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推荐学习K12安徽省青阳县第一中学2018-2019学年高二数学10月月考试题

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2018—2019 学年第一学期高二 10 月份月考 数学试题

一、选择题(本大题共 12 小题,共 60.0 分) 1.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何

体的体积是 ,则它的表面积是( )

A. 17π

B. 18π

C. 20π

D. 28π

2.已知 m,n 表示两条不同直线,α 表示平面,下列说法正确的是( )

A. 若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n

B. 若 m⊥α ,n? α ,则 m⊥n

C. 若 m⊥α ,m⊥n,则 n∥α

D. 若 m∥α ,m⊥n,则 n⊥α

3.如图,在下列四个正方体中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,Q 为所在棱的中点,则在

这四个正方体中,直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( )

A.

B.

C.

D.

4.已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线 AB1 与 BC1 所成角 的余弦值为( )

A.

B.

C.

D.

5.已知 α ,β 是相异两平面,m,n 是相异两直线,则下列命题中不正确的是(



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A. 若 m∥n,m⊥α ,则 n⊥α

B. 若 m⊥α ,m⊥β ,则 α ∥β

C. 若 m∥α ,α ∩β =n,则 m∥n

D. 若 m⊥α ,m? β ,则 α ⊥β

6.体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球面的表面积为

A.

B.

C.

D.

7.如图是一个正方体的平面展开图,则在正方体中直线 AB 与 CD 的位置 关系为( ) A. 相交 B. 平行 C. 异面而且垂直 D. 异面但不垂直 8.正四面体 ABCD 中,M 是棱 AD 的中点,O 是点 A 在底面 BCD 内的射影,则异面直线 BM 与 AO 所成角的余弦值为( )

A.

B.

C.

D.

9.四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为正方形,PA⊥底面 ABCD,AB=2,PA= ,若该四棱锥的所有项

点都在同一球面上,则该球的表面积为( )

A.

B.

C. 65π

D.

10.如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )

A. 20π

B. 24π

C. 28π

D. 32π

11.已知 m,n 为两条不同的直线,α ,β 为两个不同的平面,则下列命题中正确的有( )

(1)m? α ,n? α ,m∥β ,n∥β ? α ∥β (2)n∥m,n⊥α ? m⊥α

(3)α ∥β ,m? α ,n? β ? m∥n

(4)m⊥α ,m⊥n? n∥α

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A. 0 个

B. 1 个

C. 2 个

12.某几何体的三视图如图,则该几何体的体积为( )

D. 3 个

A. 1

B. 2

C. 3

D.

二、填空题(本大题共 4 小题,共 20.0 分) 13.圆锥的侧面展开图是半径为 3,圆心角为 的扇形,则这个圆锥的高是______. 14.α ,β 是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: ①如果 α ∥β ,m? α ,那么 m∥β ; ②若 m⊥α ,m⊥n,则 n∥α ; ③如果 m⊥α ,n∥α ,那么 m⊥n; ④如果 m⊥n,m⊥α ,n∥β ,那么 α ⊥β . 其中正确的命题有______; (填写所有正确命题的编号) 15.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若四边形 AA1C1C 是边长为 4 的正方形,且 AB=3,BC=5,M 是 AA1 的中点,则三棱锥 A1-MBC1 的体积为______ .
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16.已知正方体

的棱长为 1,除面 外,该正方体其余各面的中心分别

为点 E,F,G,H,M(如图),则四棱锥

的体积为_________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70.0 分) 17. (本小题满分 10 分)
如图,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是边长 2 的正方形,E,F 分别为线段 DD1, BD 的中点. (1)求证:EF∥平面 ABC1D1; (2)AA1=2 ,求异面直线 EF 与 BC 所成的角的大小.
18. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P-ABC 中,D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点,已知 PA⊥AC,PA=6,
BC=8,DF=5.求证: (1)直线 PA∥平面 DEF; (2)平面 BDE⊥平面 ABC.
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推荐学习 K12 资料 19. (本小题满分 12 分)
如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,点 M,N 分别是 AB,A1B1 的中点. (1)求证:BN∥平面 A1MC; (2)若 A1M⊥AB1,求证:AB1⊥A1C
20.(本小题满分 12 分) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 M,N 分别为线段 A1B,B1C 的中点. (1)求证:MN∥平面 AA1C1C; (2)若∠ABC=90°,AB=BC=2,AA1=3,求点 B1 到面 A1BC 的 距离.
21.(本小题满分 12 分) 推荐学习 K12 资料

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如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D 为线段 AC 的中点, E 为线段 PC 上一点. (1)求证:PA⊥BD; (2)求证:平面 BDE⊥平面 PAC; (3)当 PA∥平面 BDE 时,求三棱锥 E-BCD 的体积.

