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高二数学-无锡市江阴市五校2014-2015学年高二上学期期中数学试卷


2014-2015 学年江苏省无锡市江阴市五校高二(上)期中数学试 卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 1.把命题“? x0∈R,x0 ﹣2x0+1<0”的否定写在横线上 2.直线 的倾斜角是
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. cm . 条件. (填“充分不必要” 、
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3.已知一个球的表面积为 64πcm ,则这个球的体积为 4. “两条直线不相交”是“两条直线是异面直线”的 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不必要又不充分”中的一个)
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5.若直线 l1:ax+2y+6=0 与直线 l2:x+(a﹣1)y+(a ﹣1)=0 平行则实数 a= 6.方程 x +y +kx+2y+k =0 表示的圆面积最大时,圆心坐标是 . 7.圆锥的底面半径是 3,高是 4,则圆锥的侧面积是 8.经过点 A(2,1)且到原点的距离等于 2 的直线方程是 . .
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9.设α,β为互不重合的平面,m,n 是互不重合的直线,给出下列四个命题: ①若 m∥n,n? α,则 m∥α ②若 m? α,n? α,m∥β,n∥β,则α∥β ③若α∥β,m? α,n? β,则 m∥n ④若α⊥β,α∩β=m,n? α,n⊥m,则 n⊥β; 其中正确命题的序号为 . 10.圆心在直线 x﹣2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切,圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 则圆 C 的标准方程为 . ,

11.在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,各棱长均相等,BC1 与 B1C 的交点为 D,则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是 . 12.若圆 C:x +y +2x﹣4y+3=0,关于直线 2ax+by+6=0 对称,则由点(a,b)向圆所作的切 线长的最小值为 . 13.如图是一个正方体的表面展开图,A、B、C 均为棱的中点,D 是顶点,则在正方体中, 异面直线 AB 和 CD 的夹角的余弦值为 .
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14.在平面直角坐标 xOy 中,设圆 M 的半径为 1,圆心在直线 x﹣y﹣1=0 上,若圆 M 上不存 在点 N,使 NO= NA,其中 A(0,3) ,则圆心 M 横坐标的取值范围 .

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.已知直线 l 过点 P(2,3) ,根据下列条件分别求出直线 l 的方程: (1)l 在 x 轴、y 轴上的截距之和等于 0; (2)l 与两条坐标轴在第一象限所围城的三角形面积为 16. 16.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,E,F,G,H 分别是 AB,AC,A1B1,A1C1 的中点,求证: (1)B,C,H,G 四点共面; (2)平面 EFA1∥平面 BCHG.

17.已知命题 p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0(其中 a≠0) ,命题 q:实数 x 满足 (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

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≤0.

18.在矩形 ABCD 中,AB=2,AD=6,E、F 为 AD 的两个三等分点,AC 和 BF 交于点 G,△BEG 的外接圆为圆 H. (1)求证:EG⊥BF; (2)若圆 H 与圆 C 无公共点,求圆 C 半径的取值范围.

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19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等边三角形,已 知 AD=4,BD=4 ,AB=2CD=8. (Ⅰ)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD⊥平面 PAD; (Ⅱ)当 M 点位于线段 PC 什么位置时,PA∥平面 MBD? (Ⅲ)求四棱锥 P﹣ABCD 的体积.

20.已知⊙C 过点 P(1,1) ,且与⊙M: (x+2) +(y+2) =r (r>0)关于直线 x+y+2=0 对 称. (Ⅰ)求⊙C 的方程; (Ⅱ)设 Q 为⊙C 上的一个动点,求 的最小值;

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(Ⅲ)过点 P 作两条相异直线分别与⊙C 相交于 A,B,且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补, O 为坐标原点,试判断直线 OP 和 AB 是否平行?请说明理由.

