X ? 2 的三角形如△ABD,

这类三角形共有 C43 =4 个.

A

因此 P? X ? 2? ? 4 ? 2 .
10 5

D

C

(第 22 题) B ……4 分

(2)由题意, X 的可能取值为 5 ,2, 2 2 .

其中 X ? 5 的三角形是侧面,这类三角形共有 4 个;

其中 X ? 2 2 的三角形有两个,△PAC 和△PBD.

? ? ? ? 因此 P X ? 5 ? 2 , P X ? 2 2 ? 1 .

5

5

所以随机变量 X 的概率分布列为:

……8 分

X

5

2

22

P?X ?

2

2

1

5

5

5

所求数学期望

E(X ) = 5 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 1 = 2 5+2 2+4 .

55

5

5

……10 分

23.(本小题满分 10 分) 已知抛物线 C: y2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点为 F,过 F 且斜率为 4 的直线 l 与抛物线 C 交于 A,B 两点,B 在 x 轴 3 的上方,且点 B 的横坐标为 4.

(1) 求抛物线 C 的标准方程;

(2) 设点 P 为抛物线 C 上异于 A,B 的点,直线 PA 与 PB 分别交抛物线 C 的准线于 E,

G 两点,x 轴与准线的交点为 H,求证:HG ? HE 为定值,并求出定值.

【解】(1)由题意得: F( p,0) ,

2

y

11
B

E

江苏新高考题库群:655740462
因为点 B 的横坐标为 4,且 B 在 x 轴的上方,

所以 B(4, 8 p ) ,

因为 AB 的斜率为 4 , 3

所以

4

8p ?p

?

4 3

,整理得:

p

?

3

2

p ?8?0,

2

即 ( p ? 2)( p ? 4 2) ? 0 ,得 p ? 2 ,

抛物线 C 的方程为: y2 ? 4x .

(2)由(1)得: B(4,4) , F(1,0) ,准线方程 x ? ?1 ,

直线 l 的方程: y ? 4 (x ?1) , 3



?? y ?

?

4 3

(x

?? y2 ? 4x

?1) , 解得

x

?

1 4



x

?

4

,于是得

A(

1 4

,? 1)



设点 P( n2 ,n) ,又题意 n ? 1且 n ? ?4 , 4

所以直线

PA



y

?1

?

n

4 ?

(x 1

?

1) 4

,令

x

?

?1

,得

y

?

?

n n

? ?

4 1



即 HE ? ? n ? 4 , n ?1

同理可得: HG

?

4n ? 4 n?4



HG ? HE ?

?n?4 n ?1

?

4n ? 4 n?4

?4.

……4 分 ……6 分 ……8 分 ……10 分

12


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