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2013届高考数学(人教A一轮复习课件3.6函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用_图文

第6课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图 象及三角函数模型的简单应用

教材回扣夯实双基
基础梳理
1.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内 的简图

用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的
简图时,要找五个特征点,如下表所示.

ωx+φ x y= Asin(ω x+φ)

0 0-φ ω 0

π 2 π -φ 2 ω A

π π-φ ω 0

3π 2 3π -φ 2 ω -A

2π 2π-φ ω 0

2.振幅、周期、相位、初相 当函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈
A (-∞,+∞)表示一个振动量时,则____叫

2π 1 做振幅,T= 叫做周期,f= 叫做频率, ω T
φ ωx+φ __________叫做相位,______叫做初相.

函数

π |ω| y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为_______.

2π |ω| y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为_____,

3.图象变换 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象可 由函数 y=sinx 的图象作如下变换得到: (1)相位变换:y=sinx→y=sin(x+φ),把 y =sinx 图象上所有的点向

____(φ>0),或向____ (φ<0)平行移动 左 右 |φ| ____个单位.

(2)周期变换:y=sin(x+φ)→y=sin(ωx+
φ),把y=sin(x+φ)图象上各点的横坐标 伸长 缩短 _____ (0<ω<1)或_____ (ω>1)到原来的

1 ______倍(纵坐标不变). ω

(3)振幅变换:y=sin(ωx+φ)→y=Asin(ωx+ φ),把 y=sin(ωx+φ)图象上各点的纵坐标
伸长 缩短 ______ (A>1)或_____ (0<A<1)到原来的 A ___倍(横坐标不变).

课前热身
1 π 1.函数 y=3sin( x+ )的周期、振幅依次 2 3 是( ) B.4π,-3 D.π,-3

A.4π,3 C.π,3
答案:A

?x+π ?的图象向左平移 2. 将函数 f(x)=2cos?3 6 ?
π 个单位,再向下平移 1 个单位,得到函数 4 g(x)的图象,则 g(x)的解析式为( )

?x-π ?+1 A.g(x)=2cos?3 4 ? ?x+π ?-1 B.g(x)=2cos?3 4 ? ?x- π ?+1 C.g(x)=2cos?3 12? ?x- π ?-1 D.g(x)=2cos?3 12?

解析:选 B.由题意得 g(x)=

?1?x+ π ?+π ?-1=2cos?x+π ?-1, 2cos 3? 4? 6? ?3 4 ? ?
故选 B.

3.若函数f(x)=sin(2x+φ)的图象关于y轴 对称,则φ值是________.

π 答案:kπ+ (k∈Z) 2

4. 图中的曲线是函数 y=Asin(ωx+φ)的图 π 象(A>0,ω>0,|φ|< ),则 ω=________, 2 φ=________.

解析:设周期为 T, 3 5 π 3 则 T= π- = π, 4 6 12 4 ∴T=π,∴ω=2. π π π ∴2× +φ= ,∴φ= . 12 2 3

π 答案:2 3

考点探究讲练互动
考点突破 考点1 三角函数的图象及其变换

例1

?2x+π ?. 已知函数 y=2sin 3? ?

(1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在同一个周期内 的图象;

?2x+π ?的图象可由 y= (3)说明 y=2sin 3? ?
sinx 的图象经过怎样的变换而得到.

?2x+π ?的振幅 A=2, 【解】 (1)y=2sin 3? ?
2π π 周期 T= =π,初相 φ= . 2 3 (2)列表,并描点画出图象:

π 2x+ 3 x

0 π - 6 0 0

π 2 π 12 1 2

π π 3 0 0

3π 2 7π 12 -1 -2

2π 5π 6 0 0

?2x+π? y=sin 3? ? ?2x+π ? y=2sin 3? ?

π (3)把 y=sinx 的图象上所有的点向左平移 个 3

?x+π ?的图象,再把 y= 单位,得到 y=sin ? 3? ?x+π ?的图象上的点的横坐标缩短到原 sin ? 3?
1 ?2x+π ?的 来的 倍(纵坐标不变), 得到 y=sin 3? 2 ?

