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一道习题讲评的探究式教学片段及感悟


教学改革广角
DOI 编码 : 10.3969/j.issn.1007-0079.2010.22.038

中国电力教育
2010年第22期 总第173期

一道习题讲评的探究式教学片段及感悟
沈学美
摘要 : 新课标要求在高中数学课程教学过程中应力求各种不同形式的自主学习,探究活动,让学生体验数学发现和创造的历程,发 展他们的创新意识。论文以 “正整数平方和公式探讨”为主题搭建探究平台,进行探究活动,激发学生的数学思维,培养学生对数学的 学习兴趣和创新意识。 关键词 : 探究 ; 数列 ; 平方和 ; 归纳 作者简介 : 沈学美 (1978-) ,女,浙江嘉善人,湖州市第二中学,中学一级教师,主要研究方向 : 高中数学教学。 (浙江 湖州 313000)

合情推理是培养培养学生自主探究与合作交流的很好素 材。 《 选 修 1-1》 作 业中有道 题 : “ 前 n 个正 整 数 的 和为 s ( n) 1 n( n + 1) =1+2+3+…+n= ,应用合 情推 理得前 n 个正整 数的 2 2 2 n) = 1 + 2 + 3 2 + g + n 2 = ?” 平方和 s ,很多同学都不 2( 知从归纳推理还是类比推理着手,或是写出错误的命题,或是 将高一老师补充的结论用上。有学生就说 : “老师我是将这个当 公式来记的,但不清楚怎么推出来的。 ”于是笔者因势利导组织 了以 “正整数平方和公式探讨”为主题的探究活动,旨在通过 本次活动,激发学生的数学思维,培养学生对数学的兴趣及创 新意识。笔者对这次活动作了案例分析,供大家参考。 一、提出问题,明确目标 大 家 都 知 道, 前 n 个 正 整 数 的 和 为 S1(n)=1+2+3+… 1 +n= n(1+n) 2 那么,前 n 个正整数的平方和 S2(n) =12+22+32+……+n2 =? 二、分析问题,解决问题 T (老师) : 在不知结果的情况下,怎么办? S (学生) : 合情推理。 T (老师) : 合情推理分归纳推理和类比推理。那本题我们 可尝试怎样的推理? S (学生) : 类比推理 (大声) ,小部分同学认为归纳推理。 T (老师) : 好,我们来看看真理是否掌握在大部分同学的 手里,结合题目我们来类比猜想 S2(n)。 n 2( 1 + n 2) 1 + n)E ; 乙 : S2(n)= ;丙: 甲: S2(n)= ; n( 2 2 n 2( 1 + n)2 等等,但经过验证发现结果都是错误的。 S2(n)= 2 T (老师) :确实本题不能一步到位。那我们能不能换一
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终于一位学生兴奋地发现了规律。
S2( n) S1( n) 3 3 5 3 7 3 9 3 11 3 … 2n + 1 3

n + 1)( 2n + 1) 2n + 1 n ( (成功的喜悦写 3 = 6 在同学们的脸上,很多同学豁然开朗)
S2( n) = S1( n) .

T (老师) :很好。我们找到了结果,但毕竟是归纳推理, 其准确性有待进一步的证明。 三、刨根问底,拓展延伸 T (老师) : 我们从 S2(n) 的形式上看它是数列的前 n 项和, 能否用数列知识去探究呢? 学生 A : 12=1 22=(1+1)2=12+2×1+1 32=(2+1)2=22+2×2+1 42=(3+1)2=32+2×3+1 =(n-1+1)2=(n-1)2+2(n-1)+1 累加这 n 项得 S2(n)=S2(n)-n 2+2[S1(n)-n]+n, 整理得 S1(n)= 1 n(1+n) ( 学生紧张得检查前面步骤,在没 2 有出错的情况下有点不知所措。 ) T (老师) : 奇怪!S2(n) 没得到反得到 S1(n)。同学们有没有 发现 A 同学是对 S1(n) 公式推导作出新的见解。到底对 S2(n) 的 推倒有无帮助呢? 学生 B : 有。将立方展开累加。 13=1 23=(1+1)2=13+3×12+3×1+1 33=(2+1)2=23+3×22+3×2+1 …… n3=(n-1+1)2=(n-1)3+3×(n-1)2+3×(n-1)+1 累加这 n 项得 S3(n)=[S3(n)-n3]+[S2(n)-n 2]+3[S1(n)-n]+n,

个角度再探究,参考少数同学认为归纳猜想并前后联系 S1(n), 然后师生共同列表 : S2(n) ?
n S1(n) S2(n) 1 1 1 2 3 5 3 6 14 4 10 30 5 15 55 … … … n 1 n(1+n) 2 ?

n + 1)( 2n + 1) 整理得 S2(n)= n ( 6 T (老师) : 真是无心插柳柳成荫啊! 以上的证明说明我们
的猜想是? S (学生) : 正确的! (那么整齐有力的回答足见学生们做对 题目的成就感了 。 )正在大家体会着成功时,学生 C 站了起来,
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T (老师) : 比较观察两组数据,探求规律。老师在巡视时 发现学生思维活跃,想尽办法在纸上演算着。

中国电力教育
2010年第22期 总第173期

教学改革广角
问题的意义远远超过问题解决本身,在探求过程中数学家们对
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提出自己新的见解。 学生 C :我 认为 1 =1×1,2 =2×2,3 =3×3,…,n =n×n (大家好奇地想知道他葫芦里卖的什么药? ) 。所以把 n 2 看成 n 个 n 相加的结果, 可以写成如图 1 所示形式。构成一个正三角形, 正三角形数阵的各斜边对角线上的数字构成等差数列。