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2014-2015 学年江苏省无锡市江阴市五校高二 (上) 期中 数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分 1.把命题“? x0∈R,x0 ﹣2x0+1<0”的否定写在横线上 ? x∈R,x ﹣2x+1≥0 . 考点: 专题: 分析: 解答: 命题的否定. 简易逻辑. 利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可. 解:特称命题的否定是全称命题
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∴命题“? x0∈R,x0 ﹣2x0+1<0”的否定是:? x∈R,x ﹣2x+1≥0. 2 故答案为:? x∈R,x ﹣2x+1≥0. 点评: 本题考查命题的否定,全称命题与特称命题的否定关系,考查基本知识的应用. 2.直线 的倾斜角是 120° .

考点: 直线的一般式方程. 专题: 计算题. 分析: 化直线方程的一般式为斜截式,利用倾斜角的正切值等于斜率求倾斜角. 解答: 解:由 设直线 ,得 , 的倾斜角α(0°≤α<180°) ,

则 ,所以α=120°. 故答案为:120°. 点评: 本题考查了直线的一般式方程,考查了一般式化斜截式,考查了斜率是倾斜角的正 切值,是基础题.
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3.已知一个球的表面积为 64πcm ,则这个球的体积为

cm .

考点: 专题: 分析: 解答:

球的体积和表面积. 球. 根据球的表面积公式求出球的球半径,然后计算球的体积即可. 解:设球的半径为 r,
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∵球的表面积为 64πcm , 2 2 ∴4πr =64π,即 r =16, 解得 r=4cm, ∴球的体积为 故答案为: cm .
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点评: 本题主要考查球的表面积和体积的计算,要求熟练掌握相应的表面积和体积公式, 比较基础. 4. “两条直线不相交”是“两条直线是异面直线”的 必要不充分 条件. (填“充分不必 要” 、 “必要不充分” 、 “充要” 、 “既不必要又不充分”中的一个) 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 规律型. 分析: 结合直线的位置关系,利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 解答: 解:两条直线不相交,则两条直线可能是平行直线或是异面直线, 若两条直线是异面直线,则两条直线是异面直线, ∴“两条直线不相交”是“两条直线是异面直线”的必要不充分条件. 故答案为:必要不充分. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用空间两条直线的位置关系是解决本 题的关键. 5.若直线 l1:ax+2y+6=0 与直线 l2:x+(a﹣1)y+(a ﹣1)=0 平行则实数 a= 考点: 直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由直线的平行关系可得 a 的方程,解方程验证可得. 解答: 解:∵直线 l1:ax+2y+6=0 与直线 l2:x+(a﹣1)y+(a ﹣1)=0 平行, ∴a(a﹣1)﹣2×1=0,解得 a=﹣1 或 a=2, 经验证当 a=2 时,直线重合,a=﹣1 符合题意, 故答案为:﹣1 点评: 本题考查直线的一般式方程和直线的平行关系,属基础题. 6.方程 x +y +kx+2y+k =0 表示的圆面积最大时,圆心坐标是 (0,﹣1) . 考点: 圆的标准方程. 专题: 计算题. 分析: 把圆的方程化为标准式方程后,找出圆心坐标与半径,要求圆的面积最大即要圆的 半径的平方最大,所以根据平方的最小值为 0 即 k=0 时得到半径的平方最大,所以把 k=0 代入圆心坐标中即可得到此时的圆心坐标. 解答: 解: 把圆的方程化为标准式方程得 ,﹣1) ,半径 r =1﹣ 当圆的面积最大时,此时圆的半径的平方最大,因为 r =1﹣ 此时圆心坐标为(0,﹣1) 故答案为: (0,﹣1)
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﹣1 .

+ (y+1) =1﹣

2

, 则圆心坐标为 (﹣

,当 k=0 时,r 最大,

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点评: 本题以二次函数的最值问题为平台考查学生掌握圆的标准方程并会根据圆的标准方 程找出圆心和半径,是一道基础题. 7.圆锥的底面半径是 3,高是 4,则圆锥的侧面积是 15π .

