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精选河南省南阳市2016_2017学年高二数学下学期第一次月考3月试题理

河南省南阳市 2016-2017 学年高二数学下学期第一次月考(3 月)试题 理

本试题卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分。考试时间为 120 分 钟。考试结束只交答题卡。
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的)

1.质点运动规律 s ? t2 ? 3 ,则在时间 ?3,3 ? ?x?中,质点的平均速度等于( )

A. 6 ? ?x B. 6 ? ?x ? 9 C. 3? ?x D. 9 ? ?x ?x

2.设函数 f ? x? 可导,则 lim f ?1? ? f ?1 ? ?x? 等于( )

?x?0

3?x

A. ? f ??1? B. 3 f ??1?

C. ? 1 f ??1?
3

3.曲线 y ? x2 ? 2x 在点 ?1,3? 处的切线方程是 (

D. 1 f ??1?
3


A. 4x ? y ?1 ? 0

B. 3x ? 4y ?1 ? 0

C. 3x ? 4y ? 0

D. 4y ? 3x ?1 ? 0

4.函数 y ? x sin x ? cos x 在 ?? ,3? ? 内的单调增区间是( )

A. ???? ,

3? 2

? ??

B.

? ??

3? 2

,

5? 2

? ??

C.

? ??

5? 2

, 3?

? ??

D. ??, 2? ?

5.设 x, y, z 都是正数,则三个数 x+ 1 , y ? 1 , z ? 1 ( ) y zx

A. 都大于 2

B. 至少有一个不小于 2

C . 至少有一个大于 2

D. 至少有一个不大于 2

6.函数

f

?x?

?

1 2

ex

?sin

x

?

cos

x?

在区间

???0,

? 2

? ??

上的值域是(



A.

? ? ??

1 2

,

1 2

?
e2

? ? ??

B.

? ???

1 2

,

1 2

?
e2

? ???

? ?? C. ?1, e 2 ?
??

? ?? D. ?1, e 2 ?
??

7.设函数 f ( 1 ) ? x2 ? 2 ? ln x(x ? 0) ,则 f ?(1) ? ( )

x

x

A.2 B.-2

C.5 D. ?5

8.已知点

P

在曲线

y

?

4 ex ?

1

上,

?

为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则?

的取值范围是(



A.

[3? ,? )

B.

?? [,)

C.[3? ,? )

? [0, )

D.

? [0, )

4

42

4

2

4

9.若函数 f (x) ? 2x2 ? ln x 在其定义域内的一个子区间 (k ?1,k ?1) 内不.是.单调函数,则实数 k

的取值范围是( )

A.[1,+∞)

3 B.[1,2)

C.[1,2)

3 D.[2,2)

10.已知函数 f (x)(x ? R) 满足 f (1) ? 1,且 f '(x) ? 1 ,则 f (x) ? x ? 1 的解集为( )

2

22

A. ?x ?1 ? x ? 1? B. ?x x ? ?1? C. ?x x ? ?1或x ? 1? D. ?x x ? 1?

11.若函数 f (x) ? 1 ex 与 g(x) 的图像关于直线 y ? x 对称, P,Q 分 别是 f (x), g(x) 上的动点,则 2

PQ 的最小值为( )

A.1?1n2 B.1?1n2 C. 2(1 ? 1n2) D. 2(1 ? 1n2)

12.对于三次函数 f (x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) ,定义:设 f ??(x) 是 y ? f ?(x) 的导

数,若方程 f ??(x) ? 0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0))为函数 y=f(x)的“拐点”.有

同学发现:“任何一个三次函数都有‘拐点’;任何一个三次函数都有对称中心;且‘拐点’就是

对称中心.”请你将这一发 现为条件,若函数 g(x) ? 1 x3 ? 1 x2 ? 3x ? 5 ? 1

32

12 x ? 1

2

则 g( 1 ) ? g( 2 ) ? g( 3 ) ? g( 4 ) ? … ? g( 2010) 的值是( )

2011 2011 2011 2011

2011

A.2010

B.2011

C.2012

D.2013

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

13.

已知

f

(n)

?

1

?

1 2

?

1 3

?

?

?

?

?

1 n

(n

?

N?

)

,用数学归纳法证明

f (2n) ?

n ? 1 时,f (2k?1) ? 2

f (2k )

等于。

14.函数 f (x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a 2 (a,b ?R) 在 x ?1处有极值为 10,则 b 的值为。

15. 函数 f ? x? ? aex ? x 有两个零 点,则 a 的范围是 。
16. 已知 f (x) 的定义域是 (0,??) , f ?(x) 是 f (x) 的导数,且满足 f (x) ? f ?(x) ,则不等式 ex?2 ? f (x2 ? x) ? ex2 ? f (2) 的解集是。

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)

17.(10

分)已知函数

f

(x)

?

mx ? 6 x2 ? n

的图像在点

P(?1,

f

(?1))

处的切线方程为

x

?

