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湖南省澧县一中、益阳市一中、桃源县一中2014届高三上学期三校联考理数试题 Word版含答案


湖南省澧县一中、益阳市一中、桃源县一中 2014 届高三上学期 三校联考理数试题
时量:120 分钟 总分:150 分 一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. 已知集合 M ? {x | lg x ? 0} , N ? {x | x ? 4} ,则 M ? N ? (
2

) D. [1, 2]

A. (1, 2)

B. [1, 2) )

C. (1, 2]

2. sin ?>0 ” 是“ ? 为锐角”的( “ A. 充分不必要条件 C. 既不充分也不必要条件 3.阅读右边的程序框图,则输出的 k ? ( A. 4 B. 5 C. 6

B.必要不充分条件 D.充要条件 ) D. 7

?x ? y ? 2 ? 4.已知变量 x, y 满足 ? x ? y ? 2 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为( ?x ? 1 ?
A. ?1 B. 3 C. 1



(3 题图) D. 2

5.在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为 1,2,3,?,18 的 18 名火炬手.若从中任选 3 人,则选出的火炬手的编号能组成以 3 为公差的等差数列的概率为( A. ) D.

1 51

B.

1 408
中 ,

C.

1 306

1 68

6 . 在 等 比 数 列

? an ?

0 ? a1 ? a4 ? 1 , 则 能 使 不 等 式

(a1 ?

1 1 1 ) ? (a2 ? ) ? ??? ? (an ? ) ? 0 成 a1 a2 an
) B. 6 C. 7 y
1 -1 -2 -1

立的最大正整数 n 是( A. 5

D. 8

7. 如图,偶函数 f (x) 的图象形如 字母 M,奇函数 g (x) 的图象形如 字母 N,若方程: f ( f ( x)) ? 0,

y ? f ( x)
1 2 x

y
2

y ? g ( x)

O
-1

O
-2

1

x

f ( g ( x)) ? 0, g ( g ( x)) ? 0, g ( f ( x)) ? 0

的实数根的个数分别为 a、b、c、d,则 a ? b ? c ? d =( A.27 B.30

) C.33

D.36 8.若 m ?

1 1 ,则称 m 为离实数 x 最近的整数,记作 ?x? ,即 ? x ? m ? (其中 m 为整数) 2 2

?x? ? m .设集合 A ? ?? x, y ? | y ? x ? ? x? , x ? R? , B ? ?? x, y ? | y ? ax 2 ? bx, x ? R? ,若
集合 A ? B 的子集恰有两个,则 a, b 的取值不可能是( ... A . a ? 5, b ? 1 D. a ? ?4, b ? 1 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 35 分) 9.已知 ? ? (
?

) C.

B . a ? ?2, b ? ?1

a ? 4, b ? ?1

?
2

, ? ),sin ? ?

? 3 ,则 tan(? ? ) = 4 5

.

10.设 n ?

?

2 0

1 4sin xdx ,则二项式 ( x ? ) n 展开后的常数项是 x

.

11.一个几何体的三视图如图所示,已知这个几何体的体积为 10 3 , 则h= .
?

(11 题图)

12. 在 ?ABC 中 , C ? 90 , 且 C A? C B 3 , 点 M 满 足 BM ? 2MA, 则CM ? CB ? = . .

???? ?

????

???? ??? ? ?

13.已知 log 2 (2m ? 4)+ log 2 (n ? 4)=3 ,则 m+n 的最小值为 14. 已知函数 f ( x) ?

x3 mx 2 ? (m ? n) x ? 1 ? 的两个极值点分别为 x1 , x2 ,且 x1 ? (0,1) , 3 2

x2 ? (1, ??) ,点 P(m, n) 表示的平面区域为 D ,若函数 y ? log a ( x ? 4)(a ? 1) 的图象
上存在区域 D 内的点,则实数 a 的取值范围为 .

15. 定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (0) ? 0 , f ( x) ? f (1 ? x) ? 1 , f ( ) ?

x 5

1 f ( x) ,且当 2

0 ? x1 ? x2 ? 1 ,时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) .
(1) f (

24 )? 25

; (2) f (

1 )? 2014

.

