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最新上海市浦东新区高三上学期期末考试(一模)数学试题及答案

浦东新区第一学期期末质量测试

高三数学

20xx.1

注意:1. 答卷前,考生务必在答题纸上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有 32 道试题,满分 150 分,考试时间 130 分钟.
一、填空题(本大题共有 12 题,满分 36 分)只要求直接填写结果,每个空格填对得 3 分,否 则一律得零分.

1.不等式 2x ? 1的解为

.

2.已知复数 z 满足 z(1? i) ? 2 ( i 为虚数单位),则 z ?

.

3.关于 x, y 的方程 x2 ? y2 ? 2x ? 4 y ? m ? 0 表示圆,则实数 m 的取值范围是

4.函数 y ? sin x ? 3 cos x 的最大值为

.

5.若 lim xn ? 0 ,则实数 x 的取值范围是

.

n??

6.已知一个关于

x,

y

的二元线性方程组的增广矩阵是

????

1 0

?1 1

22???? ,则 x ? y =

7.双曲线 x2 ? y2 ? 1的两条渐近线的夹角为

.

3

8.已知 y ? f ?1(x) 是函数 f (x) ? x3 ? a 的反函数,且 f ?1(2) ? 1,则实数 a ?

9.二项式 (2x ? x )4 的展开式中,含 x 3 项系数为

.

10.定义在 R 上的偶函数 y ? f (x) ,在[0,??) 上单调递增,则

P

不等式 f (2x ?1) ? f (3) 的解是

.

11.如图,已知 PA ? 平面 ABC , AC ? AB , AP ? BC ,

E

?CBA? 30? , D 、E 分别是 BC 、AP 的中点. 则异面直线 AC

与 DE 所成角的大小为

.

12.若直线 l 的方程为 ax ? by ? c ? 0 ( a,b 不同时为零),则

C

下列命题正确的是

.

A
D

(1)以方程 ax ? by ? c ? 0 的解为坐标的点都在直线 l 上;

. . .
B

(2)方程 ax ? by ? c ? 0 可以表示平面坐标系中的任意一条直线;

(3)直线 l 的一个法向量为 (a,b) ;

(4)直线 l 的倾斜角为 arctan(? a ) . b
二、选择题(本大题共有 12 题,满分 36 分)每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项 是正确的,选对得 3 分,否则一律得零分.

13.设椭圆的一个焦点为 ( 3,0) ,且 a ? 2b ,则椭圆的标准方程为

()

( A) x2 ? y2 ? 1 4

(B) x2 ? y2 ?1 2

(C) y2 ? x2 ? 1 4

(D) y2 ? x2 ?1 2

14.用 1,2,3,4、5 组成 没有重复数字的三位数,其中是奇数的概率为

()

( A) 1 5

(B) 2 5

15.下列四个命题中,为真命题的是

( A) 若 a ? b ,则 ac2 ? bc2

(C) 3 5

(D) 4 5
()

(B) 若 a ? b,c ? d 则 a ?c ? b?d

(C) 若 a ? b ,则 a2 ? b2

(D) 若 a ? b ,则 1 ? 1 ab

16.某校共有高一、高二、高三学生共有 1290 人,其中高一 480 人,高二比高三多 30 人.为

了解该校学生健康状况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有高一学生 96 人,

则该样本中的高三学生人数为

()

( A) 84

(B) 78

(C) 81

(D) 96

17.等差数列{an } 的前 n 项 和为 S n ,若 S17 ? 170 ,则a7 ? a9 ? a11的值为

()

( A) 10

(B) 20

(C) 25

(D) 30

18.“直线 l 垂直于 △ABC 的边 AB ,AC ”是“直线 l 垂直于 △ABC 的边 BC ”的 ( )

( A) 充分非必要条件

(B) 必要非充分条件

(C) 充要条件

(D) 既非充分也非必要条件

19.函数

f

(x)=

??x ?

?

1 x

,

x

?