2y

?

5

?

0

,求

函数 f (x) 的解析式。

18(12 分)已知函数 f (x) ? x4 ? 8x3 ? 18x2 ?1, x ?[?1, 4]

(1)求 f (x) 的单调区间;(2)求 f (x) 的最值。 19.(12 分)若函数 f (x) ? 1 x3 ? 1 ax2 ? (a ?1)x ?1在区间 (1, 4) 上是减函数,在 区间 (6, ??) 上是
32 增函数,求实数 a 的取值范围。
20.(12 分)已知数列?an? 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? 1, Sn ? n2an (n ? N? )
(1)试求出 S1, S2 , S3, S4 ,并猜想 Sn 的表达式;
(2)证明你的猜想,并求出 an 的表达式。
21.(12 分)已知函数 f (x) ? x ? ln(x ? a) 在 x ?1 处取得极值.

(Ⅰ)求实数 a 的值;

(Ⅱ)若关于

x

的方程

f

(x) ?

2x

?

x2

?

b



?1 ?? 2

, 2???

恰好有两个不相等的实数

根,求实数 b 的取值范围.

22.(12 分)已知函数 f (x) ? x ln x , g(x) ? ?(x 2 ?1) ( ? 为常数).

(1)若函数 y ? f (x) 与函数 y ? g(x) 在 x ? 1处有相同的切线,求实数 ? 的值;

(2)若 ? ? 1 ,且 x ? 1,证明: f (x) ? g(x) ; 2
(3)若对任意 x ?[1,??) ,不等式恒 f (x) ? g(x) 成立,求实数 ? 的取值范围 .

一.选择题

ACABB

2017 年春期第一次月考高二理科数学参考答案 ADABD CA

二.填空题

13.

1 2k ?1

?

2k

1 ?

2

?

?

?

?

?

1 2k ?1

14.

?11

(0, 1) 15. e

16 . (?1,0) ? (1,2)

三.解答题

17.解:由题意得 f (?1) ? ?2, f ?(?1) ? ? 1 2

f

?(x)

?

m( x 2

? n) ? 2x(mx (x2 ? n)2

?

6)

? ? ???
?

?m ? 6 ? ?2 1? n m(1? n) ? 2(m

??

(1? n)2

?

6)

?

?

1 2

解得

?m ? 2, ??n ? 3.



???nm????16.(, 由n

?1

?

0舍去n

?

?1)?

f

(x)

?

2x x2

?6 ?3

18.解:定义域[?1, 4] f ?(x) ? 4x3 ? 24x2 ? 36x ? 4x(x2 ? 6x ? 9) ? 4x(x ? 3)2

令 f ?(x) ? 0得x ? 0, x ? 3 列表得

x

?1 (?1,0)

0

(0, 3)

3

(3, 4)

4

y?

?

0

+

0

+

y

10

?

极小值

?

无极值

?

31

?1

由表知,(1)增区间 (0, 4) ,减区间 (?1,0)

(2)当 x ? 0 时, ymin ? ?1 ;当 x ? 4时, ymax ? 31。

19.(1)解:

an

?

Sn

? Sn?1(n

?

2)? Sn

?

n2 (Sn

? Sn?1)? Sn

?

n2 n2 ?

1

Sn

?1

(n

?

2)

a1

? 1,?S1

?

a1

? 1, S2

?

4 3 , S3

?

3 2

?

6 4 , S4

?

8 5

,

猜想Sn

?

2n n ?1

证明:1) 当n

?

1时,

S1

?

1,

2?1 1?1

?

1 ,等式成立。

2)假 设 当 n ? k(

k? 1 , k??

N时)





式成立

,即

Sk

?

2k k ?1

。当

n ? k ?1





? Sk?1

?

(k

? 1)2

? ak?1

?

(k

? 1)2

?

(k

2 ? 1)(k

?

2)

?

2(k ? 1) k?2

?

2(k ? 1) (k ? 1) ? 1

?n ? k ?1时,等式也成立。

综上

1)2)知,对于任意 n ?

N?

, Sn

?

2n n ?1

都成立。

又 ak?1

?

(k

2 ? 1)(k

?

2)

?an

?

2 n(n ? 1)

20.解:法一:数形结合(结合三次函数的图像特征)

f ?(x) ? x2 ? ax ? a ? 1 ? (x ? 1)[x ? (a ? 1)] 令f ?(x) ? 0得x ? 1, x ? a ?1

由题意及三次函数的图像知, x ? 1, x ? a ?1 是函数 f (x) 的两个极值点,且 x ? 1 是极大值点, x ? a ?1 是 极 小 值 点 。 即 函 数 f (x) 在(1,a ?1)上 是 减 函 数 , 在(a ?1,? ?)是 增 函 数 。

????64

? ?

a a

?1 ?1

解得5 ? a ? 7

即a的范围是[5, 7]