考点: 旋转体(圆柱、圆锥、圆台) . 专题: 计算题. 分析: 由已知中圆锥的底面半径是 3, 高是 4, 由勾股定理, 我们可以计算出圆锥的母线长, 代入圆锥侧面积公式 S=πrl,即可得到答案. 解答: 解:∵圆锥的底面半径 r=3,高 h=4, ∴圆锥的母线 l=5 则圆锥的侧面积 S=πrl=15π 故答案为:15π 点评: 本题考查的知识点是圆锥的侧面积,其中熟练掌握圆锥的侧面积公式 S=πrl,其中 r 表示底面半径,l 表示圆锥的母线长,是解答本题的关键. 8.经过点 A(2,1)且到原点的距离等于 2 的直线方程是 x=2 或 3x+4y﹣10=0 .

考点: 两点间距离公式的应用. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 由直线经过点 A(2,1)知:当直线的斜率 k 不存在时,直线方程 x=2,它到原点的 距离是 2,成立;当直线的斜率 k 存在时,设直线方程为 y﹣1=k(x﹣2) ,整理,得 kx﹣y ﹣2k+1=0,由直线与原点的距离为 2,解得 k,由此能得到所求的直线方程. 解答: 解:∵直线经过点 A(2,1) , ∴当直线的斜率 k 不存在时,直线方程 x=2,它到原点的距离是 2,成立; 当直线的斜率 k 存在时,设直线方程为 y﹣1=k(x﹣2) ,整理,得 kx﹣y﹣2k+1=0, ∵直线与原点的距离为 2, ∴ =2,解得 k=﹣ ,

∴直线为 3x+4y﹣10=0. 故所求的直线方程为:x=2 或 3x+4y﹣10=0. 故答案为:x=2 或 3x+4y﹣10=0. 点评: 本题考查直线方程的求法,是基础题.解题时要认真审题,注意点到直线的距离公 式的应用.易错点是容易忽视直线的斜率不存在的情况. 9.设α,β为互不重合的平面,m,n 是互不重合的直线,给出下列四个命题: ①若 m∥n,n? α,则 m∥α ②若 m? α,n? α,m∥β,n∥β,则α∥β ③若α∥β,m? α,n? β,则 m∥n ④若α⊥β,α∩β=m,n? α,n⊥m,则 n⊥β; 其中正确命题的序号为 ④ . 考点: 平面与平面之间的位置关系.

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专题: 综合题. 分析: 根据线面平行的判定定理,面面平行的判定定理,面面平行的性质定理,及面面垂 直的性质定理,对题目中的四个结论逐一进行分析,即可得到答案. 解答: 解:当 m∥n,n? α,则 m? α也可能成立,故①错误; 当 m? α,n? α,m∥β,n∥β,m 与 n 相交时,α∥β,但 m 与 n 平行时,α与β不一定 平行,故②错误; 若α∥β,m? α,n? β,则 m 与 n 可能平行也可能异面,故③错误; 若α⊥β,α∩β=m,n? α,n⊥m,由面面平行的性质,易得 n⊥β,故④正确 故答案为:④ 点评: 本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系,直线与平面之间的位置关系,熟 练掌握空间线与线, 线与面, 面与面之间的关系的判定方法及性质定理, 是解答本题的关键. 10.圆心在直线 x﹣2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切,圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 2 2 则圆 C 的标准方程为 (x﹣2) +(y﹣1) =4 . ,