0

的零点个数为

???2 ? ln x, x>0

()

( A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

20.某股民购买一公司股票 10 万元,在连续十个交易日内,前五个交易日,平均每天上涨 5%,

后五个交易日内,平均每天下跌 4.9%. 则股民的股票赢亏情况(不计其它成本,精确到元)( )

( A) 赚 723 元

(B) 赚 145 元

(C) 亏 145 元

(D) 亏 723 元

21.已知数列?an? 的通项公式 an ? 2n, n ? N ? ,则

a 1 a2 ? a2 a3 a4 a4 ( A) ?16096

a3 ? a3 a4 ?

a 5

a5 a6

? a2012 a2014

(B) ?16104

a2013 ? a2015 (C) ?16112

()
(D) ?16120

22.如果函数 y ? f (x) 在区间 I 上是增函数,而函数 y ? f (x) 在区间 I 上是减函数,那么称 x

函数 y ? f (x) 是区间 I 上“缓增函数”,区间 I 叫做“缓增区间”. 若函数 f (x) ? 1 x2 ? x ? 3

2

2

是区间 I 上“缓增函数”,则“缓增区间” I 为

()

( A) [1, ? ?)

(B) [ 0, 3]

(C) [0,1]

(D) [1, 3]

rr

rr

23.设? 为两个非零向量 a , b 的夹角,已知对任意实数 t ,| b ? ta | 的最小值为 2,则 ( )

r

r

( A) 若? 确定,则| a | 唯一确定

(B) 若? 确定,则| b | 唯一确定

r

r

(C) 若| a | 确定,则? 唯一确定

(D) 若| b | 确定,则? 唯一确定

24.已知 x1 , x2 是关于 x 的方程 x2 ? mx ? (2m ?1) ? 0 的两个实数根,则经过两点 A(x1, x12 ) ,

B(x2 ,

x2

2

)

的直线与椭圆

x2 16

?

y2 4

? 1公共点的个数是

()

( A) 2

(B) 1

(C) 0

(D) 不确定

三、解答题(本大题共有 8 题,满分 78 分)解答下列各题必须写出必要的步骤.

25.(本题满分 7 分)
已知函数 y ? lg 1? x 的定义域为集合 A ,集合 B ? (a, a ?1) . 若 B ? A ,求实数 a 的取 1? x
值范围.
B

S
26.(本题满分 8 分)
如图所示,圆锥 SO 的底面圆半径 | OA |? 1 ,其侧面展开
图是一个圆心角为 2? 的扇形,求此圆锥的体积. 3

O

A

27.(本题满分 8 分)
已知直线 y ? 1 x 与抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 交于 O 、 A 两点( F 为抛物线的焦点,O 为 2
坐标原点),若 AF ?17 ,求 OA的垂直平分线的方程.

28.(本题满分 12 分,第 1 小题 6 分、第 2 小题 6 分)


uuur

△uuuAr BC

中uu,ur 角uuAur

、B

、C

所对的边分别为

a

、b

、c

,且

b

?

c

,?A

的平分线为

AD



若 AB ? AD ? mAB ? AC.

(1)当 m ? 2 时,求 cos A的值;

(2) 当 a ? (1, 2 3 ) 时,求实数 m 的取值范围.

b

3

29.(本题满分 13 分,第 1 小题 6 分、第 2 小题 7 分)

在数列{

an}

,{

bn} 中,

a1

?

3

, b1

?

5

,

an?1

?

bn

? 2

4

,

bn?1

?

an ? 2

4

(n?

N*

).

(1)求数列{ bn ? an} 、{an ? bn}的通项公式;

(2)设 Sn 为数列{ bn} 的前 n 项的和,若对任意 n ? N* ,都有 p(Sn ? 4n) ? [1 , 3],求 实数 p 的取值范围.