22.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AD⊥平面 PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.
(Ⅰ)求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值; (Ⅱ)求证:PD⊥平面 PBC; (Ⅲ)求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值.

【答案】

1. A

2. B

8. B

9. B

高二月考试卷

3. A

4. C

5. C

6. A

10. C 11. B 12. A

13. 2

14. ①③ 15. 4 16.

17. 证明:(1)连结 BD1, 在△DD1B 中,E、F 分别是 D1D、DB 的中点, ∴EF 是△DD1B 的中位线, ∴EF∥D1B,

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7. D

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∵D1B? 平面 ABC1D1,EF?平面 ABC1D1, ∴EF∥平面 ABC1D1. 解:(2)∵AA1=2 ,AB=2,EF∥BD1, ∴∠D1BC 是异面直线 EF 与 BC 所成的角(或所成角的补角), 在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,BC⊥平面 CDD1C1,CD1?平面 CDD1C1, ∴BC⊥CD1. 在 Rt△D1C1C 中,BC=2,CD1=2 ,D1C⊥BC,

∴tan∠D1BC=



∴∠D1BC=60°, ∴异面直线 EF 与 BC 所成的角的大小为 60°. 18. 证明:(1)∵D、E 为 PC、AC 的中点,∴DE∥PA, 又∵PA?平面 DEF,DE? 平面 DEF, ∴PA∥平面 DEF;

(2)∵D、E 为 PC、AC 的中点,∴DE= PA=3;

又∵E、F 为 AC、AB 的中点,∴EF= BC=4;
∴DE2+EF2=DF2, ∴∠DEF=90°, ∴DE⊥EF; ∵DE∥PA,PA⊥AC,∴DE⊥AC; ∵AC∩EF=E,∴DE⊥平面 ABC; ∵DE? 平面 BDE,∴平面 BDE⊥平面 ABC. 19. 证明:(1)因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,所以 AB∥A1B1,且 AB=A1B1, 又点 M,N 分别是 AB、A1B1 的中点,所以 MB=A1N,且 MB∥A1N. 所以四边形 A1NBM 是平行四边形,从而 A1M∥BN. 又 BN?平面 A1MC,A1M? 平面 A1MC,所以 BN∥平面 A1MC; (2)因为 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,所以 AA1⊥底面 ABC,而 AA1? 侧面 ABB1A1, 所以侧面 ABB1A1⊥底面 ABC. 又 CA=CB,且 M 是 AB 的中点,所以 CM⊥AB. 推荐学习 K12 资料

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则由侧面 ABB1A1⊥底面 ABC,侧面 ABB1A1∩底面 ABC=AB, CM⊥AB,且 CM? 底面 ABC,得 CM⊥侧面 ABB1A1. 又 AB1? 侧面 ABB1A1,所以 AB1⊥CM. 又 AB1⊥A1M,A1M、MC 平面 A1MC,且 A1M∩MC=M, 所以 AB1⊥平面 A1MC.

又 A1C? 平面 A1MC,所以 AB⊥A1C. 20. (1)证明:连接 BC1, ∵四边形 BCC1B1 是平行四边形,N 是 B1C 的中点, ∴N 是 BC1 的中点,又 M 是 A1B 的中点, ∴MN∥A1C1, 又 A1C1? 平面 AA1C1C,MN?平面 AA1C1C, ∴MN∥平面 AA1C1C. (2)解:∵AB⊥BC,BB1⊥BC,AB∩BB1=B,∴BC⊥平面 ABB1A1,

∴V

=S

?BC=

=2,

又 A1B=

= ,∴S

=

=.

设 B1 到平面 A1BC 的距离的距离为 h,则 V

=

?h= ,

∵V

=V

,∴2= ,∴h= .

