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第章随机变量的分布与数字特征_图文

第二章 随机变量的分布及其数字特征
§2.1 随机变量及其分布
一. 随机变量的概念
为了全面地研究随机试验的结果,揭示客观存在 着的统计规律性,我们将随机试验的结果与实数 对应起来,将随机试验的结果数量化,引入随机 变量的概念.

在许多带有随机因素的实际问题中,我们往往 只关心某些数据,如电子元件的寿命、车站的候车 人数等等.此外人们还发现建立数和人或其他事物 的对应关系会带来许多便利,比如每一个学生可以 用一个学号与之对应,城市的每一间房屋可以用一 个门牌号与之对应,工厂生产的同一种型号产品,比 如计算机,可以用一个代码与之对应.同样,建立数 和基本事件的对应关系将有助于我们利用现有的 一些数学方法对随机现象作进一步的研究.

定义:设随机试验 E 的样本空间 ? ,如果对任意的基 本事件? ?? ,有一个实数 X ? X (?) 与之对应,就称 X 为随机变量.
通常,我们用大写字母X、Y、Z等表示随机变量.
引入随机变量后,就可以用随机变量X描述事件 .一般对于任意的实数集合L,{X ∈L}表示事件 { ?|X(? )∈L}.

例:设 10 件产品中有 8 件合格品和 2 件不合格品,

从中随机抽取一件,令

?1, 取到合格品 X ? ??0,取到不合格品
则 X 是一个随机变量,它只取两个可能值 0 和 1. 如果我们把产品编号,1 到 8 号为合格品,9 到 10 号为

不合格品,样本空间可表示为 ? ? {?1,?,?10} ,其中? i 表

示取到第 i 号产品.这时基本事件与随机变量的对应

关系为

X

(? i

)

?

?1,  i ? 1,?,8

? ?

0,

 i

?

9,10

例:考察一个医院每天的就诊人数 X,则 X 是一个随 机变量,它的取值范围是 X ? 0,1,2,?.
例:观察公交车站上乘客的等车时间 X,X 是一个随机 变量,它的取值范围是某一个区间.
例:记录中央电视台新闻联播节目的播出时间长度 X,则 X 也是一个随机变量,它的取值范围也是一 个区间.

二. 离散型随机变量的概率分布
定义:如果随机变量 X 所有可能取值只有有限个 或可列无限多个,则称 X 为离散型随机变量.
设离散型随机变量 X 所有可能取的值为 x1, x2 ,?,X 取值为 xk 的概率为
P( X ? xk ) ? P(xk ) ? pk , k ? 1,2,?. 称为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律.

分布律还可以简单地表示为:
X x1 x2 … xk … P p1 p2 … pk …
上表称为随机变量X的概率分布表。
分布律具有以下性质:
1. pk ? 0,  k ? 1,2,?
?
2. ? pk ? 1 k ?1

例:实验室共有 40 台同类仪器,其中有 5 台仪器不能 正常工作.某班实验课随机取其中的 34 台做实验,求 取到的不能正常工作的仪器台数 X 的分布律.
解 X 的分布律为:

P( X

? k)

?

C5k

C 34?k 35

C4304

, k

? 0,1,?,5

例:设一汽车在开往目的地的道路上需经过四个信号灯,每 个信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过.以X表示汽车 首次停下时,它已通过的信号灯数(设各信号灯的工作是相 互独立的),求X的分布律.

解 以p表示每个信号灯禁止汽车通过的概率,易知X的分 布律为

X0 1

2

3

4

P p (1-p)p (1-p)2p (1-p)3p (1-p)4

或写成P{X=k}=(1-p)kp,k=0,1,2,3;P{X=4}=(1-p)4. 以p=1/2代入得

X0 1

2

3

4

P 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.0625

例: 设随机变量 X 具有分布律

P(X ? k) ? ak, k ? 1,2,3,4,5

(1)确定常数 a

.(2)计算

P(

1 2

?

X

?

5) 和 P(1 ?
2

X

?

2) .

解(1)由分布律的性质,得

.

