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《导数及其应用复习课》学案


≤导数及其应用≥复习(二课时) 知识结构 平均速度 瞬时速度 平均变化率 瞬时变化率 割线斜率 切线斜率

导数概念

基本初等函数导 数公式及导数运 算法则 微积分基本定理

用导数研究函数的单 调性、极值和最值

生 活 问题 的 实际应用

曲边梯形的面积 定积分 变速直线运动的路 程

定积分在几何和物理中的应用 知识点精析 (一)求函数的导数 1.导数的基本概念、变化率 3.记住导数的四则运算 教师备课 学习笔记 2.记住基本初等函数的导数公式
'

4.理解复合函数的求导,即 ? f (? ( x )) ? = f (? ( x))? ( x)
' '

(二)导数的应用 1.求函数的单调区间与极值 步骤:①求出函数的定义域,求导函数。②求出导数为 0 的点(驻点)或 导数不存在点。 ③列表讨论 ④总结 2.求函数的最大值与最小值

①闭区间[ a , b ] 上连续函数 f ( x ) 一定能取到最大与最小值且最大 值与最小值点一定包含在区间内部的驻点或内部导数不存在点及端点之 中。 ②应用题的最大与最小值。设所求的量为 y ,设于有关量为 x ,建立

教师备课 学习笔记

y ? f ( x) , x ? D ,求 f ( x) 的最大值或最小值。
定理:若 f ( x0 ) 为唯一极值,若 f ( x0 ) 为极大值,则 f ( x0 ) 为最大值; 若 f ( x0 ) 为极小值,则 f ( x0 ) 为最小值。 3.关于证明题: (1)证明方程根的存在性 (2)证明不等式 (三)定积分 1.定积分的概念(四个步骤、本质) (求曲边梯形的面积、变速直线运动 的路程) 2.微积分基本定理: 上的一个原函数, 则 若 f ( x ) 在[ a , b ]上连续且 F ( x) 是 f ( x ) 在[ a , b ]

?

b

a

f ( x)dx ? F ( x) a ? F (b) ? F (a) 。称为牛顿—莱布尼兹公式(牢牢记

b

住) 3.应用定积分求面积的基本步骤和注意事项。 例题解析 例 1.设函数 f ( x) ? ln(2 x ? 3) ? x (Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 的最大值和最小值. 4 4 解: f ( x ) 的定义域为 ? ? , ? ∞? .
2

? 3 1? ? ?

? 3 ? 2

? ?

(Ⅰ) f ?( x) ? 当?

2 4 x 2 ? 6 x ? 2 2(2 x ? 1)( x ? 1) ? 2x ? ? . 2x ? 3 2x ? 3 2x ? 3

3 1 1 ? x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ;当 ?1 ? x ? ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ? 2 2 2

时, f ?( x) ? 0 .

从 而 , f ( x) 分 别 在 区 间 ? ? , ? 1? , ? ? , ? ∞? 单 调 增 加 , 在 区 间

? 3 ? 2

? ?

? 1 ? 2

? ?

教师备课 学习笔记

1? ? , ? ? 单调减少. ? ?1 2? ?
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 的最小值为 f ? ? ? ? ln 2 ? . 4 4 2 4 又

? 3 1? ? ?

? 1? ? ?

1

? 3? f ?? ?? ? 4?

3 9 7 1 3 1 1? 49 ? ?1? f ? ? ? ln ? ? ln ? ? ln ? ? ?1 ? ln ? ? 0 . 2 16 2 16 7 2 2? 6 ? ?4? ? 3 1? ?1? 1 7

所以 f ( x ) 在区间 ? ? , ? 的最大值为 f ? ? ? ? ln . 2 ? 4 ? 16 ? 4 4? 例 2. 已 知 函 数 f ( x) ? ax4 ln x ? bx4 ? c (x>0) 在 x = 1 处 取 得 极 值

? 3 ? c ,其中 a,b,c 为常数。
(1)试确定 a,b 的值; (2)讨论函数 f(x)的单调区间; (3)若对任意 x>0,不等式 f ( x) ? ?2c 恒成立,求 c 的取值范围。
2

解: (I)由题意知 f (1) ? ?3 ? c ,因此 b ? c ? ?3 ? c ,从而 b ? ?3 . 又对 f ( x ) 求导得

f ' ?x ? ? 4ax 3 ln x ? ax 4 ?

1 ? 4bx 3 ? x3 (4a ln x ? a ? 4b) . x

由题意 f ?(1) ? 0 ,因此 a ? 4b ? 0 ,解得 a ? 12 .
3 (II)由(I)知 f ?( x) ? 48x ln x ( x ? 0 ) ,令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 .

当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 为减函数; 当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 为增函数.

1) ,而 f ( x) 的单调递增区间为 (1,∞ ? ). 因此 f ( x ) 的单调递减区间为 (0,
(III)由(II)知, f ( x ) 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? ?3 ? c ,此极小值

也是最小值,要使 f ( x) ≥ ?2c2 ( x ? 0 )恒成立,只需 ?3 ? c ≥ ?2c .
2

教师备课 学习笔记

即 2c ? c ? 3 ≥ 0 ,从而 (2c ? 3)(c ? 1) ≥ 0 ,
2

解得 c ≥

3 或 c ≤ ?1 . 2

所以 c 的取值范围为 (??, ? 1]

?3 ? , ? ?? . ? ?2 ?

例 3.已知函数 f ( x) ?

2ax ? a 2 ? 1 ( x ? R ) ,其中 a ? R . x2 ? 1

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的单调区间与极值. (Ⅰ)解:当 a ? 1 时, f ( x) ? 又 f ?( x) ?