考点: 圆的标准方程. 专题: 直线与圆. 分析: 由圆心在直线 x﹣2y=0 上,设出圆心坐标,再根据圆与 y 轴相切,得到圆心到 y 轴 的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径,表示出半径 r,由弦长的一半,圆的半径 r 及 表示出的 d 利用勾股定理列出关于 t 的方程, 求出方程的解得到 t 的值, 从而得到圆心坐标 和半径,根据圆心和半径写出圆的方程即可. 解答: 解:设圆心为(2t,t) ,半径为 r=|2t|, ∵圆 C 截 x 轴所得弦的长为 2 , 2 2 ∴t +3=4t , ∴t=±1, ∵圆 C 与 y 轴的正半轴相切, ∴t=﹣1 不符合题意,舍去, 故 t=1,2t=2, ∴(x﹣2) +(y﹣1) =4. 2 2 故答案为: (x﹣2) +(y﹣1) =4. 点评: 此题综合考查了垂径定理,勾股定理及点到直线的距离公式.根据题意设出圆心坐 标,找出圆的半径是解本题的关键. 11.在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,各棱长均相等,BC1 与 B1C 的交点为 D,则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是 60° . 考点: 直线与平面所成的角. 专题: 计算题;空间角. 分析: 本题考查的知识点是线面角,由已知中侧棱垂直于底面,我们过 D 点做 BC 的垂线, 垂足为 E,则 DE⊥底面 ABC,且 E 为 BC 中点,则 E 为 A 点在平面 BB1C1C 上投影,则∠ADE 即为所求线面夹角,解三角形即可求解. 解答: 解:如图,取 BC 中点 E,连接 DE、AE、AD, 依题意知三棱柱为正三棱柱, 易得 AE⊥平面 BB1C1C,故∠ADE 为 AD 与平面 BB1C1C 所成的角.
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设各棱长为 1,则 AE= ∴tan∠ADE= = ,

,DE= ,

∴∠ADE=60°. 故答案为:60°.

点评: 求直线和平面所成的角时, 应注意的问题是: (1) 先判断直线和平面的位置关系. (2) 当直线和平面斜交时,常用以下步骤:①构造﹣﹣作出或找到斜线与射影所成的角;②设定 ﹣﹣论证所作或找到的角为所求的角; ③计算﹣﹣常用解三角形的方法求角; ④结论﹣﹣点 明斜线和平面所成的角的值. 12.若圆 C:x +y +2x﹣4y+3=0,关于直线 2ax+by+6=0 对称,则由点(a,b)向圆所作的切 线长的最小值为 4 . 考点: 圆的切线方程. 专题: 计算题;直线与圆. 分析: 圆的方程化为标准方程,圆心坐标代入直线 2ax+by+6=0,可得点(a,b)在直线 l: ﹣x+y+3=0,过 C(﹣1,2) ,作 l 的垂线,垂足设为 D,则过 D 作圆 C 的切线,切点设为 E, 则切线长 DE 最短,从而可得结论. 解答: 解:圆 C:x +y +2x﹣4y+3=0 可化为(x+1) +(y﹣2) =2,圆心坐标为 C(﹣1,2) , 代入直线 2ax+by+6=0 得:﹣2a+2b+6=0,即点(a,b)在直线 l:﹣x+y+3=0, 过 C(﹣1,2) ,作 l 的垂线,垂足设为 D,则过 D 作圆 C 的切线,切点设为 E,则切线长 DE 最短, 于是有 CE= ,CD= =3 , =4.
2 2 2 2 2 2

∴由勾股定理得:DE=

点评: 本题考查直线与圆的位置关系, 考查圆的切线长的计算, 确定切线长 DE 最短是关键. 13.如图是一个正方体的表面展开图,A、B、C 均为棱的中点,D 是顶点,则在正方体中, 异面直线 AB 和 CD 的夹角的余弦值为 .

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考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 空间角;空间向量及应用. 分析: 利用向量的夹角公式即可得出. 解答: 解:如图所示,建立空间坐标坐标系. 取正方体的棱长为 2. 则 A(1,2,0) ,B(2,2,1) ,D(0,0,2) ,C(2,1,2) . ∴ ∴ =(1,0,1) , = =(﹣2,﹣1,0) . = =﹣ .

∴异面直线 AB 和 CD 的夹角的余弦值为 故答案为: .