?2x+π ?上所有点的纵坐 图象, 最后把 y=sin 3? ?
标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变),即可得

?2x+π ?的图象. 到 y=2sin 3? ?

【题后感悟】 (1)作三角函数图象的基本方
法就是五点法,此法注意在作出一个周期上 的简图后,应向两端伸展一下,以示整个定 义域上的图象; (2)变换法作图象的关键是看 x 轴上是先平移 后伸缩还是先伸缩后平移,对于后者可利用

?x+ φ ?来确定平移单位. ωx+φ=ω ? ω?

备选例题(教师用书独具)


?ωx+π ?的图象向 设 ω>0,函数 y=sin 3? ?

4π 右平移 个单位后与原图象重合,则 ω 的最 3 小值是( 2 A. 3 3 C. 2 ) 4 B. 3 D.3

?ωx+π ?的图象向 【解析】 函数 y=sin 3? ?
4π 右平移 个单位所得的函数解析式为 y 3

?ω?x-4π ?+ π?= =sin ? 3 ? 3? ? ??ωx+π ? -4πω?,又因为函数 y= sin ? 3? 3 ? ?

?ωx+π ?的图象向右平移4π 个单位后与 sin 3? ? 3
4π 3 原图象重合, ∴ ω=2kπ?ω= k(k∈Z), 3 2 3 ∵ω>0,∴ω 的最小值为 ,故选 C. 2
【答案】 C

考点2

由图象求函数解析式

A>0, 例2 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R, π ω>0,0<φ< )的部分图象如图所示. 2 (1)求 f(x)的解析式;

?f?x- π ? ?2,求函数 g(x)在 x∈ (2)设 g(x)= ? ? 12? ? ?-π, π ?上的最大值,并确定此时 x 的值. ? 6 3?

【解】

(1)由图知 A=2,

T π 2π π = ,则 =4× , 4 3 3 ω 3 ∴ω= . 2

?-π ? 又f 6 ? ?

?3×?-π ?+φ? =2sin 2 ? 6 ? ? ? ?-π+φ?=0, =2sin 4 ? ? ?φ- π ?=0, ∴sin ? 4?

π π π π π ∵0<φ< ,∴- <φ- < ,∴φ- =0, 2 4 4 4 4 π 即 φ= , 4

?3x+π ?. ∴f(x)的解析式为 f(x)=2sin 2 4? ?

?x- π ?=2sin?3?x- π ?+ π ? (2)由(1)可知 f ? 12 ? ?2? 12 ? 4 ? ?3x+ π?, =2sin 2 8? ? ?f?x- π ? ?2=4× ∴g(x)= ? ? 12? ? ?3x+π ?, =2-2cos 4? ? ?3x+ π ? 1-cos 4? ?
2

?-π, π ?,∴-π≤3x+π≤5π, ∵x∈ 6 3 ? ? 4 4 4
π π ∴当 3x+ =π,即 x= 时,g(x)max=4. 4 4

【题后感悟】

根据三角函数图象求函数的解

析式,主要解决两个问题,一个是ω,一个是 φ.ω由三角函数的周期确定,φ由函数图象的位 置确定,解决这类题目一般是先根据函数图象 找到函数的周期确定ω的值.对于φ值的确定, 若能求出距离原点最近的右侧图象上升(或下降) 的零点x0,令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求 出φ,也可以用最高点或最低点的坐标来求,如 果对φ有范围要求,则可用诱导公式转化.

备选例题(教师用书独具)


(2011· 高考辽宁卷)已知函数 f(x)=

?ω>0,|φ|<π ?,y=f(x)的部分 Atan(ωx+φ) 2? ? ? π ?=( 图象如图所示,则 f 24 ? ?
A.2+ 3 3 C. 3 B. 3 D.2- 3 )

π ?3π-π ?= 【解析】 由图形知, T= =2 8 8? ? ω π ,∴ω=2. 2 3 π π 由 2× π+φ=kπ, k∈Z, |φ|< , φ= , 知 8 2 4

?2×0+π ?=1,知 A=1, 由 Atan 4? ?

?2x+π ?, ∴f(x)=tan 4? ? ? π ?=tan?2× π +π ?=tanπ= 3. ∴f 24 ? ? ? 24 4 ? 3
【答案】 B

变式训练
1.已知函数 y=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0, π? 0<φ< ?的图象经过点(0,1), 且一个最高点的 2 坐标为(1,2),则 ω 的最小值是________.