∴点 B1 到面 A1BC 的距离为 .
21. 解:(1)证明:由 PA⊥AB,PA⊥BC, AB? 平面 ABC,BC? 平面 ABC,且 AB∩BC=B, 可得 PA⊥平面 ABC, 由 BD? 平面 ABC, 可得 PA⊥BD; (2)证明:由 AB=BC,D 为线段 AC 的中点, 可得 BD⊥AC,

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由 PA⊥平面 ABC,PA? 平面 PAC, 可得平面 PAC⊥平面 ABC, 又平面 PAC∩平面 ABC=AC, BD? 平面 ABC,且 BD⊥AC, 即有 BD⊥平面 PAC, BD? 平面 BDE, 可得平面 BDE⊥平面 PAC; (3)PA∥平面 BDE,PA? 平面 PAC, 且平面 PAC∩平面 BDE=DE, 可得 PA∥DE, 又 D 为 AC 的中点,

可得 E 为 PC 的中点,且 DE= PA=1, 由 PA⊥平面 ABC, 可得 DE⊥平面 ABC,

可得 S△BDC= S△ABC= × ×2×2=1,

则三棱锥 E-BCD 的体积为 DE?S△BDC= ×1×1= .

22. 解:(Ⅰ)如图,由已知 AD∥BC, 故∠DAP 或其补角即为异面直线 AP 与 BC 所成的角. 因为 AD⊥平面 PDC,所以 AD⊥PD.

在 Rt△PDA 中,由已知,得







所以,异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值为 .
(Ⅱ)证明:因为 AD⊥平面 PDC,直线 PD? 平面 PDC, 所以 AD⊥PD. 又因为 BC∥AD,所以 PD⊥BC, 又 PD⊥PB,所以 PD⊥平面 PBC. (Ⅲ)解:过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 F,连结 PF, 则 DF 与平面 PBC 所成的角等于 AB 与平面 PBC 所成的角. 推荐学习 K12 资料

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因为 PD⊥平面 PBC,故 PF 为 DF 在平面 PBC 上的射影, 所以∠DFP 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角. 由于 AD∥BC,DF∥AB,故 BF=AD=1, 由已知,得 CF=BC-BF=2.又因为 AD⊥DC,故 BC⊥DC,

在 Rt△DCF 中,可得



所以,直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 .

【解析】 1. 解:由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉其中 后的几何体, 如图:
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可得:

= ,R=2.

它的表面积是: ×4π ?22+

=17π .

故选 A. 判断三视图复原的几何体的形状,利用体积求出几何体的半径,然后求解几何体的表面积. 本题考查三视图求解几何体的体积与表面积,考查计算能力以及空间想象能力. 2. 【分析】 本题考查空间直线与平面的位置关系,考查直线与平面的平行、垂直的判断与性质,记熟这 些定理是迅速解题的关键,注意观察空间的直线与平面的模型. A.运用线面平行的性质,结合线线的位置关系,即可判断;B.运用线面垂直的性质,即可 判断;C.运用线面垂直的性质,结合线线垂直和线面平行的位置即可判断;D.运用线面平 行的性质和线面垂直的判定,即可判断. 【解答】 解:A.若 m∥α ,n∥α ,则 m,n 相交或平行或异面,故 A 错; B.若 m⊥α ,n? α ,则 m⊥n,故 B 正确; C.若 m⊥α ,m⊥n,则 n∥α 或 n? α ,故 C 错; D.若 m∥α ,m⊥n,则 n∥α 或 n? α 或 n 与 α 相交,故 D 错. 故选 B. 3. 【分析】 本题考查空间中线面平行的判定定理,利用三角形中位线定理是解决本题的关键,注意解题 方法的积累,属于中档题. 利用线面平行判定定理可知 B、C、D 均不满足题意,从而可得答案. 【解答】 解:对于选项 B,由于 AB∥MQ,结合线面平行判定定理可知 B 不满足题意; 对于选项 C,由于 AB∥MQ,结合线面平行判定定理可知 C 不满足题意; 对于选项 D,由于 AB∥NQ,结合线面平行判定定理可知 D 不满足题意; 所以选项 A 满足题意, 故选 A.

