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新高中数学第二章函数概念与基本初等函数I2-2函数的简单性质自主训练苏教版必修1

新高中数学第二章函数概念与基本初等函数 I2-2 函数的简单性质自 主训练苏教版必修 1
自主广场 我夯基 我达标 2 1.若函数 f(x)=x +2(a-1)x+2 在区间(-∞,4)上是减函数,则实数 a 的取值范围是( ) A.a≤-3 B.a≥-3 C.a≤5 D.a≥3 2 思路解析:因为函数 f(x)=x +2(a-1)x+2 有两个单调区间,它在(-∞,-(a-1)]上是减函数, 又因为 f(x)在区间(-∞,4)上是减函数,因此必有 4≤-(a-1),解得 a≤-3. 答案:A 2.设 f(x)是定义在 A 上的减函数,且 f(x)>0,则下列函数中为增函数的个数是( ) ①y=3-f(x) ②y=1+

2 f ( x)

③y=[f(x)]

2

④y=1-

f ( x)
D.4

A.1 B.2 C.3 思路解析:∵f(x)是定义在 A 上的减函数,且 f(x)>0, 设 x1、x2∈A,且 x1<x2,则 f(x1)>f(x2)>0. ∴3-f(x1)<3-f(x2), 即 y=3-f(x)在 A 上为增函数.

1 1 2 2 , ? ,1 ? ? 1? f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
即 y=1+
2

2 在 A 上为增函数. f ( x)
2

f (x1)>f (x2), 2 即 y=f (x)在 A 上是减函数.

f ( x1 ) ?
即 y=1-

f ( x2 ) ,1 ? f ( x1 ) ? 1 ? f ( x2 ) ,

f ( x) 在 A 上为增函数.

答案:C 3.函数 f(x)在区间(-4,7)上是增函数,则 y=f(x-3)的递增区间是( ) A.(-2,3) B.(-1,10) C.(-1,7) D.(-4, 10) 思路解析:∵f(x)在(-4,7)上是增函数,由-4<x-3<7,得-1<x<10 且 u=x-3 在(-1,10) 上也为增函数,∴f(x-3)在(-1,10)上为增函数. 答案:B 4.若 y=f(x)在 x∈[0,+∞)上的表达式为 y=x(1-x),且 f(x)为奇函数,则 x∈(-∞,0] 时 f(x)等于( ) A.-x(1-x) B.x(1+x) C.-x(1+x) D.x(x-1) 思路解析:∵x∈(-∞,0]时,-x≥0, 1/5

∴f(-x)=(-x)(1+x),-f(x)=-x(1+x). ∴f(x)=x(1+x). 答案:B

1 .若 f(x)为奇函数,则 a=______________. 2 ?1 1 1 解法一:∵f(x)的定义域为 R,又∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0,即 a- 0 =0.∴a= . 2 2 ?1
5.已知函数 f(x)=ax

解法二:∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), 即 a-

1
?x

2 1 答案: 2

1 1 -a,解得 a= . 2 ?1 2 ?1
=
x

6.函数 y= ? x 2 ? x ? 6 的单调递增区间是____________,单调递减区间是____________. 思路解析:由-x -x+6≥0,即 x +x-6≤0,解得-3≤x≤2, ∴y= ? x 2 ? x ? 6 的定义域是[-3,2].又 u=-x -x+6 的对称轴是 x=2 2 2

