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一道课本习题的变式


一道课本习题的演变与感悟
1 教学目标: ? 进一步巩固弧长公式,熟练运用公式解决问题 ? 在经历探索与求解的过程中,进一步体会和理解研究几何图形的各种方法. 提高学生作图能力 ? 初步渗透数形结合和转化的数学思想,并逐步学会用数学的眼光和运动的观 点去认识世界、解决问题.

2.习题呈现 新苏科版九年级上册

课本 94 页

如图, ?ABC 是边长为 1cm 的正三角形。 (1)画图:将线段 CA 绕点 C 按顺时针方向旋转 120°至 CP1 ,形成扇形 D1 ;将 线段 BP1 绕点 B 按顺时针方向旋转 120°至 BP 2 绕点 2 ,形成扇形 D 2 ;将线段 AP A 按顺时针方向旋转 120°至 AP3 ,形成扇形 D3 ;将线段 CP3 绕点 C 按顺时针方 向旋转 120°至 CP4 ,形成扇形 D4

A

B 图1

C

(2)设 l n 为扇形 Dn 的弧长( n ? 1,2,3?? ). 填表:

n
ln

1

2

3

4

分析:本题为求弧长,弧长公式为 l ?

n?R 180

如图 2,将经过四次旋转之后形成的四个扇形画出,观察对应的四段圆弧,找出

圆弧所在的圆的半径以及圆心角,带入弧长公式进行计算,

P3

D4 D3 D1 P1 D2 P2 图2
解: l1 ?
120 ? ? ? 1 2 ? ? 180 3 120 ? ? ? 3 6 l3 ? ? ? 180 3 120 ? ? ? 2 4 ? ? 180 3 120 ? ? ? 4 8 l4 ? ? ? 180 3 l2 ?

P4

点评: 解决本题的关键是能够正确找出四个圆弧所在的圆的半径以及所对的圆心 角。 3.习题拓展 演变 1 等边三角形的旋转 例 1 有一个边长为 3 cm 的等边三角形,现将它按下图所示滚动,请问 B 点从开 始到结束, A B C
A B (结束),经过的路线的总长度是多少厘米?

C

A

B

C

A

B

C 图3

A

B

分析:有了上一题的启发,我们可以先把点 B 所经过的路线画出来。

C

A

B

C

A

B

C 图4

A

B

从画的路线图上,我们可以看到, B 点经过了 2 个 120°的半径为 3 cm 的圆弧, 即经过了 1 个 240°的半径为 3 cm 的圆弧,代入弧长公式计算即可. 解: l =
240 ? ? ? 3 = 4? (厘米) 180

点评: 解决本题的关键是能够正确找出点 B 从开始至结束所走过的路线长是两个 圆心角是 120°的弧长. 感悟:本题相对原题,难度大很多.所求解的问题不像原题那么直接明了,一些 隐含条件也需要去挖掘.解题的关键在于将 B 点走过的路线画出来,确定求解的 方法,进而寻找求解的条件. 将“数”与“形”完美的结合起来. 演变 2 长方形的旋转 例 2 将一长为 8 cm ,宽为 6 cm 的长方形 ABCD 的四边在桌面上沿直线向右滚 动(不滑动) , (1)当长方形滚动一周是,点 A 经过的路线长为

cm

(2)最后一次滚动被桌上一小木块挡住,使木板与桌面成 30°, 点 A 经过的路线 长为

cm 。

B

C ......

B

C

A

D 图5

A

D

B

C

C B ......
30°

D

A

D 图6

A

分析:作出长方形滚动一周的草图,可知点 A 所经过的路线分别是:以点 D 为 圆心,以 AD 为半径的圆心角为 90°的弧长,以点 C 为圆心,以 AC 为半径的 圆心角为 90°的弧长,以点 B 为圆心,以 AB 为半径的圆心角为 90°的弧长, 这三段弧长的和,再根据弧长公式进行列式计算.

B A A

C

D B C

A

B D

C

D

C

B

A

D

图7

解:以点 D 为圆心旋转的弧长为:

6 ? ? ? 90 ? 3? cm 180

因为矩形 ABCD中,AD ? 6cm, DC ? 8cm

AC ? 62 ? 82 ? 10cm

图 10 ? ?8 ? 90 ? 5? cm 180 8 ? ? ? 90 ? 4? cm 以点 B 为圆心旋转的弧长为: 180
以点 C 为圆心旋转的弧长为: 所以点 A 经过的路线长为: 3? ? 5? ? 4? ? 12? cm 感悟:解题的关键是根据长方形的转动过程以哪一点为圆心,转动多大的角度,

半径是哪条线段,从而确定其运动路线的形状,然后求解。本题也可变式为:最 后一次滚动被桌上一小木块挡住,使木板与桌面成 30°。


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