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4. 解:【解法一】如图所示,设 M、N、P 分别为 AB, BB1 和 B1C1 的中点, 则 AB1、BC1 夹角为 MN 和 NP 夹角或其补角 (因异面直线所成角为(0, ]),

可知 MN= AB1= ,
NP= BC1= ; 作 BC 中点 Q,则△PQM 为直角三角形; ∵PQ=1,MQ= AC, △ABC 中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB?BC?cos∠ABC =4+1-2×2×1×(- ) =7, ∴AC= , ∴MQ= ;

在△MQP 中,MP=

=;

在△PMN 中,由余弦定理得

cos∠MNP=

=

=- ;

又异面直线所成角的范围是(0, ],

∴AB1 与 BC1 所成角的余弦值为 . 【解法二】如图所示,

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补成四棱柱 ABCD-A1B1C1D1,求∠BC1D 即可;

BC1= ,BD=

=,

C1D= , ∴ +BD2= ,

∴∠DBC1=90°,

∴cos∠BC1D= = .
故选:C. 【解法一】设 M、N、P 分别为 AB,BB1 和 B1C1 的中点,得出 AB1、BC1 夹角为 MN 和 NP 夹角或其 补角;根据中位线定理,结合余弦定理求出 AC、MQ,MP 和∠MNP 的余弦值即可. 【解法二】通过补形的办法,把原来的直三棱柱变成直四棱柱,解法更简洁. 本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题,也考查了空间中的平行关系应用问题, 是中档题. 5. 【解答】 在 A 中:若 m∥n,m⊥α ,则由直线与平面垂直的判定定理得 n⊥α ,故 A 正确; 在 B 中:若 m⊥α ,m⊥β ,则由平面与平面平行的判定定理得 α ∥β ,故 B 正确; 在 C 中:若 m∥α ,α ∩β =n,则 m 与 n 平行或异面,故 C 错误; 在 D 中:若 m⊥α ,m∩β ,则由平面与平面垂直的判定定理得 α ⊥β ,故 D 正确. 故选:C. 【分析】 在 A 中,由直线与平面垂直的判定定理得 n⊥α ; 在 B 中,由平面与平面平行的判定定理得 α ∥β ; 在 C 中,m 与 n 平行或异面; 在 D 中,由平面与平面垂直的判定定理得 α ⊥β . 本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要认真审题,注意空间中线线、线面、面面间 的位置关系的合理运用. 6. 【分析】 先通过正方体的体积,求出正方体的棱长,然后求出球的半径,即可求出球的表面积. 本题考查学生的空间想象能力,体积与面积的计算能力,是基础题. 【解答】 推荐学习 K12 资料

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解:正方体体积为 8,可知其边长为 2,

正方体的体对角线为

=2 ,

即为球的直径,所以半径为 ,

所以球的表面积为

=12π .

故选:A.

7. 【分析】

考查异面直线的概念,异面直线所成角的概念及求法,以及由正方体的平面展开图可以画出

它对应的直观图.

根据该正方体的平面展开图画出对应的直观图即可判断 AB,CD 的位置关系.

【解答】

解:由该正方体的平面展开图画出它的直观图为:

可以看出 AB 与 CD 异面;

如图,设该正方体一顶点为 E,连接 CE,DE,则 AB∥CE;

∴∠DCE 为异面直线 AB,CD 的夹角,并且该角为 60°;

∴AB,CD 异面但不垂直.

故选:D.

8. 解:取 BC 中点 E,DC 中点 F,连结 DE、BF,则由

题意得 DE∩BF=O,

取 OD 中点 N,连结 MN,则 MN∥AO,

∴∠BMN 是异面直线 BM 与 AO 所成角(或所成角的补

角),

设正四面体 ABCD 的棱长为 2,由 BM=DE=



OD=



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∴AO= = ,∴MN=



∵O 是点 A 在底面 BCD 内的射影,MN∥AO,∴MN⊥平面 BCD,

∴cos∠BMN= = = ,

∴异面直线 BM 与 AO 所成角的余弦值为 . 故选:B. 取 BC 中点 E,DC 中点 F,连结 DE、BF,则由题意得 DE∩BF=O,取 OD 中点 N,连结 MN,则 MN∥AO, 从而∠BMN 是异面直线 BM 与 AO 所成角(或所成角的补角),由此能求出异面直线 BM 与 AO 所 成角的余弦值. 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查正四面体、线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是 基础题.

