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利用法向量解立体几何题


利用向量解立体几何题 向量法在解决求立几中的角和距离两大问题中,是行之有效的方法,它解决了以前旧版教材立几中的这两 个难点,在旧版教材中,运用几何法解决这两类问题,要通过“作”“证”“求” 、 、 ,既要有较强的空间想象能 力,又要求学生对空间中,线、面之间的判定、性质等定理非常熟悉并能熟练应用,对学生是一个大难点,而 现在向量法则很好解决了这个难点,所以它对人们研究立几问题有着普及的意义。同时向量法对立几中的线面 平行和线面垂直、面面垂直和面面平行等位置关系的证明,也非常简便。 一、运用向量求空间角 n A a 1. 异面直线 所成的角 C 分别在直线 m , n 上取定向量 a , b , 则异面直线 m , n 所成的角 ? 等于向量 a , b 所成
? ? | a ?b | ? . 的角或其补角(如图 1 所示) ,则 cos ? ? ? |a |?|b |
D

? ?

? ?

n
图1

m

b

B

2.直线 L 与平面 ? 所成的角 在 L 上 取 定 AB , 求 平 面 ? 的 法 向 量 n ( 如 图 2 所 示 ) 再 求 ,
A
cos ? ? | AB ? n | | AB | ? | n |
B

L

?

n

,则 ? ?

?
2

? ? 为所求的角.

?
图2

3. 二面角 方法:构造二面角 ? ? l ? ? 的两个半平面 ? 、 的法向量 n 1 、 2 (都取向上 ? n 的方向,如图 3 甲所示) ,则 ① 若二面角 ? ? l ? ? 是“钝角型”的如图 3 甲所示,那么其大小等于两法 向量 n 1 、 2 的夹角的补角,即 cos ? ? ? n
n1 ? n 2 | n1 | ? | n 2 |

?
l

n1

n2
?

图3甲

.
n2

n1
?

② 若二面角 ? ? l ? ? 是“锐角型”的如图 3 乙所示,那么其大小等于两 法向量 n 1 、 2 的夹角,即 cos ? ? n 二、运用法向量求空间距离 1. 平面外一点 p 到平面 ? 的距离: 先求出平面 ? 的法向量 n ,在平面内任取一定点 A ,则点 p 到平面 ? 的距离 d
n1 ? n 2 | n1 | ? | n 2 |

?
.

l
图3乙

p

n
A

?

等于 AP 在 n 上的射影长,即 d ?

| AP ? n | |n|

.

2.线面距离 : 直线 a 与平面 ? 平行时,直线上任意一点 A 到平面 ? 的距离就是直线 a 与平面 ? 之间的距 离。其求法与点到面的距离求法相同。 3. 平面与平面间的距离: 平面 ? 与平面 ? 平行时, 其中一个平面 ? 上任意一点到平面 ? 的距离就是平面 ?

与平面 ? 间的距离。其求法与点到面的距离求法相同。
1

三、证明线面、面面的平行、垂直关系
?? a// ? ? a ? n1 ?? ?? ? ? // ? ? n1 // n 2 ?? ? a ? ? ? a// n 1 ?? ?? ? ? ? ? ? n1 ? n 2

设平面外的直线 a 和平面α 、β ,两个面α 、β 的法向量为 n1 , n 2 ,则
O

?? ?? ?

四、应用举例: 08 安徽 如图, 在四棱锥 O ? ABCD 中, 底面 ABC D 四边长为 1 的 菱形, A B C ? ?
O A ? 底 面 ABC D , OA ? 2 , M 为 O A 的中点。

M

?
4

,
A B C

D

(Ⅰ)求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小 ; (Ⅱ)求点 B 到平面 OCD 的距离。
O

z

解:作 AP ? C D 于点 P,如图,分别以 AB,AP,AO 所在直线为 x , y , z 轴建立坐标系
2 2 2 2 2 2
x B

M

A (0 , 0 , 0 ), B (1, 0 , 0 ), P (0 ,

, 0 ), D ( ?