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分.须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 16.(本小题满分 12 分)

1 1 ? sin 2? x cos ? ? cos 2 ? x sin ? ? cos( ? ? ) ? 0<?<? ? ,其图象上相 2 2 2 ? 1 邻两条对称轴之间的距离为 ? ,且过点 ( , ) . 6 2
已知函数 f ? x ? ? (Ⅰ)求 ? 和 ? 的值; (Ⅱ)求函数 y ? f ? 2 x ? , x ? [0,

?
2

] 的值域.

17.(本小题满分 12 分) 湖南省在学业水平考查中设计了物理学科的实验考查方案: 考生从 6 道备选试验考查题中一 次随机抽取 3 题,并按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中 2 题便 通过考查.已知 6 道备选题中文科考生甲有 4 题能正确完成, 2 题不能完成;文科考生乙每 题正确完成的概率都是

2 ,且每题正确完成与否互不影响. 3

(Ⅰ)分别写出文科考生甲正确完成题数 ? 和文科考生乙正确完成题数? 的概率分布列,并 计算各自的数学期望; (Ⅱ) 试从两位文科考生正确完成题数的数学期望及通过考查的概率分析比较这两位考生的 实验操作能力.

18.(本小题满分 12 分) 如图,四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面 ABCD 是平行四边形,且 AA1 ? 底面 ABCD ,

A1 AB ? 2 , AA1 ? BC ? 4 , ?ABC ? 60 °,点 E 为 BC 中点,点 F 为 B1C1 中点.
(Ⅰ)求证:平面 A1 ED ? 平面 A1 AEF ; (Ⅱ)设二面角 A1 ? ED ? A 的大小为 ? ,直线 AD 与平面 A1 ED 所成的角为 ? ,求 sin(? ? ? ) 的值.

D1 F C1

B1

A B E C

D

19. (本小题满分 13 分) 在一条笔直的工艺流水线上有 n 个工作台,将工艺流水线用如图 8 所示的数轴表示,各工作 台的坐标分别为 x1 , x2 , ? , xn ,每个工作台上有若干名工人.现要在流水线上建一个零 件供应站,使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短. (Ⅰ)若 n ? 2 ,每个工作台上只有一名工人,试确定供应站的位置; (Ⅱ)若 n ? 5 ,工作台从左到右的人数依次为 3 , 2 , 1 , 2 , 2 ,试确定供应站的位置, 并求所有工人到供应站的距离之和的最小值.

x1

x2

x3
图8

...

xn

x

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 , g ( x) ? 2
x x?n

(n ? N ? ) ,点 Qn ( xn , yn ) 、 Qn ?1 ( xn ?1 , yn ?1 ) 在函数 f ( x) 的
yn ?1 . yn

图象上, 点 Pn ( xn , yn ?1 ) 在函数 g ( x) 的图象上,设 x1 ? 1, an ? xn ?1 ? xn , bn ? (1)求数列 { xn } 的通项公式; (2)记 cn ? (3)已知

bn ?1 ,求数列 {cn } 的前 n 项和为 S n ; (bn ? 1)(bn ?1 ? 1)

dn d1 d 2 d3 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 2n ? 1(n ? N * ) ,记数列 ?an ? 的前 n 项和为 An ,数列 2 2 2 2 B ?2 ?d n ? 的前 n 项和为 Bn ,试比较 An 与 n 的大小. 4

21.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) 的图象在 [a , b ] 上连续,定义: f1 ( x) ? min{ f (t ) | a ? t ? x }(x? [a ,b ]) ,

f 2 ( x) ? max{ f (t ) | a ? t ? x}( x ? [a, b]) .其中,min{ f ( x) | x ? D} 表示函数 f ( x) 在 D 上
的最小值,max{ f ( x) | x ? D} 表示函数 f ( x) 在 D 上的最大值.若存在最小正整数 k ,使得

f 2 ( x) ? f1 ( x) ? k ( x ? a) 对任意的 x ?[a, b] 成立,则称函数 f ( x) 为 [a, b] 上的“ k 阶收缩
函数”. (Ⅰ)若 f ( x) ? cos x, x ?[0, ? ] ,试写出 f1 ( x) , f 2 ( x) 的表达式; (Ⅱ)已知函数 f ( x) ? x , x ? [?1, 4] ,试判断 f ( x) 是否为 [?1, 4] 上的“ k 阶收缩函数”.
2

如果是, 求出对应的 k ;如果不是,请说明理由; (Ⅲ)已知 b ? 0 ,函数 f ( x) ? ? x ? 3x 是 [0, b] 上的 2 阶收缩函数,求 b 的取值范围.
3 2