9.

解:四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为正方形,PA⊥底面 ABCD,AB=2,PA= ,

连结 AC、BD,交于点 E,则 E 是 AC 中点,取 PC 中点 O,连接 OE,

则 OE∥PA,∴OE⊥平面 ABCD,∴O 到该四棱锥的所有顶点的距离相等,都为 ,

∴O 是该四棱锥的外接的球心,

该球半径 R= =

=

=,

∴该球的表面积为 S=4

=.

故选:B. 连结 AC、BD,交于点 E,则 E 是 AC 中点,取 PC 中点 O,连接 OE,推导出 O 是该四棱锥的外

接的球心,球半径 R= ,由此能求出该球的表面积.

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本题考查四面体的外接球的表面积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能

力的培养.

10. 【分析】

本题考查由三视图求表面积,本题的图形结构比较简单,易错点可能是两个几何体重叠的部

分忘记去掉,求表面积就有这样的弊端.空间几何体是一个组合体,上面是一个圆锥,圆锥

的底面直径是 4,圆锥的高是 2 ,在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的,写出表面

积,下面是一个圆柱,圆柱的底面直径是 4,圆柱的高是 4,做出圆柱的表面积,注意不包括

重合的平面.

【解答】

解:由三视图知,空间几何体是一个组合体,

上面是一个圆锥,圆锥的底面直径是 4,圆锥的高是 2 ,

∴在轴截面中圆锥的母线长是

=4,

∴圆锥的侧面积是 π ×2×4=8π ,

下面是一个圆柱,圆柱的底面直径是 4,圆柱的高是 4,

∴圆柱表现出来的表面积是 π ×22+2π ×2×4=20π ,

∴空间组合体的表面积是 28π ,

故选 C.

11. 【分析】

由空间中的线面关系逐一核对四个命题得答案.

本题考查命题的真假判断与应用,考查空间想象能力和思维能力,是中档题.

【解答】

解:对于(1),m? α ,n? α ,m∥β ,n∥β ? α ∥β ,错误,当 m∥n 时,α 与 β 可能相

交;

对于(2),n∥m,n⊥α ? m⊥α ,正确,原因是:n⊥α ,则 n 垂直 α 内的两条相交直线,

又 m∥n,则 m 也垂直 α 内的这两条相交直线,则 m⊥α ;

对于(3),α ∥β ,m? α ,n? β ? m∥n,错误,m 与 n 可能异面;

对于(4),m⊥α ,m⊥n? n∥α ,错误,也可能是 n? α .

∴正确命题的个数是 1 个.

故选 B.

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12. 解:由几何体的三视图知,该几何体是四棱锥, 且底面是直角梯形,且上、下底为 1 和 2,高为 2;四棱锥的高是 1,

所以该几何体的体积 V=

=1,

故选:A. 由几何体的三视图知该几何体是四棱锥,由三视图中数据求出四棱锥底面中、高对应的数据, 代入椎体的体积公式求解即可. 本题考查由三视图求几何体的体积,关键是对几何体正确还原,根据三视图的长度求出几何 体的几何元素的长度,再代入对应的公式进行求解,考查了空间想象能力. 13. 解:设此圆锥的底面半径为 r, 根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得,

2π r= ,

r=1;

圆锥的高为:

=2 .

故答案为:2 . 利用扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系,列方程求解得到圆锥的底面半径,然后利 用勾股定理确定圆锥的高即可. 主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系,圆锥的侧面展开图是一个扇形,此扇形 的弧长等于圆锥底面周长,扇形的半径等于圆锥的母线长. 14. 解:①由面面平行的性质定理可得:①为真命题; ②可能 n? α ,因此是假命题; ③如果 m⊥α ,n∥α ,那么 m⊥n,是真命题; ④如果 m⊥n,m⊥α ,则 n∥α 或 n? α ,又 n∥β ,那么 α 与 β 相交或平行,因此是假命 题. 综上可得:只有①③是真命题. 故答案为:①③. ①由面面平行的性质定理判定真假; ②可能 n? α ,即可判断出真假; ③利用线面垂直的性质定理即可判断出真假; ④由已知可得 α 与 β 相交或平行,即可判断出真假. 推荐学习 K12 资料

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本题考查了空间线面面面位置关系的判定及其性质定理,考查了推理能力与计算能力,属于

中档题. 15. 解:∵在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若四边形 AA1C1C 是边长为 4 的正方形,且 AB=3,BC=5, ∴A1C1⊥AA1,AC2+AB2=BC2,∴A1C1⊥A1B1, ∵AA1∩A1B1=A1,∴A1C1⊥平面 A1MB,

∵M 是 AA1 的中点,∴

=

=

=3,

∴三棱锥 A1-MBC1 的体积:

=

=

=

=4.

