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高二数学数列专题练习题含答案

高中数学《数列》专题练习

1.

Sn

与 an

的关系: an

?

??S1 ? ?? Sn

?

(n Sn?1

? 1) (n ? 1)

,已知 S n 求 an ,应分 n ? 1时 a1 ? S1 ;

n ? 2时, an = Sn ? Sn?1 两步,最后考虑 a1 是否满足后面的 an .
2.等差等比数列

等差数列

等比数列





an ? an?1 ? d ( n ? 2 )





an ? a1 ? (n ?1)d ,an ? am ? (n ? m)d , (n ? m)

如果 a, A,b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 如果 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比

中 项

的等差中项. A ? a ? b 。 2

等差中项的设法: a ? d, a, a ? d

中项. G 2 ? ab 等比中项的设法: a , a , aq
q

前n 项 和

Sn

?

n 2

(a1

? an )

, Sn

?

na1

?

n(n ?1) 2

d

q

?1时,Sn

?

na1 ;q

? 1 时, Sn

?

a1(1 ? qn ) 1? q

?

a1 ? anq 1? q

am ? an ? ap ? aq (m,n, p,q ? N*,m ? n ? p ? q)

性 质

若 2m ? p ? q ,则 2am ? a p ? aq

若 m ? n ? p ? q ,则 aman ? a p aq

Sn 、 S2n ? Sn 、 S3n ? S2n 为等差数列
函 数 看 数 列

Sn 、 S2n ? Sn 、 S3n ? S2n 为等比数列

(1)定义法:证明 an?1 ? an (n ? N * ) 为常数; (1)定义法:证明 an?1 (n ? N * ) 为一个常数



(2)等差中项:证明 2an ? an?1 ? an?1 (n ? N * ,

an

定 方

n ? 2)

(2)等比中项:证明 an2 ? an?1 ?an?1(n ? N *, n ? 2)

法 (3)通项: an ? kn ? b(k, b 为常数)( n ? N* )

(3)通项公式: an ? cqn (c, q 均是不为 0 常数)

(4) sn ? An2 ? Bn ( A, B 为常数)( n ? N* )

(4) sn ? Aqn ?A (A, q 为常数, A ? 0,q ? 0,1)

3.数列通项公式求法:(1)定义法(利用等差、等比数列的定义);(2)累加法;(3)累乘法( an?1 an

? cn 型);

(4)利用公式 an

?

??S1 ? ??Sn

?

(n Sn?1

? 1) ;(5)构造法(
(n ? 1)

an?1

?

k an

?

b

型);(6)倒数法等

4.数列求和 (1)公式法;(2)分组求和法;(3)错位相减法;(4)裂项求和法;(5)倒序相加法。
5. Sn 的最值问题:在等差数列?an? 中,有关 Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解:??

(1)当 a1 ? 0, d ? 0 ?时,满足 ???aamm?1??00 ?? 的项数 m 使得 S m 取最大值.

(2)当? a1 ? 0, d ? 0 时,满足 ???aamm?1??00 ?的项数 m 使得 S m 取最小值。 也可以直接表示 Sn ,利用二次函数配方求最值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
一、选择题

1.已知 ?an ?为等差数列,若 a1 ? a5 ? a9 ? ? ,则 cos(a2 ? a8 ) 的值为(



A. ? 1 2

B. ? 3 2

C. 1 2

D. 3 2

? ? 2.在等比数列

an

中,若 a3a5a7 a9a11

? 243, 则 a92 a11

?

A.9 B.1

C.2 D.3

()

3.已知等差数列?an? 的前 n 项和为 Sn , a1

? a5

?

1 2

S

5

,



a9

?

20, 则 S11

?(

)

A.260 B.220 C.130 D.110

? ? 4.各项均不为零的等差数列 an 中,若 an2 ? an?1 ? an?1 ? (n ? N * , n ? 2), 则 S2 009 等于( )

A.0 B.2 C.2 009

D.4 018

5.在△

ABC

中,tanA

是以

?