湖南省澧县一中、益阳市一中、桃源县一中 2014 届高三上学期 三校联考理数试题答案
一.选择题 1. C 2. B 二.填空题 9. 3. A 4. A 5. D 6. C 7. B 8. C

1 7

10. 6

11. 3

12. 3

13. 10

14. (1,3)

15.(1)

3 1 (2) 4 32

三、解答题

1 1 ? cos 2? x 1 sin 2? x cos ? ? sin ? ? sin ? 2 2 2 1 1 ??3 分 ? (sin 2? x cos ? ? cos 2? x sin ? ) ? sin(2? x ? ? ) 2 2 2? 1 由题有: T ? 2? ? ,则 ? ? ,??4 分 2? 2 ? 1 ? ? ? 代入点 ( , ) 有 sin( ? ? ) ? 1 ,则 ? ? ? 2k? , k ? Z ,又 0<?<? ,则 ? ? ??6 6 2 3 6 3
16. 【解】 (Ⅰ)? f ( x) ? 分

1 ? sin(2 x ? ) 2 3 ? ? ? 4? , ? 0 ? x ? ? ? 2x ? ? 2 3 3 3
(Ⅱ)由题有: f (2 x) ? 则函数 f ( x) 的值域为 [?

??7 分 ???9 分

3 1 , ]. 4 2

??12

分 17.【解】 (1)由题意可知:则 ? 取值分别为 1,2,3;

??????1分

P (? ? 1) ?

1 2 C4C2 1 C 2C 1 3 C 3C 0 1 ? , P(? ? 2) ? 4 3 2 ? , P(? ? 3) ? 4 3 2 ? . 3 C6 5 C6 5 C6 5

∴考生甲正确完成题数的概率分布列为

?

1
1 5

2
3 5

3
1 5

1 3 1 E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 2 5 5 5
???????4分 亦 由 题 意 可 知 : ? 取 值 分 别 为 ??????5分

. 0 , 1 , 2 ,

p
3.

0 且 P(? ? 0) ? C3 (1 ? )3 ?

2 3

1 6 12 8 ,同理:P(? ? 1) ? ,P(? ? 2) ? ,P(? ? 3) ? . 27 27 27 27

∴考生乙正确完成题数的概率分布列为:

?

0
1 27

1
6 27

2
12 27

3
8 27

p

E? ? 0 ?

2 1 6 12 8 (或 E? ? 3 ? ? 2 ) ???????8 分 ? 1? ? 2? ? 3? ? 2. 3 27 27 27 27 3 1 4 12 8 20 (2)∵ P(? ? 2) ? ? ? , P(? ? 2) ? , ? ? 5 5 5 27 27 27
∴ P(? ? 2) ? P(? ? 2) . ??????10 分

从做对题数的数学期望考察,两人水平相当;从至少完成 2 题的概率考察,甲获得通过的 可能性大.因此可以判断甲的实验操作能力较强. ??????? 12 分 18. 【解】 (1)? AB ? BE ? 2 , ?ABC ? 60 ,??AEB ? 60
0 0

又?CE ? CD ? 2 ,??CED ? 30 ,则 ?AED ? 90 ,即
0 0

AE ? ED .又? AA1 ? 底面 ABCD ,? AA1 ? ED ,
而 AE ? AA1 ? A 则 ED ? 平面 A1 AEF ,又 ED ? 平面 A1 ED ,

?平面 A1 ED ? 平面 A1 AEF .
(2) ?A1 EA 为二面角 A1 ? ED ? A 的平面角,则 sin ? ? 分

???5 分

2 5 5 , cos ? ? .????7 5 5

过 A 作 A1 E 的垂线,垂足为 H ,连结 HD ,又? ED ? 平面 A1 AEF ,? ED ? AH ,则

AH ? 平面 A1 ED ,??ADH 为直线 AD 与平面 A1 ED 所成的角,
9分 易得 AH ? 则? ? ? ?

????

4 5 5 ? cos ? , , sin ? ? 5 5

????11 分

?
2

,即 sin(? ? ? ) ? 1 .

????12 分

19. 【解】设供应站坐标为 x ,各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为 d ( x ) .
??2 x ? ( x1 ? x2 ) ( x ? x1 ) ? ? ? ? x2 ? x1 ( x1 ? x ? x2 ) (?) ? ?2 x ? ( x1 ? x2 ) ( x ? x2 ) ?