(

解析:因为最高点的纵坐标为 2,所以 A=2. 又因为图象经过点(0,1),所以 2sinφ=1, 1 π π 即 sinφ= ,又 0<φ< ,所以 φ= . 2 2 6 最高点的坐标为(1,2), π ?ω+ π ?=2, 所以 2sin 解得 ω=2kπ+ (k∈Z), 6? ? 3 π 所以 ω 的最小值是 . 3

π 答案: 3

考点3
例3

三角函数模型的简单应用
青岛第一海水浴场位于汇泉湾畔,

拥有长580米,宽40余米的沙滩,是亚洲较 大的海水浴场.这里三面环山,绿树葱茏,

现代的高层建筑与传统的别墅建筑巧妙地
结合在一起,景色非常秀丽.海湾内水清 浪小,滩平坡缓,沙质细软,自然条件极 为优越.已知海湾内海浪的高度y(米)

是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作y =f(t).下表是某日各时刻记录的浪高数据:

t

0

3

6

9

12 15 18

21

24

y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5

经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是 函数y=Acosωt+b的图象的一部分.

(1)根据以上数据,求函数y=Acosωt+b的最
小正周期T,振幅A及函数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于1米时才对冲 浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天 内8∶00到20∶00之间,有多少时间可供冲

浪者进行运动?

【解】

(1)由表中数据,知周期 T=12,

2π 2π π ∴ω= = = , T 12 6 由 t=0,y=1.5,得 A+b=1.5; 由 t=3,y=1.0,得 b=1, 1 1 π ∴A=0.5,∴振幅为 ,y= cos t+1. 2 2 6

(2)由题知,当 y>1 时才可对冲浪者开放, 1 π π 令 cos t+1>1,即 cos t>0, 2 6 6 π π π ∴2kπ- < t<2kπ+ ,k∈Z, 2 6 2 即 12k-3<t<12k+3,k∈Z. ① ∵0≤t≤24,故可令①中的 k 分别为 0,1,2, 得 0≤t<3,或 9<t<15,或 21<t≤24. ∴在规定时间 8∶00 到 20∶00 之间,有 6 小时 的时间可供冲浪者运动,即 9∶00 到 15∶00.

【题后感悟】

三角函数模型在实际中的应

用体现在两个方面,一是已知函数模型求解

数学问题,如本例,关键是准确理解自变量
的意义及自变量与函数之间的对应关系,二 是把实际问题抽象转化成数学问题,建立三 角函数模型,再利用三角函数的有关知识解 决问题,其关键是迅速建模.

备选例题(教师用书独具)


一个物体相对于某一固定位置的位移

y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示:
t y 0 -4.0 0.1 0.2 0.3 2.8 0.4 0.5 4.0 2.8 0.6 0.0 0.7 0.8

-2.8 0.0

-2.8 -4.0

则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间 关系的一个三角函数模型为________.

【解析】
T=0.8,

y=Acos(ωt+φ),则A=4,

∴ω=2.5π,代入最低点(0,-4)得 φ=π,∴y=-4cos2.5πt. 【答案】 y=-4cos2.5πt

变式训练
2.如图为一个缆车示意图,该缆车半径为 4.8米,圆上最低点与地面的距离为0.8米,

且每60秒转动一圈,图中OA与地面垂直,
以OA为始边,逆时针转动θ角到OB,设B点 与地面间的距离为h. (1)求h与θ间的函数关系式;

(2)设从OA开始转动,经过t秒到达OB,求h 与t之间的函数关系式,并求该缆车首次到达

最高点时所用的时间.

解:(1)过点 O 作地面的平行线 ON,过点 B 作 ON 的垂线 BM 交 ON 于点 M(如图), π π 当 θ> 时,∠BOM=θ- , 2 2 h=OA+BM+0.8

?θ- π?. =5.6+4.8sin? 2?

