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高二数学,人教A版,选修4-5, 三个正数的算术,—几何平均不等式,


第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式 1.1.3 三个正数的算术— 几何平均不等式 [学习目标] 1.会用三项的平均值不等式证明一些简 单问题(难点). 2.能够利用三项的平均值不等式求一些 特定函数的最值,从而学会解决简单的应用问题(重点). [知识提炼·梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式 a1+a2+a3 (1)如果 a1,a2,a3∈R ,则 叫做这 3 个正 3 + 3 数的算术平均数, a1a2a3叫做这三个正数的几何平均数. a1+a2+a3 (2) 定 理 3 : 三个 正数 基本 不等 式: ≥ 3 3 a1a2a3.当且仅当 a1=a2=a3 时,等号成立. 语言表述:三个正数的算术平均数不小于它们的几 何平均数. 2.n 个正数的算术—几何平均不等式 (1)如果 a1,a2,?,an∈R+,n>1 且 n∈N*,则 a1+a2+?+an n 叫做这 n 个正数的算术平均数, a1a2?an n 叫做这 n 个正数的几何平均数. a1+a2+?+an n * (2)基本不等式: ≥ a a ? a ( n ∈ N , 1 2 n n ai∈R+,1≤i≤n).当且仅当 a1=a2=?=an 时等号成立. 语言表述: n 个正数的算术平均数不小于它们的几何 平均数. 温馨提示 两个定理的使用前提都是“正数”. [思考尝试· 夯基] 1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”). a+b+c 3 (1)如果 a,b,c∈R,那么 ≥ abc.( 3 ) 3 a + b + c + (2)如果 a,b,c∈R ,那么 ≥ abc,当且仅 3 当 a=b 或 b=c 时,等号成立.( ) (3)如果 a,b,c∈R ,那么 仅当 a=b=c 时,等号成立.( + ?a+b+c?3 ? abc≤? ,当且 ? ? 3 ? ? ) (4)如果 a1,a2,a3,?,an 都是实数.那么 a1+a2 n +?+an≥n· a1a2?an.( ) 解析:(1)根据定理 3,只有在 a,b,c 都是正数才成 立.其他情况不一定成立,如 a=1,b=-1,c=-3, 3 3 a+b+c =-1, abc= 3,故(1)不正确. 3 (2)由定理 3, 知等号成立的条件是 a=b=c.故(2)不正 确. (3)由定理 3 知(3)正确. (4)必须 a1,a2,?,an 都是正数,命题才成立. 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× 2.函数 y=x A.4 2 ? 1? (1-5x)?0≤x≤5?的最大值是( ? ? ) 5 D. 2 2 B. 15 4 C. 675 1 解析:由 0≤x≤ 得 1-5x≥0, 5 ?2 ? 5 y=x (1-5x)= ·x·x·?5-2x?≤ 2 ? ? 2 2 ? ? 5?x+x+ -2x?3 4 5 = , ? ? 2 675 3 ? ? 即可得出 C 正确. 答案:C 9 3.若 x>0,则 4x+ 2的最小值是( x 3 ) A.9 C.13 B.3 36 D.不存在 9 9 3 解析:因为 x>0,所以 4x+ 2=2x+2x+ 2≥3 36, x x 3 9 36 当且仅当 2x= 2,即 x= 时,等号成立. x 2 答案:B a1+a2+a3 4. 若已知 a1 = 3 , a2 = 9 , a3 = 27 ,则 = 3 ________, a1a2a3=________

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