(Ⅰ) d ( x ) ? x ? x1 ? x ? x2

??2 分

当 x ? x1 时, d ( x ) ? ?2 x ? ( x1 ? x2 ) 在区间 ( ? ? , x1 ) 上是减函数; 当 x ? x2 时, d ( x ) ? 2 x ? ( x1 ? x2 ) 在区间 ( x2 , ? ? ) 上是增函数. 则当 x ?[ x1 , x2 ] 时, ?) 式取最小值, 即供应站的位置为 [ x1 , x2 ] 内的任意一点. ( ??

5分

(Ⅱ)由题设知,各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为
d ( x ) ? 3 x ? x1 ? 2 x ? x2 ? x ? x3 ? 2 x ? x4 ? 2 x ? x5 .??7 分

类似于(Ⅰ)的讨论知, x1 ≤ x ≤ x5 ,且有
? 2 x2 ? x3 ? 2 x4 ? 2 x5 ? 3x1 ? 4 x , x1 ≤ x ? x2 , ? x ? 2 x ? 2 x ? 3x ? 2 x , x2 ≤ x ? x3 , ? 4 5 1 2 d (x)?? 3 ? 2 x ? 2 x4 ? 2 x5 ? 3x1 ? 2 x2 ? x3 , x3 ≤ x ? x4 , ? 6 x ? 2 x5 ? 3x1 ? 2 x2 ? x3 ? 2 x4 , x4 ≤ x ≤ x5 . ?

?? 10 分

所以,函数 d ( x ) 在区间 ( x1 , x2 ) 上是减函数,在区间 ( x3 , x5 ) 上是增函数,在区间 故供应站位置位于区间 [ x2 , x3 ] 上任意一点时, 均能使函数 d ( x ) 取 [ x2 , x3 ] 上是常数. 得 最 小 值 , 且 最 小 值 为

x3 ? 2 x4 ? 2 x5 ? 3x1 ? 2 x2 , x2 ≤ x ≤ x3 .

?????13 分

20. 【解】 (1)由题有: yn ? 2 n , yn ?1 ? 2
x

xn?1

, yn ?1 ? 2 xn ? n ? xn ?1 ? xn ? n

? xn ? xn?1 ? n ? 1 ? xn ?2 ? (n ? 2) ? (n ? 1) ? ? ? x1 ? 1 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ?
3分 (2)? cn ?

n(n ? 1) ? 1 ?? 2

2n ?1 1 1 1 ? ( n ? n ?1 ) , n n ?1 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 2 ? 1 2 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? Sn ? [( ? )?( ? )?( ? ) ??? ( ? )] 2 2 3 3 4 n 2 1? 2 1? 2 1? 2 1? 2 1? 2 1? 2 1 ? 2 1 ? 2n?1 1 1 1 ????8 分 ? ( ? n?1 ) 2 3 2 ?1 n(n ? 1) (3)? an ? xn ?1 ? xn ? n ,? An ? , 2 dn d n?1 d d 2 d3 d d 2 d3 由 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 2n ? 1 知 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ?1 ? 2(n ? 1) ? 1(n ? 2) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , n ?1 ? dn ? n ? 2(n ? 2) , 而 d1 ? 2 ,所以可得 d n ? ? n ?1 . 2 ?2 , n ? 2

于是 Bn ? d1 ? d 2 ? d3 ? ??? ? d n ? 2 ? 23 ? 24 ? ??? ? 2n?1 ? 2 ? 22 ? 23 ? 24 ? ??? ? 2n?1 ? 4

B ?2 2(2n?1 ? 1) ? 4 ? 2n? 2 ? 6 .? n ? 2n ? 2 2 ?1 4 B ?2 n(n ? 1) 当 n ? 1, 2 时 An ? ; ? 2n ? 2 ? n 2 4 B ?2 n(n ? 1) 当 n ? 3 时, An ? ? 2n ? 2 ? n 2 4 B ?2 n(n ? 1) 当 n ? 4 时, An ? ? 2n ? 2 ? n 2 4 B ?2 n(n ? 1) 下面证明:当 n ? 4 时, An ? ? 2n ? 2 ? n 2 4

?

证法一: (利用组合恒等式放缩) 当 n ? 4 时,
1 2 n 0 1 2 n n 2n ? 2 ? Cn ? Cn ? Cn ? ??? ? Cn ?1 ? Cn ? 2 ? Cn ? Cn ? ??? ? Cn ?1

? n?

n(n ? 1) n 2 ? 3n n(n ? 1) ?n? ? 2 2 2

∴当 n ? 4 时, An ?

