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河北省邢台二中高一下学期期中数学试卷 Word版含解析

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2015-2016 学年河北省邢台二中高一(下)期中数学试卷
一、选择题:(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.﹣225°是第( )象限角. A.一 B.二 C.三 D.四 2.已知 sin5.1°=m,则 sin365.1°=( ) A.1+m B.﹣m C.m D.与 m 无关 3.sin2(2π﹣α)+cos(π+α)?cos(π﹣α)+1 的值是( ) A.1 B.2 C.0 D.2sin2α 4.f(x)=tan2x 是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数
5.函数 y=2tan(x﹣ ),x∈[﹣ , ]的值域是( )
A.[﹣2,2]B.[﹣1,1]C.[﹣2 ,2]D.[﹣ ,1]
6.函数 y=sin(2x﹣ )在区间[﹣ ,π]的简图是( )

A.

B.

C.

D.

7.为了得到函数 y=3sin(2x+ )的图象,只要把函数 y=3sinx 的图象上所有的点( )
A.横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),再把所得图象所有的点向左平移 个单位长 度 B.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再把所得图象所有的点向左平移 个单位长 度 C.向右平移 个单位长度,再把所得图象所有的点横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)

D.向左平移 个单位长度,再把所得图象所有的点横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不 变) 8.函数 y=3sin( ﹣ )的振幅、周期、初相分别为( )

A.﹣3,4π, B.3,4π,﹣ C.3,π,﹣ D.﹣3,π, 9.cos15°cos30°+cos105°sin30°的值是( ) A. B. C. D.1

10. cos ﹣sin 的值是( )

A.0 B.﹣ C. D.2

11.下列各式中,值为 的是( )

A.2sin15°cos15° B.cos215°﹣sin215° C.2sin215°﹣1 D.sin215°+cos215°

12.函数 y=sinxsin

的最小正周期是( )

A. B.π C.2π D.4π

二、填空题:(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13.如果 cosα= ,且 α 是第四象限的角,那么

=



14.已知某扇形所在圆的半径为 R,且该扇形的面积为 R2,那么这个扇形的圆心角的弧度

数是



15.计算 tan10°tan20°+ (tan10°+tan20°)=



16.设

,则 tan(α﹣β)的值等





三、解答题:(共 6 小题,17 小题 10 分,其余每小题 10 分,共 70 分,解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤)

17.化简



18.已知 cosα= ,cosβ= ,且 α,β∈(0, ),求 cos(α﹣β),sin(α+β)的值.

19.已知

,且 cos(α﹣β)= ,sin(α+β)=﹣ ,求:cos2α 的值.

20.已知 sin(α﹣β)cosβ+cos(α﹣β)sinβ= ,且 α∈( ,π),求 tan(α﹣ )的值.

21.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π),在同一周期内,当 x= 时,
f(x)取得最大值 3;当 x= 时,f(x)取得最小值﹣3. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)的单调递减区间. 22.已知函数 f(x)=sin2x+asinxcosx﹣cos2x,且 f( )=1. (1)求常数 a 的值; (2)求 f(x)的最小正周期、最小值.

2015-2016 学年河北省邢台二中高一(下)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.﹣225°是第( )象限角. A.一 B.二 C.三 D.四 【考点】象限角、轴线角. 【分析】由于角﹣225°的终边落在第二象限,故﹣225°是第二象限角. 【解答】解:由于角﹣225°的终边落在第二象限,故﹣225°是第二象限角, 故选 B.
2.已知 sin5.1°=m,则 sin365.1°=( ) A.1+m B.﹣m C.m D.与 m 无关 【考点】运用诱导公式化简求值. 【分析】利用诱导公式即可得出. 【解答】解:∵sin5.1°=m, 则 sin365.1°=sin5.1°=m, 故选:C.
3.sin2(2π﹣α)+cos(π+α)?cos(π﹣α)+1 的值是( ) A.1 B.2 C.0 D.2sin2α 【考点】诱导公式的作用;同角三角函数间的基本关系. 【分析】利用诱导公式和平方关系即可得出. 【解答】解:原式=sin2α+(﹣cos α)?(﹣cos α)+1 =sin2α+cos2α+1 =1+1=2. 故选 B.
4.f(x)=tan2x 是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 【考点】正切函数的图象. 【分析】根据函数的定义域关于原点对称,且 f(﹣1)=﹣f(x),利用奇偶性的定义,得出 结论.
【解答】解:由 2x≠kπ+ (k∈Z)得:x≠ kπ+ ,k∈Z.
故函数 f(x)=tan2x 的定义域为{x|x≠ kπ+ ,k∈Z},
关于原点对称,且满足 f(﹣x)=tan(﹣2x)=﹣tan2x=﹣f(x), 故 f(x)=tan2x 是奇函数, 故选:A.