1 , 2

∴u 在 x∈[-3,-

1 1 ]上递增,在 x∈[- ,2]上递减. 2 2 1 ] ,递减区间 2

又 y= u 是[0,+∞)上的增函数,∴y= ? x 2 ? x ? 6 的递增区间是[-3,-

1 ,2]. 2 1 1 答案:[-3,- ] [- ,2] 2 2
是[7.函数 y=f(x)是定义在 R 上的减函数,则 y=f(|x+2|)的单调减区间是______________. 思路解析:∵y=f(u)在 R 上递减,u=|x+2|在[-2,+∞)上递增,在(-∞,-2]上递减,∴ y=f(|x+2|)在[-2,+∞)上递减. 答案:[-2,+∞) 2 8.若 f(x)=2x +px+3 在(-∞, 1] 上是减函数, 在 [1, +∞)上是增函数, 则 f(1)=_____________. 思路解析:∵a=2>0,f(x)开口向上, -

b p ==1 ? p=-4, 2a 2 ? 2
2

∴f(x)=2x -4x+3.∴f(1)=1. 答案:1 2 9.函数 y=x -4|x|-1 的递增区间为______________. 思路解析:图象法,y= ?
2 ? ? x ? 4 x ? 1, x ? 0, 2 ? ? x ? 4 x ? 1, x ? 0.

答案:[-2,0]和[2,+∞) 2 10.已知 f(x)=ax +bx+3a+b 是偶函数, 且定义域为 [a-1, 2a] , 则 a=_________, b=_________. 思路解析:定义域关于原点对称,故 a-1=-2a,a= 又对于 f(x)有 f(-x)=f(x)恒成立,∴b=0. 2/5

1 . 3

答案:

1 3

0

1 +a(x∈R 且 x≠0)为奇函数,则 a=_____________. 2 ?1 1 1 1 思路解析:特值法:∵f(-1)=-f(1), ?1 +a=-[ 1 +a] ? a= . 2 2 ?1 2 ?1 1 答案: 2
11.若 f(x)=
x

12.已知 f(x)=ax -bx+2 且 f(-5)=17,则 f(5)=___________. 7 7 思路解析:整体思想:f(-5)=a(-5) -b(-5)+2=17 ? (a·5 -5b)=-15, 7 ∴f(5)=a·5 -b·5+2=-15+2=-13. 答案:-13 我综合 我发展

7

a )在[1,+∞)上是增函数,求 a 的取值范围. x a 思路解析:由函数 f(x)=log9(x+8- )在[1,+∞)上是增函数可以得到两个信息:①对任意 x a 的 1≤x1<x2,总有 f(x1)<f(x2);②当 x≥1 时,x+8- >0 恒成立. x a 解 答 : ∵ 函 数 f(x)=log9(x+8- ) 在 [ 1,+ ∞ ) 上 是 增 函 数 , ∴ 对 任 意 的 1 ≤ x1<x2, 有 x
13.函数 f(x)=log9(x+8f(x1)<f(x2) , 即 log9(x1+8-

a a a a )<log9(x2+8) , 得 x1+8<x2+8,即 x1 x2 x1 x2

(x1-x2)(1+

a )<0. x1 x 2 a a >0, >-1,a>-x1x2. x1 x 2 x1 x 2
a )在[1,+∞)上是增函数,∴1+8-a>0, x

∵x1-x2<0,∴1+

∵x2>x2≥1,∴要使 a>-x1x2 恒成立,只要 a≥1. 又∵函数在 f(x)=log9(x+8-

即 a<9. 综上,a 的取值范围为[-1,9).

a a ,函数 f(x)=log9(x+8- )在[1,+∞)上是增函数, x x a a ∴g(x)=x+8- 在[1,+∞)上是增函数,g′(x)=1+ 2 . x x a ∴1+8-a>0,且 1+ 2 ≥0 在[1,+∞)上恒成立,得-1≤a<9. x ax 14.讨论函数 f(x)= (a≠0)在区间(-1,1)内的单调性. 1? x2
另解:(用导数求解)令 g(x)=x+8思路解析:根据函数的单调性定义求解. 3/5

解答:设-1<x1<x2<1,则 f(x1)-f(x2)=

ax 1 ? x1
2

?

ax2 1 ? x2
2

?