数学发展已经起了巨大推动作用,而我们学生在探求过程中开 发智商,把多种知识网罗利用。数学发现过程是一个探索创造 的过程,是一个不断地提出猜想验证猜想的过程,合情推理和 论证推理相辅相成,相互为用,共同推动着发现活动的进程。 就象 E 同学一样在座的很多同学都有一定的体会,课下写一段 学习体会,把你的感受记下来。 五、课后品尝探究感悟 本节课使学生们充分体会到数学的魅力,成功的快乐,可 谓精彩纷呈。学习数学就应勇于探索,敢于创新,只有这样数

图1

学才变得丰富而多彩,学习才变得轻松而愉快。 本节课让学生探究未知领域时,安排他们发现问题并提出 问题,分析问题,解决问题是一次通过,验证反思而进行的一 次思维训练,同时也是一次让学生真正参与的课。记住结论固 然重要,但探究的过程更为重要。在课堂上他们体验多次失败。 第一次,学生计算 6 个以上的值时仍没发现规律。第二次类比 猜想时也没成功。第三次师生作表时学生从和, 差, 积都没成功, 直到作商。但也是暂时的,是否正确有待验证。在一次次挫折 面前,扒下的是意志不坚者,老师乘机还数学本来面貌与学生, 对其进行耐挫教育。 笔者尝试给学生们布置 “学习心得体会” ,同学们写的很认 真却出乎意料。笔者在此摘录几句 : “我以前只会死记硬背公式, 从不考虑由来,等到考试时一紧张,脑海一片空白,却无从下 手。 ” “以前看老师解题那么顺手,而自己要花很多时间,总以为 自己笨,现在我有信心坚持下去,遇到运算繁锁的问题,也要勇 敢地做下去。 ” “数学是要找规律,找联系,透过现象看本质。 ” 作为教师,我们希望学生成绩优良的同时,也要多了解同 学们的真实想法,课堂尝试谈感受,知识点归纳,写小论文, 图书馆等查找数学资料等。将课堂延伸课外,我们应该努力提 供发展思维的最佳空间,让学生在数学王国的天空自由飞翔。 参考文献 : [1]徐彦辉.数学探究的教育价值——试论数学探究教学的学科 底蕴[J].学科教育,2002,(8):33-35,41. [2]陈柏良.运用案例开展数学探究教学[J].中学教研(数学版), 2004,(9):1-6.

(1+2+3+…+n)+ (2+3+…+n)+ (3+4+…+n)+… S2(n)= +n =[S1(n)-0]+[S1(n)-1]+[S1(n)(1+2)]+…+[S1(n)(1+2+…+ (n-1) )] =n S1(n)-[ 1 - 1 + 2 - 2 + 3 - 3 + f + n - n ] 2 2 2 2 S2( n) S1( n) =n S1(n)- 2 + 2 n + 1)( 2n + 1) 2n + 1 n ( 整理得 S2(n)=S1(n)· 3 = 6 这个方法的获得使全般同学兴奋不已,其结果与上面的归 纳猜想不谋而和,所有学生都感受到了数学美的震撼力。 T (老师) : 太棒了! 这两位同学的解法体现了化归降次的思 想,前者将三次和化归为二次和,后者将二次和化归为一次和。 我们同学的思维越发灵活和开阔了 。而且教师刚才在巡视时发 现有几位同学在画图,不知道结果怎么样了? 教师也很想知道本 问题和图象有什么关系呢? 学 生 D :我 将 12=1×1 看 成 单 位 正 方 形 的 面 积, 同 理 n 2=n×n 看成边长 n 个单位正方形的面积。如图 2 所示总面积 =S2(n)=1×(1+2+…+n)+1×(2+3+…+n)+…+1×n 计算方式与上相同。
2 2 2 2

图2

[3]赵洪林.数学探究教学的思考与实践[J].教学与管理(理论版), 2005,(6):42-43. [4]郁梅华.初中数学探究教学策略的研究和实践[J].基础教育 (上海),2004,(10):48-51. [5]姚新国.课本一例题的探究教学[J].数学教学通讯(中教版), 2005,(9):27-29. [6]谭坚.论数学教学中的创新思想教育[J].长沙大学学报,2001, (4):79-81. [7]刘兴凤.重视习题功能 实行探究教学[J].山东教育(中学刊), 2006,(5):34. [8]管宏斌.课本习题——数学探究教学的源泉[J].中学数学教学, 2005,(1). (责任编辑: 郝魁府)

T (老师) : 很好,这位同学将代数思想转化到几何思想, 而且做成功了 。很有创意! 四、反思小结 T: 从以上的推理过程中你得到了什么启示? 学生 E : 我想今天课题是正整数的平方和公式推导,我们 在多次失败中走了出来并发现有不少办法证得,除了课堂上的 方法外,我想课下我们还会试求新办法。 学生 F : 这个可作为公式使用了 ,我也知道怎么来的了 ,并 且也学会去推正整数立方和公式了 。 T (老师) : 我们今天对 “科学的探究不是一帆风顺的”这 句话应有更深刻的了解。数学家们很多发现都是在走了许多弯 路的情况下获得的,比如歌德巴赫猜想至今悬而未决,但探索
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