,

, 0 ), O (0 , 0 , 2 ), M (0 , 0 ,1) ,

A C

D P y

(1)设 AB 与 M D 所成的角为 ? ,
??? ? ???? ? ∵ A B ? (1, 0 , 0 ), M D ? ( ? 2 2 , 2 2 , ? 1)

??? ???? ? ? A B ?M D 1 ? ∴ c o ? ? ??? ???? ? s ∴? ? , ? ? 2 3 AB ? M D
??? ? 2 2 ???? , ? 2 ), O D ? ( ? 2 2 2 2

,

∴ AB 与 M D 所成角的大小为

?
3

(2) ∵ O P ? (0 ,

,

, ?2)

??? ? ???? ∴ 设平面 OCD 的法向量为 n ? ( x , y , z ) ,则 n ?O P ? 0, n ?O D ? 0
? 2 y ? 2z ? 0 ? ? 2 即 ? 2 2 ? ? x? y ? 2z ? 0 ? ? 2 2

取z ?

2 ,解得 n ? (0, 4,

2)

设点 B 到平面 OCD 的距离为 d ,则 d 为 O B 在向量 n ? (0, 4, 2 ) 上的投影的绝对值,
??? ? ∵ OB ? ( 1 , 0 , ?
??? ? OB ?n n 2 3

??? ?

, ∴d ? 2)

?

.

所以点 B 到平面 OCD 的距离为

2 3

z D1 A1 B1

C1

全国 II 19.如图,正四棱柱 ABC D ? A1 B1C 1 D1 中, A A1 ? 2 A B ? 4 ,点 E 在
CC 1 上且 C 1 E ? 3 EC .

E (Ⅱ)求二面角 A1 ? D E ? B 的大小. x D A B C y

(Ⅰ)证明: A1C ? 平面 BED ;

2

解:以 D 为坐标原点,射线 DA 为 x 轴的正半轴,建立如图所示直角坐标系 D ? xyz . 依题设, B (2,, , C (0,, , E (0,,, A1 (2,, . 2 0) 2 0) 2 1) 0 4)
???? ???? ? ???? ??? ? 2 ? D 0 4) D E ? (0,,, B ? (2,, , A1C ? ( ? 2,, 4), A1 ? (2,, . 2 1) D 2 0)

(Ⅰ)因为 A1C ?D B ? 0 , A1C ?D E ? 0 ,故 A1C ? B D , A1C ? D E .又 D B ? D E ? D , 所以 A1C ? 平面 DBE . (Ⅱ)设向量 n ? ( x, y, z ) 是平面 D A1 E 的法向量,则 n ? D E , n ? D A1 .故 2 y ? z ? 0 , 2 x ? 4 z ? 0 . 令 y ? 1 ,则 z ? ? 2 , x ? 4 , n ? (4, ? 2) . 1,
???? n, 1C 等于二面角 A1 ? D E ? B 的平面角, A

???? ????

???? ????

????

???? ?

???? ???? 14 n ?A1 C 14 c o s n, 1 C ? A .所以二面角 A1 ? D E ? B 的大小为 a rc c o s . ???? ? 42 42 n A1 C

07 安徽 如图,在六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正 方形,四边形 A1B1C1D1 是边长为 1 的正方形,DD1⊥平面 A1B1C1D1,DD1⊥平面 ABCD,DD1=2. (Ⅰ)求证:A1C1 与 AC 共面,B1D1 与 BD 共面; (Ⅱ)求证:平面 A1ACC1⊥平面 B1BDD1; (Ⅲ)求二面角 A-BB1-C 的大小(用反三角函数值表示). 解:以 D 为原点,以 D A, D C, D D1 所在直线分别为 x 轴, y 轴, z 轴建立空间 直角坐标系 D ? xyz 如图, 则有 A (2,, , B (2,, , C (0,, , A1 (1,, , B1 (1, 2), C 1 (0, 2), D1 (0,, . 0 0) 2 0) 2 0) 0 2) 1, 1, 0 2) (Ⅰ)证明:∵ A1C 1 ? ( ? 1, 0), ? ( ? 2,, , 1 B1 ? (1, 0), B ? (2,, . 1, AC 2 0) D 1, D 2 0)
???? ????? ???? ????? ∴ AC ? 2 A1C 1, B ? 2 D1 B1 . D ????? ????? ???? ??? ? ∴ AC 与 A1 C 1 平行,DB 与 D1 B1 平行, 于是 A1C 1 与 A C 共面,B1 D 1 与 BD 共面. ????? ???? ????? ????
z

D1

C1 B1

A1

D A
x

C
y

B

(Ⅱ)证明: D D· A C ? (0,,· ( ? 2,, ? 0 , 0 2) 2 0) 1
???? ? ???? ??? ? ???? ∴ D D1 ? A C , D B ? AC .
∴ AC ? 平面 B1 BD D1 .