30.(本题满分 8 分)
某风景区有空中景点 A 及平坦的地面上景点 B .已 知 AB 与地面所成角的大小为 60? ,点 A 在地面上的射影 为 H ,如图.请在地面上选定点 M ,使得 AB ? BM 达到
AM
最大值.
B

A
H M

31.(本题满分 10 分,第 1 小题 4 分、第 2 小题 6 分)

设函数 f (x) ? sin x ( 0 ? x ? ? ).

x

2

(1)设 x ? 0, y ? 0 且 x ? y ? ? ,试比较 f (x ? y) 与 f (x) 的大小; 2
(2)现给出如下 3 个结论,请你分别指出其正确性,并说明理由.

①对任意 x ? (0, ? ] 都有 cosx ? f (x) ? 1成立; 2

②对任意

x

?

? ??

0,

? 3

? ??

都有

f

(x)

?

1?

x2 3!

?

x4 5!

?

x6 7!

?

x8 9!

?

x10 11!

成立;

③若关于 x 的不等式 f (x) ? k 在 (0, ? ] 有解,则 k 的取值范围是 ( 2 ,??) .

2

?

32.(本题满分 12 分,第 1 小题 5 分、第 2 小题 7 分)
已知三角形 △ABC 的三个顶点分别为 A(?1, 0) ,
B(1, 0) , C(0, 1) . (1)动点 P 在三角形 △ABC 的内部或边界上,且
点 P 到三边 AC, AB, BC 的距离依次成等差数列,求点
P 的轨迹方程; (2)若 0 ? a ? b,直线 l : y ? ax ? b 将 △ABC 分
O

割为面积相等的两部分,求实数 b 的取值范围.

浦东新区第一学期期末质量测试 高三数学参考答案及评分标准

一、填空题(本大题共有 12 题,满分 36 分)只要求直接填写结果,每个空格填对得 3 分, 否则一律得零分.
1. x ? 0 ; 2.1 ? i ; 3. (??,5) ; 4.2; 5. (?1, 1) ; 6.6; 7. ? ; 3
8.1; 9.24; 10. (?1, 2) ; 11. arccos 2 ( arctan 7 ); 12.(1)、(2)、(3). 4

二、选择题(本大题共有 12 题,满分 36 分)每小题都给出四个选项,其中有且只有一个选项 是正确的,选对得 3 分,否则一律得零分.

13. ( A) ; 19. (C) ;

14. (C) ; 20. (D) ;

15. (C) ; 16. (B) ; 17. (D) ; 18. ( A) ; 21. ( A) ; 22. (D) ; 23. (B) ; 24. ( A) .

三、解答题(本大题共有 8 题,满分 78 分)解答下列各题必须写出必要的步骤.

25.(本题满分 7 分)
解:集合 A ? (?1,1) ,……………………………………………………………………3 分

因为 B ? A ,所以

?a ??a

? ?1 ?1?

1



?

?1

?

a

?

0

.…………………………………6



即 a ? ??1,0? . ………………………………………………………………………7 分

26.(本题满分 8 分)
解:因为| OA |? 1 ,所以弧 AB 长为 2? ,……………………………………………2 分

又因为 ?BSA ? 2? ,则有 SA? 2? ? 2? ,所以 SA ? 3 .……………………4 分

3

3

在 Rt?SOA中,| OA |? 1 . h ? SO ? SA2 ? OA2 ? 2 2 , …………………6 分

所以圆锥的体积V ? 1 ? r 2h ? 2 2 ? . ………………………………………8 分

3

3

27.(本题满分 8 分)

? y2 ? 2 px

解: OA 的方程为:

y

?

1 x. 2



? ?

?? y

?

1 2

x

得 x2 ? 8 px ? 0 ,

所以 A(8 p, 4 p) ,……………………………………………………………………3 分

由 AF ?17 ,可求得 p ? 2 .………………………………………………………5 分 所以 A(16,8) , AO 中点 M (8, 4) .…………………………………………………6 分 所以 OA的垂直平分线的方程为: 2x ? y ? 20 ? 0 .………………………………8 分

28.(本题满分 12 分,第 1 小题 6 分、第 2 小题 6 分)

解:(1)由 b ? c.

uuur uuur uuur uuur 又 AB ? AD ? 2AB ? AC.