a( x1 ? x2 )(1 ? x1 x2 ) (1 ? x1 )(1 ? x2 )
2 2

.
2 2

∵x1、x2∈(-1,1),且 x1<x2,∴x1-x2<0,1+x1x2>0,(1-x1 )(1-x2 )>0. 于是,当 a>0 时,f(x1)<f(x2);当 a<0 时,f(x1)>f(x2). 故当 a>0 时,函数在(-1,1)上是增函数;当 a<0 时,函数在(-1,1)上为减函数. 我创新 我超越

1? x2 15.判断函数 f(x)= 的奇偶性. | x ? 2 | ?x
思路解析:确定函数的定义域后可脱去绝对值符号. 解答:由 ?

?1 ? x 2 ? 0, 得函数的定义域为[-1,1].这时,|x-2|=2-x, ?| x ? 2 | ? x ? 0,
1 ? ( ? x) 2 1? x2 1? x2 .∴f(-x)= =f(x). ? 2 2 2

∴f(x)=

1? x2 且注意到 f(x)不恒为零,从而可知 f(x)= 是偶函数,不是奇函数. | x ? 2 | ?x
16.已知 f(x)是 R 上的奇函数,且 x∈(-∞,0)时,f(x)=-xlg(2-x),求 f(x). 思路解析:先设 x>0,求 f(x)的表达式,再合并. 解答:∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0. 当 x>0 时,-x<0,f(-x)=xlg(2+x),即-f(x)=xlg(2+x), ∴f(x)=-xlg(2+x)(x>0). ∴f(x)= ?

?? x lg(2 ? x), x ? 0, ?? x lg(2 ? x), x ? 0.

17.下列函数中,在(-∞,0)内是减函数的是( ) 2 2 A.y=1-x B.y=x +x C.y=- ? x D.y=

x x ?1

思路解析:对于函数增减性的判定,只要画出函数的草图就易于判断了. 分别作出 y=1-x ,y=x +x,y=- ? x ,y=
2 2

x 的图象,如图(1)—(4)所示. x ?1

答案:D 2 18.研究二次函数 f(x)=2x -4x-1 的单调性,并加以证明. 4/5

思路解析:研究函数的单调性,首先得确定函数的单调区间,然后讨论函数在这个区间上是 递增还是递减.

从二次函数 f(x)=2x -4x-1=2(x-1) -3 的图象可知,是开口向上的抛物线,且对称轴方程为 x=1.因此这个函数的定义域 R 分为(-∞,1)和[1,+∞)两个单调区间,在(-∞,1)上递减, 在[1,+∞)上递增. 证明:设 x1、x2 是[1,+∞)内的任意两个实数,且 x1<x2, 2 2 则有 f(x1)=2x1 -4x1-1,f(x2)=2x2 -4x2-1, 2 2 f(x2)-f(x1)=2(x2 -x1 )-4(x2-x1) =2(x2+x1)(x2-x1)-4(x2-x1)=2(x2-x1)(x1+x2-2). 很明显,如能证明 2(x2-x1)(x1+x2-2)>0,就说明 f(x)在[1,+∞)上递增. 由于 x1<x2 时,有 x2-x1>0,因此只要证明 x1+x2-2>0 即可. 由于 x1≥1,x2>1,有 x1+x2>2,即 x1+x2-2>0, 所以 f(x2)-f(x1)=2(x2-x1)(x1+x2-2)>0,即 f(x2)>f(x1). 所以 f(x)在[1,+∞)上递增. 用同样的方法可证明 f(x)在(-∞,1)上递减. 2 对于二次函数 f(x)=ax +bx+c 的单调性,有如下四种情况: (1)当 a>0 时,x∈(-∞,(2)当 a>0 时,x∈[-

2

2

b ),f(x)为减函数; 2a

b ,+∞),f(x)为增函数; 2a b (3)当 a<0 时,x∈(-∞,),f(x)为增函数; 2a b (4)当 a<0 时,x∈[,+∞),f(x)为减函数. 2a

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