π 当 0≤θ≤ 时,上式也成立. 2 ∴h 与 θ 间的函数关系式为 h=5.6+4.8sin(θ π - ). 2 π (2)点 A 在圆上转动的角速度是 弧度/秒, 30 π ∴t 秒转过的弧度数为 t, 30

π π ∴h=5.6+4.8sin( t- ),t∈[0,+∞). 30 2 首次到达最高点时,h=10.4 米, π π π π π 即 sin( t- )=1, t- = , 30 2 30 2 2 即 t=30 秒时,该缆车首次到达最高点.

方法感悟 方法技巧
1.五点法作函数图象及函数图象变换问题
(1)当明确了函数图象基本特征后,“描点法” 是作函数图象的快捷方式.运用“五点法”作 正、余弦型函数图象时,应取好五个特殊点, 并注意曲线的凹凸方向.

(2)在进行三角函数图象变换时,提倡“先平 移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也经

常出现在题目中,所以也必须熟练掌握,无
论是哪种变形,切记每一个变换总是对自变 量x而言,即图象变换要看“变量”起多大 变化,而不是“角”变化多少(如例1). 2.由图象确定函数解析式

由函数 y=Asin(ωx+φ)的图象确定 A、ω、φ 的题型,常常以“五点法”中的第一零点

?- φ ,0?作为突破口,要从图象的升降情况 ? ω ?
找准第一零点的位置.要善于抓住特殊量和 特殊点(如例 2). 3.对称问题

函数y=Asin(ωx+φ)的图象与x轴的每一个交 点均为其对称中心,经过该图象上坐标为

(x,±A)的点与x轴垂直的每一条直线均为其
图象的对称轴,这样的最近两点间横坐标的 差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间 的距离).

失误防范
1.由函数y=sin x(x∈R)的图象经过变换得

到函数y=Asin(ωx+φ)的图象,在具体问题
中,可先平移变换后伸缩变换,也可以先 伸缩变换后平移变换,但要注意:先伸 缩,后平移时要把x前面的系数提取出来.

2.注意复合形式的三角函数的单调区间的 求法.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单

调区间的确定,基本思想是把ωx+φ看作一
个整体.在单调性应用方面,比较大小是一 类常见的题目,依据是同一区间内函数的单 调性.

考向瞭望把脉高考
命题预测
从近几年的高考试题来看,函数y=Asin(ωx +φ)的图象和性质一直是高考数学的热点内 容之一,对其图象和性质的考查多为一个小 题,一个大题,一般以基础题的形式出现,

属于低、中档难度的题目,整个命题过程主
要侧重于三角函数的图象

及其变换、求三角函数的解析式. 预测2013年高考,仍将以三角函数的图象及 其变换,求三角函数的解析式为主要考点,

重点考查数形结合的思想.

规范解答


(本题满分 12 分)(2010· 高考广东卷)已知

函数 f(x)=Asin(3x+φ)(A>0, x∈(-∞, +∞), π 0<φ<π)在 x= 时取得最大值 4. 12 (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的解析式;

?2α+ π ?= 12,求 sinα. (3)若 f 3 12 ? 5 ?

2π 【解】 (1)由 ω=3 可得最小正周期 T= = ω 2π .2 分 3

?3× π +φ? (2)由最大值为 4, A=4, sin 得 且 ? 12 ?
=1, π π 则 φ+ = +2kπ(k∈Z), 4 2

π 得 φ= +2kπ(k∈Z).5 分 4 π ∵0<φ<π,∴φ= , 4

?3x+π ?.7 分 ∴f(x)=4sin 4? ? ?2α+ π ?=4sin?2α+ π ?=4cos2α= (3)∵f 3 12 ? 2? ? ?
12 , 5

3 1 1 2 ∴cos2α= ,∴sin α= (1-cos2α)= , 5 2 5 5 ∴sinα=± .12 分 5

【得分技巧】 解答本题关键: 一是由 x
π = ,y=4 求 α 的值,二是化简 12

?2α+ π ? ,在化简时要明确三角公式. f? 3 12?

【失分溯源】 在解答本题时有两点容
易造成失分: 一是对于三角函数 y=Asin(ωx+φ)中 T= 2π ,A,φ 的求解不准确. ω 二是在得出解析式后代入求解过程不正 确,对 sinα 的取值极易只得 sinα 的正值 而忽略了负值.


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