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【人教A版】高中数学同步辅导与检测必修1第二章2.2-2.2.2第1课时对数函数的图象及其性质

第二章

基本初等函数(Ⅰ) 2.2 对数函数

2.2.2 第 1 课时

对数函数及其性质 对数函数的图象及其性质
A级 基础巩固

一、选择题
? ? ? ?1? x ?, 1. 已知集合 A={y|y=log2x, x>1}, B=?y?y=? ? ,x<0 则 A∩B ?2? ? ? ?

=(

) A.{y|0<y<1}
? ?1 ? C.?y?2<y<1? ? ? ?

B.{y|y>1} D.?

解析:因为 A={y|y>0},B={y|y>1}. 所以 A∩B={y|y>1}. 答案:B 2.已知 x=20.5,y=log52,z=log50.7,则 x,y,z 的大小关系 为( ) A.x<y<z C.z<y<x B.z<x<y D.y<z<x

解析:因为 x=20.5>20=1,0<y=log52<1, z=log50.7<0,所以 z<y<x. 答案:C

3.函数 f(x)= A.(-∞,9] C.(0,9]

1 的定义域是( 2-log3x B.(-∞,9) D.(0,9)

)

解析: 要使函数有意义, 只需 2-log3x>0, 即 log3x<2.所以 0<x<9. 答案:D 4.已知 f(x)为 R 上的增函数,且 f(log2x)>f(1),则 x 的取值范围 为(
?

)
?1 ? A.?2,2? ? ? 1? B.?0,2?∪(2,+∞) ? ?

C.(2,+∞)

D.(0,1)∪(2,+∞)

解析:依题意有 log2x>1,所以 x>2. 答案:C 5.已知 a>0,且 a≠1,则函数 y=x+a 与 y=logax 的图象只可 能是( )

解析:当 a>1 时,函数 y=logax 为增函数,且直线 y=x+a 与 y 轴交点的纵坐标大于 1;当 0<a<1 时,函数 y=logax 为减函数,且直 线 y=x+a 与 y 轴交点的纵坐标在 0 到 1 之间,只有 C 符合,故选 C. 答案:C 二、填空题 6.给出下列函数: (1)y=loga(x+7);(2)y=4log3x; (3)y=2logax+1;(4)y=log0.2x.

其中是对数函数的是________(填写序号). 解析:根据对数函数的定义判断. 答案:(4) 7.函数 y=loga(2x-3)+1 的图象恒过定点 P,则点 P 的坐标是 ________. 解析:当 2x-3=1,即 x=2 时,y=1,故点 P 的坐标是(2,1). 答案:(2,1)
?2 ? 8.函数 y=log1(3x-a)的定义域是?3,+∞?,则 a=________. ? ? 2

a a 2 解析:根据题意,得 3x-a>0,所以 x> ,所以 = ,解得 a= 3 3 3 2. 答案:2 三、解答题 9.设 a>1,函数 f(x)=logax 在区间[a,2a]上的最大值与最小值 1 之差为 ,求实数 a 的值. 2 解:因为 a>1,所以 f(x)=logax 在(0,+∞)上是增函数. 所以最大值为 f(2a),最小值为 f(a). 1 所以 f(2a)-f(a)=loga2a-logaa= , 2 1 即 loga2= ,所以 a=4. 2 10.已知函数 f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0 且 a≠1). (1)求函数 f(x)的定义域; (2)若函数 f(x)的最小值为-2,求实数 a 的值.
? ?1+x>0, 解:(1)由题意得? 解得-1<x<3, ?3-x>0, ?

所以函数 f(x)的定义域为(-1,3). (2)因为 f(x)=loga[(1+x)(3-x)] =loga(-x2+2x+3)=loga[-(x-1)2+4], 若 0<a<1,则当 x=1 时,f(x)有最小值 loga4, 所以 loga4=-2,a-2=4, 1 所以 a= . 2 若 a>1,则当 x=1 时,f(x)有最大值 loga4, f(x)无最小值. 1 综上可知,a= . 2 B级 能力提升

1. 已知图中曲线 C1, C2, C3, C4 分别是函数 y=loga1x, y=loga2x, y=loga3x,y=loga4x 的图象,则 a1,a2,a3,a4 的大小关系是( )

A.a4<a3<a2<a1 C.a2<a1<a3<a4

B.a3<a4<a1<a2 D.a3<a4<a2<a1

解析:作 x 轴的平行线 y=1,直线 y=1 与曲线 C1,C2,C3,C4 各有一个交点,则交点的横坐标分别为 a1 , a2 , a3 , a4. 由图可知 a3<a4<a1<a2. 答案:B 1?x ?? ? ? ,x≥4, 2.给出函数 f(x)=??2? 则 f(log23)=______. ?f(x+1),x<4, 解析:因为 1<log23<log24=2,所以 3+log23∈(4,5),

所以 f(log23)=f(log23+1)=f(log23+2)=
?1?log224 f(log23+3)=f(log224)=?2? = ? ?

答案:

1 24

x? ? x? ? 1 ?log2 ?的 3. 已知实数 x 满足-3≤log1x≤- .求函数 y=?log22?· 4? 2 ? ? ? 2 值域. x?? x? ? 解:y=?log22??log24?=(log2x-1)(log2x-2)=
? ?? ?
2 log2 x-3log2x+2.

1 1 因为-3≤log1x≤- ,所以 ≤log2x≤3. 2 2 2
?1 ? 令 t=log2x,则 t∈?2,3?, ? ? ? 3?2 1 y=t2-3t+2=?t-2? - , 4 ? ?

3 1 所以 t= 时,ymin=- ;t=3 时,ymax=2. 2 4
? 1 ? 故函数的值域为?-4,2?. ? ?


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