点评: 本题考查了建立空间直角坐标系并利用向量的夹角公式求异面直线的夹角方法,属 于基础题. 14.在平面直角坐标 xOy 中,设圆 M 的半径为 1,圆心在直线 x﹣y﹣1=0 上,若圆 M 上不存 在点 N,使 NO= NA,其中 A(0,3) ,则圆心 M 横坐标的取值范围 (﹣∞,0)∪( ∞) . 考点: 轨迹方程;圆的标准方程. ,+

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专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出 N 的轨迹方程,然后判断所求轨迹方程与圆的方程没有解即可. 解答: 解:设 N(x,y) ,NO= NA,其中 A(0,3) , ∴
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2

解得 N 的轨迹方程为:x +(y+1) =4,y 圆心坐标 Q(0,﹣1) ,半径为 2, 在平面直角坐标 xOy 中,设圆 M 的半径为 1,圆心在直线 x﹣y﹣1=0 上,若圆 M 上不存在点 N,使 NO= NA, 则 M 所在位置如图:M 的横坐标在 C、F 两点的外侧,D、E 两点之间, 圆心 M 横坐标的取值范围: ( )∪( )∪( )

(﹣∞,0)∪( 故答案为: ( ( ) .

,+∞) . )∪( )∪

点评: 本题考查圆的方程的综合应用,轨迹方程的求法,考查数形结合思想的应用. 二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.已知直线 l 过点 P(2,3) ,根据下列条件分别求出直线 l 的方程: (1)l 在 x 轴、y 轴上的截距之和等于 0; (2)l 与两条坐标轴在第一象限所围城的三角形面积为 16. 考点: 直线的一般式方程. 专题: 直线与圆. 分析: 本题(1)分类写出直线的方程,根据要求条件参数的值; (2)写出直线的截距式方 程,根据要求条件参数的值,得到本题结论. 解答: 解: (1)①当直线 l 经过原点时在 x 轴、y 轴上的截距之和等于 0,

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此时直线 l 的方程为



②当直线 l 经不过原点时,设直线 l 的方程为 ∵P(2,3)在直线 l 上, ∴ ,

a=﹣1,即 x﹣y+1=0. 综上所述直线 l 的方程为 3x﹣2y=0 或 x﹣y+1=0. (2)设 l 在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a,b(a>0,b>0) , 则直线 l 的方程为 ∵P(2,3)在直线 l 上, ∴ .

又由 l 与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为 16, 可得 ab=32, ∴a=8,b=4 或 ∴直线 l 的方程为 . 或 .

综上所述直线 l 的方程为 x+2y﹣8=0 或 9x+2y﹣24=0. 点评: 本题考查了几种形式的直线方程,本题难度不大,属于基础题. 16.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,E,F,G,H 分别是 AB,AC,A1B1,A1C1 的中点,求证: (1)B,C,H,G 四点共面; (2)平面 EFA1∥平面 BCHG.

考点: 平面与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)利用三角形中位线的性质,证明 GH∥B1C1,从而可得 GH∥BC,即可证明 B,C, H,G 四点共面; (2)证明平面 EFA1 中有两条直线 A1E、EF 分别与平面 BCHG 中的两条直线 BG、BC 平行,即 可得到平面 EFA1∥平面 BCHG. 解答: 证明: (1)∵G、H 分别为 A1B1,A1C1 中点,∴GH∥B1C1, ∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,BC∥B1C1,
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∴GH∥BC ∴B、C、H、G 四点共面; (2)∵E、F 分别为 AB、AC 中点, ∴EF∥BC ∴EF∥BC∥B1C1∥GH 又∵E、G 分别为三棱柱侧面平行四边形 AA1B1B 对边 AB、A1B1 中点, ∴四边形 A1EBG 为平行四边形,A1E∥BG ∴平面 EFA1 中有两条直线 A1E、EF 分别与平面 BCHG 中的两条直线 BG、BC 平行 ∴平面 EFA1∥平面 BCHG. 点评: 本题考查平面的基本性质,考查面面平行,考查学生分析解决问题的能力,属于中 档题.
2 2

17.已知命题 p:实数 x 满足 x ﹣4ax+3a <0(其中 a≠0) ,命题 q:实数 x 满足 (1)若 a=1,且 p∧q 为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 p 是 q 的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

≤0.