2x 4 , f (2) ? , x ?1 5
2

6 2( x 2 ? 1) ? 2 x · 2x 2 ? 2 x2 , f ?(2) ? ? . ? 2 2 2 2 25 ( x ? 1) ( x ? 1) 4 6 ? ? ( x ? 2) , 5 25

所以,曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程为 y ? 即 6 x ? 2 y ? 32 ? 0 . (Ⅱ)解: f ?( x) ?

2a( x 2 ? 1) ? 2 x(2ax ? a 2 ? 1) ?2( x ? a)(ax ? 1) . ? ( x2 ? 1)2 ( x2 ? 1)2
1 , x2 ? a .当 x 变化时, a

由于 a ? 0 ,以下分两种情况讨论. ( 1)当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得到 x1 ? ?

f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )

1? ? ? ? ? ?∞, a? ?

1 a
0 极小值

? 1 ? ? ? ,a ? ? a ?

a
0 极大值

(a, ? ∞)

?
减函数

?
增函数

?
减函数

f ( x)

所以 f ( x ) 在区间 ? ?∞, ? 为增函数. 函数 f ( x ) 在 x1 ? ? 函数 f ( x ) 在 x2 ?

? ?

1? ? 1 ? ? ∞) 内为减函数,在区间 ? ? ,a ? 内 ? ,(a, a? ? a ?

教师备课 学习笔记

1 ? 1? 处取得极小值 f ? ? ? ,且 a ? a?

? 1? f ? ? ? ? ?a 2 , ? a?

1 处取得极大值 f ( a ) ,且 f (a) ? 1 . a 1 ( 2 )当 a ? 0 时,令 f ?( x) ? 0 ,得到 x1 ? a,x2 ? ? ,当 x 变化时, a

f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )

? ?∞,a ?
?
增函数

a
0 极大值

1? ? ? ? ? a, a? ?

?

1 a

? 1 ? ? ? ,+ ∞ ? ? a ?

?
减函数

0 极小值

?
增函数

f ( x)

所以 f ( x ) 在区间 (?∞,a) , 在区间 ? a, ? ? ? ,+ ∞ ? 内为增函数, 为减函数. 函数 f ( x ) 在 x1 ? a 处取得极大值 f ( a ) ,且 f (a) ? 1 . 函数 f ( x ) 在 x2 ? ?

? 1 ? a

? ?

? ?

1? ?内 a?

1 处取得极小值 a
2

? 1? f ? ? ? ,且 ? a?

? 1? f ? ? ? ? ?a 2 . ? a?

例 4. 设 a≥0,f (x)=x-1-ln x+2a ln x(x>0). (Ⅰ)令 F(x)=xf' (x) ,讨论 F(x)在(0.+∞)内的单调性并 求极值; 2 (Ⅱ)求证:当 x>1 时,恒有 x>ln x-2a ln x+1. 本小题主要考查函数导数的概念与计算,利用导数研究函数的单调性、极 值和证明不等式的方法,考查综合运用有关知识解决问题的能力.本小题 满分 14 分. (Ⅰ)解:根据求导法则有 f ?( x) ? 1 ?

2 ln x 2a ? ,x ? 0 , x x

故 F ( x) ? xf ?( x) ? x ? 2ln x ? 2a,x ? 0 , 于是 F ?( x) ? 1 ?

2 x?2 ? ,x ? 0 , x x

列表如下:

x
F ?( x)

(0, 2)

2 0 极小值 F (2)

(2, ? ∞)

教师备课 学习笔记

?

?

F ( x)

故知 F ( x) 在 (0, 2) 内是减函数,在 (2, ? ∞) 内是增函数,所以,在 x ? 2 处 取得极小值 F (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a . (Ⅱ)证明:由 a ≥ 0 知, F ( x) 的极小值 F (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a ? 0 .

? ∞) ,恒有 F ( x) ? xf ?( x) ? 0 . 于是由上表知,对一切 x ? (0, ? ∞) 内单调增加. 从而当 x ? 0 时,恒有 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 (0,
所以当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ? 0 ,即 x ? 1 ? ln x ? 2a ln x ? 0 .
2

故当 x ? 1 时,恒有 x ? ln x ? 2a ln x ? 1 .
2

课堂巩固 1.设函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3ax2 ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值. (1)求 a、b 的值;

3] ,都有 f ( x) ? c2 成立,求 c 的取值范围. (2)若对于任意的 x ? [0,

2.设函数 f ( x) ? ? x( x ? a) ( x ? R ) ,其中 a ? R .
2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的极大值和极小值;

合作探究 1. 设函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 9x ?1(a

0). 若曲线 y=f(x)的斜率最小的切线

教师备课 学习笔记

与直线 12x+y=6 平行,求: (1)a 的值; (2)函数 f(x)的单调区间.

2.设函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? c (a ? 0) 为奇函数,其图象在点 (1, f (1)) 处的 切线与直线 x ? 6 y ? 7 ? 0 垂直,导函数 f '( x) 的最小值为 ?12 . (1)求 a , b , c 的值; (2)求函数 f ( x ) 的单调递增区间,并求函数 f ( x ) 在 [?1,3] 上的最大值和 最小值.

3. 设函数 f ( x ) ? ax ?

b ,曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程为 x

教师备课 学习笔记

7 x ? 4 y ? 12 ? 0 .
(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)证明:曲线 y ? f ( x) 上任一点处的切线与直线 x ? 0 和直线 y ? x 所 围成的三角形面积为定值,并求此定值.

4.设函数 f ( x) ? x e

2 x ?1

已知 x ? ?2 和 x ? 1 为 f ( x ) 的极值点. ? ax3 ? bx2 ,

(1)求 a 和 b 的值; (2)讨论 f ( x ) 的单调性; (3)设 g ( x ) ?

2 3 x ? x 2 ,试比较 f ( x) 与 g ( x) 的大小. 3


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