Bn ? 2 4

?????13 分

证法二: (数学归纳法)证明略

n( n ? 1) n(n ? 1) ? 2n ? 2 ? ? 2n ? 2 ? 0 2 2 1 x( x ? 1) 构造函数 h( x) ? ? 2 x ? 2, x ? [4, ??) , h?( x) ? x ? 2 x ln 2 ? 2 2 [h?( x)]? ? h??( x) ? 1 ? 2 x ln 2 2 ∴当 x ? [4, ??) 时, h??( x) ? 1 ? 2 x ln 2 2 ? 0 x ∴ h?( x) ? x ? 2 ln 2 在区间 [4, ??) 是减函数, 1 9 9 1 7 ∴当 x ? [4, ??) 时, h?( x) ? x ? 2 x ln 2 ? ? h?(4) ? ? 16ln 2 ? ? 16 ? ? ? ? 0 2 2 2 2 2 x( x ? 1) ∴ h( x ) ? ? 2 x ? 2 在区间 [4, ??) 是减函数, 2 x( x ? 1) 4?5 4 ∴当 x ? [4, ??) 时, h( x) ? ? 2 x ? 2 ? h(4) ? ? 2 ? 2 ? ?4 ? 0 2 2 B ?2 n( n ? 1) n(n ? 1) 从而 n ? 4 时, ? 2n ? 2 ∴当 n ? 4 时, An ? n . ? 2n ? 2 ? 0 ,即 2 4 2
证法三: (函数法)∵ n ? 4 时, 21.【解】 (Ⅰ)由题意可得: f1 ( x) ? cos x, x ?[0, ? ] , f 2 ( x) ? 1, x ? [0, ? ] ??2 分

(Ⅱ)



??4 分 当 x ?[?1,0) 时, 1 ? x ? k ( x ? 1) ,∴ k ? 1 ? x ,即 k ? 2 ;
2

当 x ? [0,1) 时, 1 ? k ( x ? 1) ,∴ k ?

1 ,即 k ? 1 ; x ?1

当 x ? [1, 4] 时, x ? k ( x ? 1) ,∴ k ?
2

x2 16 ,即 k ? . x ?1 5

综上所述,∴ 即存在 k=4,使得 f(x)是[﹣1,4]上的 4 阶收缩函数.
2

???7 分

(Ⅲ) f ?( x) ? ?3x ? 6 x ? ?3x( x ? 2) 令 f ?( x) ? 0 得 x ? 0 或 2 .函数 f(x)的变化情况如下:

令 f(x)=0,解得 x=0 或 3. (ⅰ)b≤2 时,f(x)在[0,b]上单调递增,因此 f 2 ( x) ? f ( x) ? ? x ? 3x , f1 ( x) ? f (0) ? 0 .
3 2

因为 f ( x) ? ? x ? 3x 是[0,b]上的 2 阶收缩函数,所以,① f 2 ( x) ? f1 ( x) ? 2( x ? 0) 对 x∈[0,
3 2

b]恒成立;②存在 x∈[0,b],使得 f 2 ( x) ? f1 ( x) ? ( x ? 0) 成立. ①即: ? x ? 3x ? 2 x 对 x∈[0,b]恒成立,由 ? x ? 3x ? 2 x ,解得:0≤x≤1 或 x≥2,
3 2 3 2

要使 ? x ? 3x ? 2 x 对 x∈[0,b]恒成立,需且只需 0<b≤1.
3 2

② 即 : 存 在 x ∈ [0 , b] , 使 得 x( x ? 3x ? 1) ? 0 成 立 . 由 x( x ? 3x ? 1) ? 0 得 : x < 0 或
2 2

,所以



综合①②可得:



???10 分

(ⅱ)当 b>2 时,显然有 , ,可得

,由于 f(x)在[0,2]上单调递增,根据定义可得: , ??12 分

此时, f 2 ( x) ? f1 ( x) ? 2( x ? 0) 不成立.

综合ⅰ)ⅱ)可得: b 的取值范围为 (

3? 5 ,1] . 2

???13 分

(注:在(ⅱ)中只要取区间 (1, 2) 内的一个数来构造反例即可,这里用

3 只是因为简单而已) 2


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