4

为第三项,4

为第七项的等差数列的公差,tanB

是以

1 3

为第三项,9

为第六项的

等比数列的公比,则这个三角形是(

)

A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.等腰三角形

D.非等腰的直角三角形

? ? 6.记等差数列 an 的前项和为 sn ,若 s3 ? s10 ,且公差不为 0,则当 sn 取最大值时, n ? ( )

A.4 或 5

B.5 或 6

C.6 或 7

D.7 或 8

7.已知数列?an? 的前 n 项和 S n 满足 log ( 2 Sn ? 1) ? n ? 1,则通项公式为( )

A. an ? 2n (n ? N * )

B.

an

?

?3 ??2 n

(n ? 1) (n ? 2)

C. an ? 2n?1 (n ? N * )

D. 以上都不正确

? ? 8.等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,已知 am?1 ? am?1 ? am2 ? 0 , S2m?1 ? 38 ,则 m ? ( )

A.38

B.20

C.10

D.9

9.设数列{an}的前 n 项和 Sn ? n2 ,则 a8 的值为( )

A.15

B.16

C.49

D.64

10. Sn 为等比数列?an? 的前 n 项和,已知 3S3 ? a4 ? 2 , 3S2 ? a3 ? 2 ,则公比 q ? ( )

A.3

B.4

C.5

D.6

? ? 11.等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 4 a1 ,2 a2 , a3 成等差数列,若 a1 ? 1, 则 S4 ? ( )

A.7

B.8

C.15

D.16

12.已知数列{an} 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1, Sn ? 2an?1 ,,则 Sn ? ( )

A. 2n?1
二、填空题:

B. ( 3 )n?1 2

C. ( 2 )n?1 3

D. 1 2 n ?1

13.已知等比数列{an} 为递增数列.若 a1 ? 0, 且 2(an ? an?2 ) ? 5an?1, 则数列{an} 的公比 q ?

.

? ? 14.设等比数列

an

的公比 q

?

2, 前 n 项和为 Sn , 则

S4 a2

=

.

15.数列?an? 的前 n 项和记为 Sn, a1 ?1, an?1 ? 2Sn ?1?n ?1? 则?an? 的通项公式

? ? S10 31
16.等比数列 an 的首项为 a1=1,前 n 项和为 Sn , 若 S5 =32,则公比 q 等于________.

三、解答题

17.已知等差数列?an? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,?an? 的前 n 项和为 Sn .

(Ⅰ)求 an 及 Sn ;

? ? (Ⅱ)令

bn=

1 an2 ?1

(n?

N*),求数列

bn

的前 n 项和Tn .

18.已知等比数列{an} 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2a6 .

(I)求数列{an} 的通项公式.

(II)设 bn ? log3 a1 ? log3 a2 ?

?

log3

an

,求数列{ 1 bn

}

的前

n

项和.

19.已知?an? 为等比数列, a1 ? 1, a5 ? 256 ; Sn 为等差数列{bn}的前 n 项和, b1 ? 2, 5S5 ? 2S8 .

(1) 求?an? 和{bn}的通项公式;

(2) 设Tn ? a1b1 ? a2b2 ? ?anbn ,求Tn .

? ? 20.设各项均为正数的数列

an

的前 n

项和为 Sn

,满足 4Sn

?

a2 n?1

?

4n

?1, n ?

N?,

且 a2 , a5 , a14

构成等比数列.

(1) 证明: a2 ? 4a1 ? 5 ;
(2) 求数列?an? 的通项公式;

(3)

1 证明:对一切正整数 n ,有
a1a2

?1 a2a3

?

? 1 ?1. anan?1 2

21. a2 , a5 是方程 x 2 ?12x ? 27 ? 0 的两根, 数列 ?an ?是公差为正的等差数列,数列 ?bn ?的前 n 项和为Tn ,且

? ? Tn

?

1?

1 2

bn

n?N?

.

(1)求数列?an ?,?bn ?的通项公式;

(2)记 cn = an bn ,求数列 ?cn ?的前 n 项和 S n .

22.设数列?an? 满足 a1

?

1 0且
1? a n?1

?1 1? an

? 1.

(Ⅰ)求?a n? 的通项公式;

? (Ⅱ)设 bn ? 1?

an?1 n

,

记S n

?

n
bk , 证明:Sn
k ?1

? 1.


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