得 b ? (bcos A)cos A ? 2bc ? cosA ………2 分

22

?cos2 A ? 2 cos A …………………………………………………………………4 分 2

1? cos A ? 2 cos A. ?cos A ? 1 . ……………………………………………6 分

2

3

uuur uuur uuur uuur (2)由 AB ? AD ? mAB ? AC. 得 cos A ?

1

;…………………………………8 分

2m ?1

又 cos

A?

b2

? c2 ? a2 2bc

= 2b2 ? a2 2b2

?1?

1 ? a ?2 2 ?? b ??

?(1, 1) 32

,…………………10 分

所以 1 ? (1 , 1) ,?m ? ( 3 , 2) .……………………………………………12 分

2m ?1 3 2

2

29.(本题满分 13 分,第 1 小题 6 分、第 2 小题 7 分)

解:(1)因为 an?1

?

bn 2

? 2 , bn?1

?

an 2

? 2 , bn?1

? an?1

?

?

1 2 (bn

? an )



即数列{

bn

?

an}

是首项为

2,公比为

?

1 2

的等比数列,

所以 bn

?

an

?

2 ? (?

1 )n?1 2

.…………………………………………………………3



an?1

?

bn?1

?

1 2

(an

?

bn )

?

4 , an?1

?

bn?1

?8

?

1 2

(an

?

bn

? 8)

, a1

?

b1

?8

?

0,

所以,当 n ? N* 时, an ? bn ? 8 ? 0 ,即 an ? bn ? 8 .…………………………6 分

(2)由

? ?

an

?

?? bn

? bn ? an

? ?

8 2

?

(?

1 2

)n?1

得 bn

?

4

?

(?

1 )n?1 2

, Sn

?

4n

?

2 [1? 3

(?

1)n] , 2

p(Sn

?

4n)

?

2p 3

[1 ?

(?

1)n] ,1 2

?

2p 3

[1 ?

(?

1 )n ] 2

?

3,

因为1 ? (? 1)n 2

?

0

,所以

1

?

1 (?

1

)n

?

2p 3

?

1

?

3 (?

1

)n

.………………………8



2

2

当 n 为奇数时, 1 ? 1 随 n 的增大而增大,

1? (? 1)n 1? (1)n

2

2

且 1 ? 2 p ? 3 ,1 ? 2 p ? 2 , 3 ? p ? 3 ;………………………10 分

1? (1)n 3 1? (1)n

3

2

2

2

当 n 为偶数时, 1 ? 1 随 n 的增大而减小,

1? (? 1)n 1? (1)n

2

2

且 1 ? 2p ? 3 , 4 ? 2p ?3,2? p ? 9 .

1? (1)n 3 1? (1)n 3 3

2

2

2

综上, 2 ? p ? 3 .…………………………………………………………………13 分

30.(本题满分 8 分)
解:因为 AB 与地面所成的角的大小为 60? , AH 垂直于地面, BM 是地面上的直线, 所以 ?ABH ? 60?,?ABM ? 60? .

∵ AB ? BM ? AM , …………………………………………………………2 分 sin M sin A sin B

∴ AB ? BM ? sin M ? sin A ? sin M ? sin?B ? M ?

AM

sin B

sin B

? sin M ? sin B cos M ? cos B sin M ? 1? cos B sin M ? cos M

sin B

sin B

?