故答案为:4.

推导出 A1C1⊥平面 A1MB,从而三棱锥 A1-MBC1 的体积

=

,由此能求出结果.

本题考查几何体的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识,考查

推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力,考查数形结合思想、化归与转化思想,是中

档题. 16. 解:正方体的棱长为 1,M-EFGH 的底面是正方形的边长为:



四棱锥是正四棱锥,棱锥的高为 ,

四棱锥 M-EFGH 的体积:

=.

故答案为: .
求出四棱锥中的底面的面积,求出棱锥的高,然后利用体积公式求解即可. 本题考查几何体的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力. 17. (1)连结 BD1,推导出 EF∥D1B,由此能证明 EF∥平面 ABC1D1. (2)由 EF∥BD1,知∠D1BC 是异面直线 EF 与 BC 所成的角(或所成角的补角),由此能求出 异面直线 EF 与 BC 所成的角的大小. 本题考查线面平行的证明,考查异面直线所成角的求法,考查空间中线线、线面、面面的位 置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合合思想、化归与转化 思想、函数与方程思想,是基础题.

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18. (1)由 D、E 为 PC、AC 的中点,得出 DE∥PA,从而得出 PA∥平面 DEF;

(2)要证平面 BDE⊥平面 ABC,只需证 DE⊥平面 ABC,即证 DE⊥EF,且 DE⊥AC 即可.

本题考查了空间中的平行与垂直问题,解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直

与平行的互相转化关系,是基础题目.

19. (1)欲证明 BN∥平面 A1MC,只需推知 A1M∥BN;

(2)根据直三棱柱的特征和线面垂直的判定与性质来证明线线垂直.

本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质,直线与平面平行的判定,其中熟练掌握空间直

线与平面间垂直、平行的判定、性质、定义是解答本题的关键.

20. (1)根据中位线定理可得 MN∥A1C1,故而 MN∥平面 AA1C1C;

(2)根据 V

=V

列方程求出点 B1 到面 A1BC 的距离.

本题考查了线面平行的判定,空间距离的计算,属于中档题.

21. (1)运用线面垂直的判定定理可得 PA⊥平面 ABC,再由性质定理即可得证;

(2)要证平面 BDE⊥平面 PAC,可证 BD⊥平面 PAC,由(1)运用面面垂直的判定定理可得平

面 PAC⊥平面 ABC,再由等腰三角形的性质可得 BD⊥AC,运用面面垂直的性质定理,即可得证;

(3)由线面平行的性质定理可得 PA∥DE,运用中位线定理,可得 DE 的长,以及 DE⊥平面 ABC,

求得三角形 BCD 的面积,运用三棱锥的体积公式计算即可得到所求值.

本题考查空间的线线、线面和面面的位置关系的判断,主要是平行和垂直的关系,注意运用

线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理和性质定理,面面垂直的判定定理和性质定理,

同时考查三棱锥的体积的求法,考查空间想象能力和推理能力,属于中档题.

22. (Ⅰ)由已知 AD∥BC,从而∠DAP 或其补角即为异面直线 AP 与 BC 所成的角,由此能求

出异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值.

(Ⅱ)由 AD⊥平面 PDC,得 AD⊥PD,由 BC∥AD,得 PD⊥BC,再由 PD⊥PB,得到 PD⊥平面 PBC.

(Ⅲ)过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 F,连结 PF,则 DF 与平面 PBC 所成的角等于 AB 与平

面 PBC 所成的角,由 PD⊥平面 PBC,得到∠DFP 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角,由此能求出

直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值.

本题主要考查两条异面直线所成的角、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识.考

查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力,是中档题.

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