考点: 复合命题的真假;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: (1)若 a=1,求出命题 p,q 的等价条件,利用 p∧q 为真,则 p,q 为真,即可求 实数 x 的取值范围; (2)求出命题 p 的等价条件,利用 p 是 q 的必要不充分条件,即可求实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)若 a=1,不等式为 x ﹣4x+3<0,即 1<x<3,即 p:1<x<3, 若 ≤0,则 2<x≤3,即 q:2<x≤3,
2

若 p∧q 为真,则 p,q 同时为真, 即 ,解得 2<x<3,

则实数 x 的取值范围是 2<x<3; (2)∵x ﹣4ax+3a <0, ∴(x﹣a) (x﹣3a)<0, 若 a>0,则不等式的解为 a<x<3a, 若 a<0,则不等式的解为 3a<x<a, ∵q:2<x≤3, ∴若 p 是 q 的必要不充分条件, 则 a>0,且 ,
2 2

即 1<a≤2, 则实数 a 的取值范围是 1<a≤2. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的应用,以及不等式的求解,利用不等式的解法 时解决本题的关键.

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18.在矩形 ABCD 中,AB=2,AD=6,E、F 为 AD 的两个三等分点,AC 和 BF 交于点 G,△BEG 的外接圆为圆 H. (1)求证:EG⊥BF; (2)若圆 H 与圆 C 无公共点,求圆 C 半径的取值范围.

考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 计算题;作图题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)在矩形 ABCD 中,以 DA 所在直线为 x 轴,以 DA 中点 O 为坐标原点,建立平面 直角坐标系,可得 A(3,0) ,B(3,2) ,C(﹣3,2) ,F(﹣1,0) ,从而可得 G 点的坐标 为 ,由
2

证明 EG⊥BF;
2

(2)写出圆 H 方程为 (x﹣2) +(y﹣1) =2,则由题意可得圆 H 内含于圆 C 或圆 H 与圆 C 相离,从而得 或 ,从而求解. 解答: 解: (1)证明:在矩形 ABCD 中,以 DA 所在直线为 x 轴,以 DA 中点 O 为坐标原点, 建立如图所示的平面直角坐标系.

由题意可知 A(3,0) ,B(3,2) ,C(﹣3,2) ,F(﹣1,0) . 所以直线 AC 和直线 BF 的方程分别为:x+3y﹣3=0,x﹣2y+1=0,



解得



所以 G 点的坐标为 所以 ,



因为 kBF? kEG=﹣1, 所以 EG⊥BF. (2)由(1)知圆 H 的圆心为 BE 中点 H(2,1) ,半径为 2 2 所以圆 H 方程为 (x﹣2) +(y﹣1) =2. 圆 C 的圆心为 C(﹣3,2) , 0)



,设的半径为 r, (r>

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因为圆 H 与圆 C 无公共点,所以圆 H 内含于圆 C 或圆 H 与圆 C 相离, 故 或 所以 或 , 即圆 C 半径的取值范围为 . 点评: 本题考查了线线垂直的判断与圆与圆的位置关系的应用,属于中档题. 19.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB∥DC,△PAD 是等边三角形,已 知 AD=4,BD=4 ,AB=2CD=8. (Ⅰ)设 M 是 PC 上的一点,证明:平面 MBD⊥平面 PAD; (Ⅱ)当 M 点位于线段 PC 什么位置时,PA∥平面 MBD? (Ⅲ)求四棱锥 P﹣ABCD 的体积.

考点: 平面与平面垂直的判定;棱锥的结构特征;直线与平面平行的性质. 专题: 计算题;证明题;综合题;转化思想. 分析: (Ⅰ)设 M 是 PC 上的一点,证明平面 MBD 内的直线 BD 垂直平面 PAD,即可证明平 面 MBD⊥平面 PAD; (Ⅱ)M 点位于线段 PC 靠近 C 点的三等分点处,证明 PA∥MN,MN? 平面 MBD,即可证明 PA ∥平面 MBD. (Ⅲ)过 P 作 PO⊥AD 交 AD 于 O,说明 PO 为四棱锥 P﹣ABCD 的高并求出,再求梯形 ABCD 的 面积,然后求四棱锥 P﹣ABCD 的体积. 解答: 证明: (Ⅰ)在△ABD 中, ∵AD=4, ,AB=8,∴AD +BD =AB . ∴AD⊥BD. (2 分) 又∵平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD,BD? 平面 ABCD, ∴BD⊥平面 PAD. 又 BD? 平面 MBD, ∴平面 MBD⊥平面 PAD. (4 分) (Ⅱ)当 M 点位于线段 PC 靠近 C 点的三等分点处时,PA∥平面 MBD. (5 分) 证明如下:连接 AC,交 BD 于点 N,连接 MN. ∵AB∥DC,所以四边形 ABCD 是梯形. ∵AB=2CD,∴CN:NA=1:2. 又∵CM:MP=1:2, ∴CN:NA=CM:MP,∴PA∥MN. (7 分) ∵MN? 平面 MBD,∴PA∥平面 MBD. (9 分)
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2 2 2