2 cos2

B 2

sin M

? cos M

?

cot

B sin M

? cos M

……………………………4



sin B

2

? cot 30 sin M ? cos M ? 3 sin M ? cos M ? 2sin(M ? 30 ).……………6 分

当 ?M ? ?B ? 60? 时, AB ? BM 达到最大值, AM
此时点 M 在 BH 延长线上, BH ? HM 处.……………………………………8 分

31.(满分 10 分,第 1 小题 4 分、第 2 小题 6 分) 解:(1)方法一(作商比较):
显然 f (x) ? 0 , f (x ? y) ? 0 ,

于是 f (x ? y) ? sin(x ? y) ? x ? xsin x cos y ? x cos xsin y . ………1 分

f (x)

x ? y sin x

xsin x ? y sin x

因为

0 ? cos xsin x

y ? 1?

?0

? ?

?

0

?

x

sin

x

cos

y

?

x

sin

x

.……………………………2




0

?

x

?

tan

x

?

0 ? sin y ? y 0 ? x cosx ? sin

? x??

?

0

?

x cosxsin

y

?

y sin

x .……3



所以 0 ? xsin xcos y ? xcosxsin y ? xsin x ? ysin x .

即 f (x ? y) ? 1 ? f (x ? y) ? f (x) .…………………………………………4 分 f (x)
方法二(作差比较):

因为

0 ? cos xsin x

y ? 1?

?0

? ?

?

x

sin

x(c os y

?1)

?

0

.…………………………………1





0

?

x

?

tan

x

?

0 ? sin y ? y 0 ? xcosx ? sin

? x??

?

x

c

osx

sin

y

?

y

sin

x

?

0

.……2



f (x ? y) ? f (x) ? xsin(x ? y) ? (x ? y)sin x (x ? y)x

? xsin x(cos y ?1) ? (x cos xsin y ? y sin x) ? 0 . (x ? y)x

即 f (x ? y) ? f (x) .………………………………………………………………4 分

(2)结论①正确,因 0 ? x ? ? . ? 0 ? sin x ? x ? tan x ? 1 ? x ? 1 .

2

sin x cosx

? cosx ? f (x) ? 1.………………………………6 分

结论②错误,举反例: 设 g(x) ? 1 ? x2 ? x4 ? x6 ? x8 ? x10 .(利用计算器) 3! 5! 7! 9! 11!

f (0.5) ? g(0.5) ? 3.309313576 ?10?14 ? 0 等………………………………8 分

( f (0.6) ? g(0.6) ? 3.493766163 ?10?13 ? 0 ,

f (1) ? g(1) ? 1.598273549 ?10?10 ? 0 ,

f (0.7) ? g(0.7) ? 0, f (0.8) ? f (0.8) ? 0, f (0.9) ? g(0.9) ? 0 均可).

结论③正确,由 f (x ? y) ? f (x) 知 f (x) ? sin x 在区间 (0, ? ] 上是减函数.

x

2

所以 f (x) ? f (? ) ? f (x) ? 2 ,又 f (x) ? 1,

2

?

所以 f (x) ? sin x 的值域为[ 2 ,1) .

x

?

要使不等式 f (x) ? k 在 (0, ? ] 有解,只要 k ? 2 即可.………………………10 分

2

?

32.(满分 12 分,第 1 小题 5 分、第 2 小题 7 分)
解:(1)法 1:设点 P 的坐标为 ? x, y? ,则由题意可知:

x ? y ?1 x ? y ?1

?

? 2 y ,由于 x ? y ?1 ? 0, x ? y ?1 ? 0, y ? 0 ,…2 分

2

2

所以 x ? y ?1 ? x ? y ?1 ? 2 y ,…………………………………………………4 分

2

2

化简可得: y ? 2 ?1( 2 ? 2 ? x ? 2 ? 2 )……………………………………5 分

法 2 : 设 点 P 到 三 边 AC, AB, BC 的 距 离 分 别 为 d1, d2 , d3 , 其 中 d2 ? y ,

| AB |?

2 | AC |?

2 | BC |? 2 .所以

? ? ? ??

d1 ? d3 ? 2 y

2 2

d1

?

y

?

2 2

d3

?

? 1

y

?