5.函数 y=2tan(x﹣ ),x∈[﹣ , ]的值域是( ) A.[﹣2,2]B.[﹣1,1]C.[﹣2 ,2]D.[﹣ ,1] 【考点】正切函数的图象. 【分析】利用正切函数的定义域和值域,求得该函数的值域. 【解答】解:对于函数 y=2tan(x﹣ ),∵x∈[﹣ , ],∴x﹣ ∈[﹣ , ],
∴y=2tan(x﹣ )∈[﹣2 ,2], 故选:C.
6.函数 y=sin(2x﹣ )在区间[﹣ ,π]的简图是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】余弦函数的图象. 【分析】由函数的解析式,根据当 x=0 时,y=﹣ ,排除 B、D;再根据当 x= 时,y=0, 排除 C,从而得出结论. 【解答】解:对于函数 y=cos(2x﹣ ),由于当 x=0 时,y=sin(﹣ )=﹣ ,故排除 B、D. 再根据当 x= 时,y=sin0=0,故排除 C, 故选:A.
7.为了得到函数 y=3sin(2x+ )的图象,只要把函数 y=3sinx 的图象上所有的点( )
A.横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),再把所得图象所有的点向左平移 个单位长 度

B.横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),再把所得图象所有的点向左平移 个单位长 度 C.向右平移 个单位长度,再把所得图象所有的点横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变)
D.向左平移 个单位长度,再把所得图象所有的点横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不 变) 【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】根据图象的伸缩变换的规律:自变量 x 乘以 ω,则图象的纵坐标不变,横坐标变为 原来的 倍;三角函数符号前乘以 A,需将图象的横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍.图 象的平移变换的规律:左加右减. 【解答】解:y=3sinx 在纵坐标不变,横坐标缩短到原来的 倍得到函数 y=3sin2x 的图象
再再把所得图象所有的点向左平移 个单位长度得到 y=3sin(2x+ )的图象 故选 A

8.函数 y=3sin( ﹣ )的振幅、周期、初相分别为( )

A.﹣3,4π, B.3,4π,﹣ C.3,π,﹣ D.﹣3,π,
【考点】三角函数的周期性及其求法;y=Asin(ωx+φ)中参数的物理意义. 【分析】直接利用三角函数的周期,振幅,初相求解即可.

【解答】解:函数 y=3sin( ﹣ )的振幅为:3;周期:T= =4π;初相:



故选:B.

9.cos15°cos30°+cos105°sin30°的值是( )
A. B. C. D.1
【考点】两角和与差的余弦函数. 【分析】把所求式子中的角 105°变为 90°+15°,利用诱导公式 cos(90°+α)=﹣sinα 化简后, 再利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简,即可求出值. 【解答】解:cos15°cos30°+cos105°sin30° =cos15°cos30°+cos(90°+15°)sin30° =cos15°cos30°﹣sin15°sin30° =cos45°
=.
故选 A

10. cos ﹣sin 的值是( ) A.0 B.﹣ C. D.2 【考点】两角和与差的正弦函数. 【分析】变形可得原式=2(sin cos ﹣cos sin ),由两角差的正弦函数可得.
【解答】解: cos ﹣sin =2( cos ﹣ sin )
=2(sin cos ﹣cos sin )
=2sin( ﹣ )=2sin = 故选:C

11.下列各式中,值为 的是( )
A.2sin15°cos15° B.cos215°﹣sin215° C.2sin215°﹣1 D.sin215°+cos215° 【考点】三角函数中的恒等变换应用. 【分析】这是选择题特殊的考法,要我们代入四个选项进行检验,把结果是要求数值的选出 来,在计算时,有三个要用二倍角公式,只有最后一个应用同角的三角函数关系.
【解答】解:∵
故选 B

12.函数 y=sinxsin

的最小正周期是( )

A. B.π C.2π D.4π

【考点】二倍角的正弦;三角函数的周期性及其求法. 【分析】利用诱导公式、二倍角公式对已知函数进行化简,然后代入周期公式即可求解

【解答】解:∵y=sinxsin

=sinxcosx= sin2x

∴T= =π 故选 B

二、填空题:(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13.如果 cosα= ,且 α 是第四象限的角,那么

=



【考点】象限角、轴线角;同角三角函数基本关系的运用;运用诱导公式化简求值.

【分析】利用诱导公式化简

,根据 α 是第四象限的角,求出 sinα 的值即可.

【解答】解:已知 cosα= ,且 α 是第四象限的角, ;
故答案为: .

14.已知某扇形所在圆的半径为 R,且该扇形的面积为 R2,那么这个扇形的圆心角的弧度 数是 2 . 【考点】扇形面积公式.
【分析】半径为 r 的扇形圆心角的弧度数为 α,则它的面积为 S= αr2,由此结合题中数据,
建立关于圆心角的弧度数 α 的方程,解之即得该扇形的圆心角的弧度数. 【解答】解:设扇形圆心角的弧度数为 α, ∵扇形所在圆的半径为 R,且该扇形的面积为 R2,
则扇形面积为 S= α×R2=R2,
解得:α=2. 故答案为:2.