(Ⅲ)过 P 作 PO⊥AD 交 AD 于 O, ∵平面 PAD⊥平面 ABCD, ∴PO⊥平面 ABCD. 即 PO 为四棱锥 P﹣ABCD 的高. (11 分) 又∵△PAD 是边长为 4 的等边三角形,∴ 在 Rt△ADB 中,斜边 AB 边上的高为 ∴梯形 ABCD 的面积 故 . (15 分) . (12 分) ,此即为梯形 ABCD 的高. . (14 分)

点评: 本题考查棱柱的结构特征,平面与平面垂直的判定,考查学生逻辑思维能力,空间 想象能力,以及计算能力,是中档题. 20.已知⊙C 过点 P(1,1) ,且与⊙M: (x+2) +(y+2) =r (r>0)关于直线 x+y+2=0 对 称. (Ⅰ)求⊙C 的方程; (Ⅱ)设 Q 为⊙C 上的一个动点,求 的最小值;
2 2 2

(Ⅲ)过点 P 作两条相异直线分别与⊙C 相交于 A,B,且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补, O 为坐标原点,试判断直线 OP 和 AB 是否平行?请说明理由. 考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (Ⅰ)设圆心的坐标,利用对称的特征:①点与对称点连线的中点在对称轴上;② 点与对称点连线的斜率与对称轴的斜率之积等于 ﹣1,求出圆心坐标,又⊙C 过点 P(1,1) ,可得半径,从而写出⊙C 方程. (Ⅱ) 设 Q 的坐标, 用坐标表示两个向量的数量积, 化简后再进行三角代换, 可得其最小值. (Ⅲ)设出直线 PA 和直线 PB 的方程,将它们分别与⊙C 的方程联立方程组,并化为关于 x 的一元二次方程,由 x=1 一定是该方程的解,可求得 A,B 的横坐标(用 k 表示的) ,化简直 线 AB 的斜率,将此斜率与直线 OP 的斜率作对比,得出结论.

解答: 解: (Ⅰ)设圆心 C(a,b) ,则
2 2 2 2

,解得

(3 分)

则圆 C 的方程为 x +y =r ,将点 P 的坐标代入得 r =2, 2 2 故圆 C 的方程为 x +y =2(5 分) (Ⅱ)设 Q(x,y) ,则 x +y =2, =x +y +x+y﹣4=x+y﹣2,令 x=
2 2 2 2

(7 分) sinθ,

cosθ,y=

15

∴ (θ+ 所以

=

cosθ+

sinθ﹣2=2sin(θ+

)﹣2,∴(θ+

)=2kπ﹣

时,2sin

)=﹣2, 的最小值为﹣2﹣2=﹣4. (10 分)

(Ⅲ)由题意知,直线 PA 和直线 PB 的斜率存在,且互为相反数, 故可设 PA:y﹣1=k(x﹣1) ,PB:y﹣1=﹣k(x﹣1) ,由 得(1+k )x +2k(1﹣k)x+(1﹣k) ﹣2=0(11 分) 因为点 P 的横坐标 x=1 一定是该方程的解,故可得 (13 分)
2 2 2



同理,

,所以

=kOP , 所以,直线 AB 和 OP 一定平行(15 分) 点评: 本题考查圆的标准方程的求法,两个向量的数量积公式的应用,直线与圆的位置关 系的应用.

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