2 ?1………4 分

于是点 P 的轨迹方程为 y ? 2 ? 1( 2 ? 2 ? x ? 2 ? 2 )……………………5 分

(2)由题意知道 0 ? a ? b ?1, 情况(1) b ? a .

直线 l : y ? a(x ?1) ,过定点 A??1, 0? ,此时图像如右下:

由平面几何知识可知,直线

l

过三角形的重心

? ??

0,

1 3

? ??



从而b ? a ? 1 .………………………………………………7 分 3

情况(2)b ? a .此时图像如右下:令 y ? 0 得 x ? ? b ? ?1, a
故直线 l 与两边 BC, AC 分别相交,设其交点分别为 D, E ,

则直线 l 与三角形两边的两个交点坐标 D?x1, y1?、 E?x2, y2 ? 应该

满足方程组:

?? y ? ax ? b
???? y ? x ?1?

?

x

?

y

?1?

?

0

.

因此, x1 、 x2 是一元二次方程:??a ?1? x ? ?b ?1????a ?1? x ? ?b ?1?? ? 0的两个根.

? ? 即 a2 ?1 x2 ? 2a(b ?1)x ? (b ?1)2 ? 0 ,

由韦达定理得:

x1x2

?

?b ?1?2
a2 ?1

而小三角形与原三角形面积比为

? x1x2

,即

x1x2

?

?

1 2

.

所以

?b ?1?2
a2 ?1

?

?

1 2

?b


? 1?2

?

1? a2 2

亦即 b ,

?1?

1? a2 . 2

再代入条件b ? a ,解得 0 ? a ? 1 , 3

从而得到

b

? ? ???1 ?

2 2

,

1 3

? ???

.……………………………………………………………11



综合上述(1)(2)得: b

? ? ???1

?

2 2

,

1? 3??

.……………………………………………12



解法 2:由题意知道 0 ? a ? b ?1

情况(1) b ? a .

直线 l 的方程为: y ? a(x ?1) ,过定点 A??1,0? ,

由平面几何知识可知,直线

l

应该过三角形的重心

? ??

0,

1 3

? ??



从而 b ? a ? 1 .……………………………………………………………………7 分 3
情况(2)b ? a .

设直线 l : y ? ax ? b 分别与边 BC : y ? ?x ?1, x ??0,1?,

边 AC : y ? x ?1, x ???1,0?的交点分别为点 D, E ,

通过解方程组可得: D(1? b , a ? b) , E(1? b , a ? b) ,又点 C(0,1) ,

a ?1 a ?1

a ?1 a ?1

0 11

∴ S?CDE

?

1 2

1?b a ?1

a?b a ?1

1 = 1 ,同样可以推出 ?1? b?2 ? 1? a2 .

2

2

1?b a ?b 1 a ?1 a ?1

亦即b ? 1 ? 1 ? a2 ,再代入条件 b ? a ,解得 0 ? a ? 1 ,

2

3

从而得到

b

?

? ?1

?

?

2 2

,

1 3

?
? ?

.………………………………………………………11



综合上述(1)(2)得:

b

? ??1

?

?

2 2

,

1? 3??

.………………………………………12



解法 3:
情况(1) b ? a .
直线 l 的方程为: y ? a(x ?1) ,过定点 A??1,0? ,

由平面几何知识可知,直线

l

过三角形的重心

? ??

0,

1 3

? ??



从而 b ? a ? 1 .………………………………………………………………………7 分 3

情况(2) b ? a .

令 y ? 0,得 x ? ? b ? ?1,故直线 l 与两边 BC, AC 分别相交, a

设其交点分别为 D, E ,当 a 不断减小时,为保持小三角形面积总为原来的一半,则 b

也不断减小.

当 DE / / AB 时, ?CDE 与 ?CBA 相似,由面积之比等于相似比的平方.

可知 1 ? b ? 2 ,所以 b ? 1? 2 ,

12

2

? 综上可知 b ? ???1?

2 2

,

1 3

?
? ?

.…………………………………………………………12




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