15.计算 tan10°tan20°+ (tan10°+tan20°)= 1 . 【考点】两角和与差的正切函数. 【分析】由 10°+20°=30°,利用两角和的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简后,即可 得到所求式子的值.

【解答】解:因为 tan30°=tan(10°+20°)=

=,

则 (tan10°+tan20°)=1﹣tan10°tan20° 即 tan10°tan20°+ (tan10°+tan20°)=1. 故答案为:1

16.设

,则 tan(α﹣β)的值等于



【考点】两角和与差的正切函数. 【分析】由 α 的范围及 sinα 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 cosα 的值,进而求

出 tanα 的值,再根据诱导公式化简 tan(π﹣β)= ,得到 tanβ 的值,然后把所求式子利用

两角差的正切函数公式化简后,把各自的值代入即可求出值.

【解答】解:由

,得到 cosα=﹣ ,

所以 tanα=﹣ ,

又 tan(π﹣β)=﹣tanβ= ,所以 tanβ=﹣ ,

则 tan(α﹣β)=

=

=﹣ .

故答案为:﹣

三、解答题:(共 6 小题,17 小题 10 分,其余每小题 10 分,共 70 分,解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤)

17.化简



【考点】三角函数的化简求值. 【分析】利用诱导公式化简求解即可.

【解答】解:

= =cosα.

18.已知 cosα= ,cosβ= ,且 α,β∈(0, ),求 cos(α﹣β),sin(α+β)的值.
【考点】两角和与差的余弦函数;两角和与差的正弦函数. 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求 sinα,sinβ 的值,利用两角差的余弦函数 公式,两角和的正弦函数公式即可计算求值.
【解答】解:∵cosα= ,cosβ= ,且 α,β∈(0, ),

∴sinα=

=

= ,sin

=

=,

∴cos(α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ=

=,

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=

+

=.

19.已知

,且 cos(α﹣β)= ,sin(α+β)=﹣ ,求:cos2α 的值.

【考点】二倍角的余弦;两角和与差的余弦函数. 【分析】由 α 与 β 的范围求出 α﹣β 与 α+β 的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出 sin (α﹣β)与 cos(α+β)的值,所求式子角度变形后利用两角和与差的余弦函数公式化简, 将各自的值代入计算即可求出值.

【解答】解:∵ <β<α< ,∴0<α﹣β< ,π<α+β< ,

∵cos(α﹣β)= ,sin(α+β)=﹣ ,

∴sin(α﹣β)=

= ,cos(α+β)=﹣

=﹣ ,

则 cos2α=cos[(α﹣β)+(α+β)]=cos(α﹣β)cos(α+β)﹣sin(α﹣β)sin(α+β)= × (﹣ )﹣(﹣ )× =﹣ .

20.已知 sin(α﹣β)cosβ+cos(α﹣β)sinβ= ,且 α∈( ,π),求 tan(α﹣ )的值.
【考点】两角和与差的正切函数. 【分析】由题意和两角和的正弦公式求出 sinα,由 α 的范围和平方关系求出 cosα,由商的 关系求出 tanα,利用两角差的正切公式求出 tan(α﹣ )的值.

【解答】解:因为 sin(α﹣β)cosβ+cos(α﹣β)sinβ= ,

所以 sinα= ,

因为 α∈( ,π),所以 cosα=﹣

=﹣ ,则 tanα= ,

所以 tan(α﹣ )=

=

=

=1.

21.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π),在同一周期内,当 x= 时,
f(x)取得最大值 3;当 x= 时,f(x)取得最小值﹣3. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)的单调递减区间. 【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的图象. 【分析】(1)由函数的最值求出 A,由周期求出 ω,由五点法作图求出 φ 的值,可得函数 的解析式. (2)利用正弦函数的减区间求得函数 f(x)的单调递减区间. 【解答】解:(1)∵函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π),在同一周期内, 当 x= 时,f(x)取得最大值 3;当 x= 时,f(x)取得最小值﹣3,故 A=3,
= = ﹣ ,∴ω=2,再利用五点法作图可得 2? +φ= ,∴φ= ,
∴f(x)=3sin(2x+ ).

(2)令 2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ,求得 kπ+ ≤x≤kπ+ ,
可得函数的减区间为[kπ+ ,kπ+ ],k∈Z.
22.已知函数 f(x)=sin2x+asinxcosx﹣cos2x,且 f( )=1. (1)求常数 a 的值; (2)求 f(x)的最小正周期、最小值. 【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 【分析】(1)代值计算即可, (2)根据倍角公式和两角差的正弦公式化简,再求出周期和最值. 【解答】解:(1)f(x)=sin2x+asinxcosx﹣cos2x=﹣cos2x+ sin2x,
∵f( )=1,
∴﹣cos + sin =1, 解得 a=2, (2)由(1)知 f(x)=sin2x﹣cos2x= sin(2x﹣ ),
∴T= =π,最小值为﹣

2016 年 7 月 7 日


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