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第一节 数列的概念与简单表示方法


第六章 数列 第一节 数列的概念与简单表示方法
【考纲知识梳理】 考纲知识梳理】
一、数列的概念与简单表示法 数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列 的一列数称为数列,数列中的每一 1、数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列 个数叫做这个数列的项。 2、数列的分类 分类原则 按项数分类 无穷数列 递增数列 按项与项间的大小 递减数列 关系分类 常数列 有界数列 按其他标准分类 摆动数列 项数无限 其中 类型 有穷数列 满足条件 项数有限

n∈ N?
存在正数 M,使 an ≤ M

an 的符号正负相间,如
1,-1,1,-1,……

3、数列的表示法: 数列的表示法: 数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法 注:数列可以看作一个函数,其定义域是正整数集 N (或它的有限 子集{1,2,3,……,n}),可表示为 an = f ( n) 。 4、数列的通项公式 如果数列{ an }的第 n 项 an 与序号 n 之间的关系可以用一个公式
1
?

an = f (n) 来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式
注:数列的通项公式不唯一,如数列-1,1,-1,1,……通项公式可 以为 an = ( ?1) 或 an = ?
n

? ?1 ?1

(n为奇数) (n为偶数)

,有的数列没有通项公式。

5、数列与函数的内在联系 从映射、函数的观点看,数列可以看作是一个定义域为正整数集 (或它的有限子集 { ,2,3,4, ,n} )的函数,即当自变量从小到大依次取 1 K 值时对应的一列函数值,而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 6、递推公式 如果已知数列 {a n } 的第 1 项(或前几项) ,且从第二项(或某一项) 开始的任一项 a n 与它的前一项 a n ?1(或前几项)间的关系可以用一个公式 来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 考点一: ( 考点一: 一)由数列的前几项求数列的通项公式 (1)据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住以 下几方面的特征: ①分式中分子、分母的特征; ②相邻项的变化特征; ③拆项后的特征; ④各项符号特征等,并对此进行归纳、联想。 (2)观察、分析问题的特点是最重要的,观察要有目的,观察出项与 项数之间的关系、规律,利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇 偶数列等)转换而使问题得到解决。 (3) 根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法, 它

2

蕴含着从特殊到一般的思想,由不完全归纳提出的结果是不可靠的,要注 意代值检验,对于正负符号变化,可用 (?1) n 或 ( ?1) n+1 来调整 〖例〗写出下列各数列的一个通项公式:

1 3 7 15 31 (1)4, 6,8,10,L (2) , , , , ,L 2 4 8 16 32 2 10 17 26 37 (3) , ?1, , ? , , ? ,L 3 7 9 11 13 (4)3,33,333,3333,L
考点二: 考点二:由递推公式求数列通项公式 和递推关系求通项公式,可观察其特点,一般常利用化归法、 1、由 a1 和递推关系求通项公式,可观察其特点,一般常利用化归法、 累加法、累乘法等。 累加法、累乘法等。 构造等比数列, 已知首项 a1 , ( 1) 构造等比数列, 递推关系为 an +1 = qan + b( n ∈ N ) , 求数列 {an } 的通项公式 例如:1 已知数列 {a n } 中, a1 = 1 , a n +1 = 3a n + 2 ,求 a n 例如 (2)已知 a1 且 an ? an ?1 = f ( n)( n ≥ 2), 可以用累加法 例如:1.已知数列 {a n } 中, a1 = 1 , a n +1 = a n + 3n ,求 a n 例如
?

2.已知数列 {a n } 中, a1 = 3 , a n +1 = a n + 2 ,求 a n
n

3

(3)已知 a1 且

an = f (n)(n ≥ 2), 可以用累乘法 an ?1

(4)取到数、对数 取到数、 例如:1.已知数列 {a n } 中, a1 = 4 , a n +1 = 例如

an ,求 a n 2a n + 1

, 2. 已知数列 {a n } 中,a1 = 3 且 a n +1 = a n ( n 是正整数) 求 a n
2

2、由 an 与 Sn 的关系求 an 由 Sn 求 an 时,要分 n=1 和 n≥2 两种情况讨论,然后验证两种情况可 否用统一的解析式表示,若不能,则用分段函数的形式表示为

(n = 1) ? S1 an = ? 。 ? Sn ? Sn ?1 (n ≥ 2)
4

重要提示:题目中出现 的关系,则预示着使用该关系式求解。 重要提示:题目中出现 an 与 Sn 的关系,则预示着使用该关系式求解。 〖例〗(1)在数列{ an }中,a1 = 1 ,a n +1 = (1 + 求数列{bn}的通项公式;

1 n +1 a )a n + n 设 bn = n , n n 2

(2)已知数列{an}中, a1 = 1 , a n +1 = ( n + 1) a n ,求数列{an}的通项 公式.

考点三:数列的单调性及其应用 考点三: 〖 例 〗 (12 分 ) 已 知 数 列 的 前 n 项 和 为 Sn , 并 且 满 足

a1 = 2, nan +1 = S n + n(n + 1).
(1)求{ an }的通项公式;

5

(2)令 Tn = ( ) S n ,问是否存在正整数 m,对一切正整数 n,总有
n

4 5

Tn ≤ Tm ,若存在,求 m 的值;若不存在,说明理由
(2)

6

注:(1)数列的单调性是高考常考内容之一,有关数列最大、最小项、 数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决,判断单调性时常用①作差 法,②作商法,③结合函数图象等方法。 (2)求最大项 an ,则 an 满足 ?

?an ≥ an +1 ;若求最小项 an ,则 an 满 ?an ≥ an ?1

足?

?an ≤ an +1 。 ?an ≤ an ?1

跟踪训练
1.下列说法正确的是 . A.数列 2,3,4 与数列 4,3,2 是同一数列 . B.数列 1,2,3 与数列 1,2,3,…是同一数列 . , 1 C.1,4,2, , 5不是数列 . ,3 不是数列 D.数列{2n-3}与-1,1,3,5,…,不一定是同一数列 .数列 - 与 , ≤ ?2a ,0≤a <2 =? 1 , ?2a -1,2≤a <1 1
n n n n

(

)

2.数列 2.数列{an}满足 an+1 数列 满足

3 ,若 a1=5,则

a2010= 1 A. 5 3 C. 5 2 B. 5 4 D. 5

(

)

3 1 2 4 3 1 解析: 解析:由题可得 a1=5,a2=5,a3=5,a4=5,a5=5,a6=5,…,所以数

列{an}是一个周期为 4 的循环数列,又因为 2010=502×4+2,所以 a2010 是一个周期为 的循环数列, = × + ,

1 =a2=5
7

4.数列{an}的前 n 项和 sn=n2+1,则 an=________. .数列 的前 ,

2, L 5. (2007 北京)若数列 {an } 的前 n 项和 Sn = n 2 ? 10n(n = 1, 3, ) ,则
此数列的通项公式为 项. 2n ? 11
n 6. (2009 上海九校联考) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , S n = 2 ? 1 , 若

;数列 {nan } 中数值最小的项是第

则 a8 = 答案 128

.

7.

n 年高考浙江 浙江卷文科 17) (2011 年高考浙江卷文科 17)若数列 ? n( n + 4)( ) ? 中的最大项是第

? ?

2 ? 3 ?

k 项,则 k =_______。
【答案】4

8.

10 已知数列{an}的通项 an=(n+1)( )n(n∈N*),试问该数列{an}有没有 已知数列 的通项 + ∈ ,试问该数列 有没有 11

最大项?若有,求出最大项的项数;若没有,说明理由. 最大项?若有,求出最大项的项数;若没有,说明理由.

8


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