???? ???? ?

? ? ?? ? ? ? ? D B A C ( 2 2 · ) ? (,, 2 ? , 0 · ? ,, 0 2 0)

D D1 与 DB 是平面 B1 BD D1 内的两条相交直线.

又平面 A1 AC C 1 过 A C . ∴ 平面 A1 A C C 1 ? 平面 B1 BD D1 .
???? ???? ?

(Ⅲ)解: AA1 ? ( ? 1,, , 1 ? ( ? 1, 1, , C 1 ? (0, 1, . 设 n ? ( x1, y1, z1 ) 为平面 A1 A B B1 的法向量, 0 2) BB ? 2) C ? 2)
???? ???? n AA1 ? ? x1 ? 2 z1 ? 0 , n BB1 ? ? x1 ? y1 ? 2 z1 ? 0 . 令 z1 ? 1 ,则 x1 ? 2 , y1 ? 0 ,∴ n ? (2,, . · · 0 1)

????

设 m ? ( x 2, y 2, z 2 ) 为平面 B1 B C C 1 的法向量,
3

???? ???? ? m BB1 ? ? x 2 ? y 2? 2 z ? 0 , m C C 1 ? ? y 2 ? 2 z 2 ? 0 . · · 2

A

C

于是 x 2 ? 0 ,取 z 2 ? 1 ,则 y 2 ? 2 , m ? (0,, . 2 1)
1 5

c o s m, n ?

m· n m n

?

1 5



O
B

∴ 二面角 A ? BB1 ? C 的大小为 π ? arccos



A1 B1

C1

07 江西 右图 是一 个直三 棱柱 (以 A1 B1C 1 为 底面 )被一 平面 所截得 到的 几何体 ,截 面为 ABC . 已知
A

A1 B1 ? B1C 1 ? 1 , ? A1 B1C 1 ? 90 , A A1 ? 4 , B B1 ? 2 , C C 1 ? 3 .

?

C

O

z

(1)设点 O 是 AB 的中点,证明: O C ∥ 平面 A1 B1C 1 ;
y

B

x
C1

(2)求二面角 B ? AC ? A1 的大小; (3)求此几何体的体积. 解 (1)如图,以 B1 为原点建立空间直角坐标系,
3 ? 点,所以 O ? 0, , ? , O C ? ? 1, ? 2 ?
?

A1 B1

则 A (0,4) , B (0,, , C (1,, ,因为 O 是 AB 的中 1, 0 2) 0 3)
?

?

1

?

????

?

1

? ,? . 0 2 ?

易知, n ? (0,, 是平面 A1 B1C 1 的一个法向量. 0 1)

因为 O C ?n ? 0 , O C ? 平面 A1 B1C 1 ,所以 O C ∥ 平面 A1 B1C 1 . (2) AB ? (0, 1, 2) , BC ? (1,, , ? ? 0 1) 则 AB ?m ? 0 , BC ?m ? 0 得: ?
?

???? ?
??? ?

??? ?

设 m ? ( x, y, z ) 是平面 ABC 的一个法向量,则 令 x ? 1, 则 z ? ? 1, y ? 2 ,因此 m ? (1,, 1) . 2 ?
??

??

??? ?? ?

??? ?? ?

?? y ? 2z ? 0 ?x ? z ? 0

显然, l ? (1, 0) 为平面 A A1C 1C 的一个法向量. 1,
?? ? ?? ? m ?l 1? 2 ? 0 3 l ? 则 co s m, ? ?? ? ? ,结合图形可知所求二面角为锐角. 2 2? 6 m ?l

所以二面角 B ? AC ? A1 的大小是 30 ? .
3 ?B C . 2 2 ? B ?C ?D ? 的对角线 BD ? 上, ? PDA ? 60 ? . 练习 08 海南 如图,已知点 P 在正方体 ABCD ? A D? C? (Ⅰ)求 DP 与 C C ? 所成角的大小; A? B? (Ⅱ)求 DP 与平面 AA ? D ?D 所成角的大小. P

(3) 所求几何体体积为

V ? VB ?

A 2A 2 C

? V C

1

A 1? 1 C B

2

A

答案: DP 与 C C ? 所成的角为 45 ? .
DP 与平面 AA ? D ?D 所成的角为 30 .
?

D A B

C

4


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