法二:转化为恒成立,分离参数法

f (x) 在区间 (1, 4) 上是减函数? f ?(x) ? x2 ? ax ? a ? 1 ? 0 对 x ? (1, 4) 恒成立

即 (x ?1)a ? x2 ?1 对 x ? (1, 4) 恒成立,即 a ? x ?1对 x ? (1, 4) 恒成立

?a ? (x ? 1)max , x ? (1, 4)?a ? 5 同理, f (x) 在区间 (6, ??) 上是增函数,可得 a ? x ?1对 x ? (1, 4) 恒成立

?a ? (x ? 1)min , x ? (6, ??)?a ? 7 综上知, a的范围是[5,7]

21.解:(Ⅰ) f ?(x) ? 1? 1 , 由题意得 f ?(1) ? 1? 1 ? 0, ?a ? 0

x?a

1? a

此时 f (x) ? x ? ln x , f ?(x) ? 1? 1 ? x ?1, x ? 1, f ?(x) ? 0; x ? 1, f ?(x) ? 0 xx

?x ? 1时有极值?a ? 0

(Ⅱ)由题意知,方程

x

?

ln

x

?

2x

?

x2

?

b



? ??

1 2

,

2???

恰有二不等实根,

即 3x

? ln

x

?

x2

?

b



?1 ?? 2

,

2???

恰有二不等实根。



g(x)

?

3x

?

ln

x

?

x2

,则

g?( x)

?

3?

1

?

2x

?

?2x2

?

3x

?1

?

?( x

? 1)( x

?

1) 2

x

x

x



x

?

? ??

1 2

,1???

时,

g?(x)

?

0,

g(x)

为增函数

;当

x

??1, 2?1时,
2

g?(x)

?

0,

g(x)

为减函数;又

g(1) ? 5 ? ln 2 ; g(1) ? 2 ; g(2) ? 2 ? ln 2 ; 24

而 g(1) ? g(2) ? 2ln 2 ? 3 ? ln 4 ? 3 ? 0 ;

2

4

4

所以 g(1) ? g(2) , g(x) 的简图如图所示, 2

?

f

(x)

?

2x

?

x2

?

b



? ??

1 2

,

2???

恰有二不等实根,

b

的取值范围为[ 5 4

?

ln

2, 2)



22.解:(1) f ?(x) ? ln x ?1 ,则 f ??1? ? 1 且 f ?1? ? 0 .

所以函数 y ? f (x) 在 x ?1处的切线方程为: y ? x ?1,从而 g?(1) ? 2? ?1,即 ? ? 1 . 2

? ? (2)由题意知:设函数 h? x? ? x ln x ? 1 x2 ?1 ,则 h?? x? ? ln x ?1? x . 2

设 p? x? ? ln x ?1? x ,从而 p?? x? ? 1 ?1=1? x ? 0 对任意 x ??1,? ?? 恒成立,

x

x

? ? 所以 p? x? ? ln x ?1? x? p?1? ? 0 ,即 h?? x?? 0 ,因此函数 h? x? ? x ln x ? 1 x2 ?1 在 ?1,? ?? 上单调递减, 2

于是 h? x?? h?1? ? 0 ,所以当 x…1 时, f (x)? g(x) 成立.

? ? (3)设 H ?x? ? xln x ? ? x2 ?1 , 从 而 对 任 意 x ??1,? ?? , 不 等 式 H(x)? 0 ? H(1) 恒 成

立. H ?? x? ? ln x ?1? 2?x

1)当 ?? 0 时, H ?? x? ? ln x ?1? 2?x…0 恒成立,此时函数 H(x) 单调递增.

于是,不等式 H(x)…H(1) ? 0 对任意 x ??1,? ?? 恒成立,不符合题意。

2)当 H ?? x? ? ln x ?1? 2?x? 0 ,即 ln x ?1? 2? 恒成立时, H(x) 单调递减.
x



r?x?

?

ln

x ?1 x

,则

r??x?

?

? ln x2

x?

0 , r ? x?max

?

r ?1?

? 1 ,即1剠2?

?

?

1 ,符合题意。 2

3)当

0

?

?

?

1

时,设

q

?

x?

?

H

??

x?

?

ln

x

?

1

?

2?

x

,则

q??

x?

?

1

?

2?

?

1?

2? x

?

?2?(x

?

1 2?

)

?

0

2

x

x

x

?x

?

1 2?

?1. 当

x

? ???1,

1 2?

? ??

时,

q? ? x?

?

1 x

?

2?

?

0



q

?x?

?

H??x?

?

ln

x

?1?

2? x

单调递增,

所以

H

?

?

x?

?

ln

x

?1

?

2?

x

?

H

??1?

?

1

?

2?

?

0

,故当

x

?

???1,

1 2?

? ??

时,函数

H

(x)

单调递增.

于是当

x

?

???1,

1 2?

? ??

时,

H

(x)

?

0

成立,不符合题意。

综上所述,实数 ? 的取值范围为[1 ,??) . 2


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