? ? 5 P( X ? k) ? 5 ak ? a 5 ? 6 ? 1

k ?1

k ?1

2

从而 a ? 1
15

(2) P(1 ? X ? 5) ? P(X ? 1) ? P(X ? 2) ? 1 ? 2 ? 1

2

2

15 15 5

P(1 ? X ? 2) ? P(X ? 1) ? P(X ? 2) ? 1 ? 2 ? 1 15 15 5

从上面的例子可知,若已知离散型随机变 量的概率分布{p(xi)},则对任意区间I,
P(X ? I ) ? ? p(xi ) xi ?I

三. 分布函数
定义: 设 X 是一随机变量, x 是任意实数,函数 F(x) ? P(X ? x) ,x ? (??,??)
称为 X 的分布函数,记作 X~F(x).
随机变量 X 落在任意区间 (a,b]内的概率可以由 分布函数表示为:
P(a ? X ? b) ? P(X ? b) ? P(X ? a) ? F(b) ? F(a)

分布函数的性质

1.F(x)关于 x 单调不减,即当 x1 ? x2 时, F(x1) ? F(x2 ) ;

2.0

?

F ( x)

?

1,F(??)

?

lim
x???

F ( x)

?

0,

F (??)

?

lim
x???

F ( x)

?1;

3. P(a ? X ? b)? F(b) ? F(a) ;

4.F(x)关于 x 右连续,即对任意 ? ? ? x0 ? ??,

都有

F ( x0

?

0)

?

lim
x?x0 ?0

F ( x)

?

F(x0 )

.

?例:设随机变量X的分布律为 即 ?0, x ? ?1

X -1 P 1/4

2

3

1/2 1/4

F

(

x)

?

??1/ 4, ??3 / 4,

?1? x ? 2 2? x?3

求X的分布函数,并求

??1, x ? 3

P{X≤1/2},P{3/2<X

? P{X≤1/2}=F(1/2)=1/4

≤5/2},P{2≤ X≤ 3}.

? P{3/2<X ≤5/2}

解:由概率的有限可加性

=F(5/2)-F(3/2)


?0,

x ? ?1

=3/4 -1/4=1/2

F

(x)

?

??1 ??1

/ /

4, 4 ?1

/

2,

?1? x ? 2 2? x?3

?

P{2≤ X≤ 3} = F(3)-F(2)+P{X=2}

??1/ 4 ?1/ 2 ?1/ 4, x ? 3

=1-1/4+1/2=3/4

F(x)的示意图 F(x)

1

0.5 0.25

-1 1 2 3

x

四、离散型随机变量的分布函数
设离散型随机变量分布律为
P{X=xk}=pk,k=1,2,…
由概率的可列可加性得X的分布函数为
F(x)= P{X≤x}=∑P{X=xk}=∑pk 这里和式是对于所有满足xk≤x的k求和.
F(x)是一个阶梯函数,它在 x 的每一个可能取值 点 xk 处发生间断,其跳跃度正好是 pk

例: 设随机变量 X 的分布函数为

? 0, x ? ?1

F

(x)

?

??0.2,?1 ?

? ?

0.7,2

?

x?2 x?4



?? 1, x ? 4

(1)

求 P(X

?

3)

,

P(

1 2

?

X

? 3) 及 P(X

?

2) ;

(2) 求 X 的分布律.

解 (1) P(X ? 3) ? F(3) ? 0.7

P(1 ? X ? 3) ? F(3) ? F(1) ? 0.7 ? 0.2 ? 0.5

2

2

P(X ? 2) ?1? P(X ? 2) ?1? P(X ? 2) ? P(X ? 2)

? 1? F(2) ? F(2 ? 0) ? F(2 ? 0)

? 1? 0.7 ? 0.5 ? 0.8

(2) 由于 P(X ? X 0 ) ? F(x0 ? 0) ? F(x0 ? 0) ,可得
P(X ? ?1) ? 0.2 ? 0 ? 0.2,
P(X ? 2) ? 0.7 ? 0.2 ? 0.5,

P(X ? 4) ? 1? 0.7 ? 0.3

故 X 的分布律为 X -1

2

4

Pk 0.2 0.5 0.3

五、连续型随机变量及其概率密度
例: 设随机变量 X 在区间[a,b] 上等可能地取值,求 X 的分布函数(服从均匀分布). 解 当 x ? a 时, “ X ? x ”是不可能事件, 因此
F(x) ? P(X ? x) ? 0
当 a ? x ? b 时,
F(x) ? P(X ? x) ? P(X ? a) ? P(a ? X ? x) ? 0 ? P(a ? X ? x) ? x ? a
b?a

当 x ? b时,“ X ? x ”是必然事件,从而

F(x) ? P(X ? x) ? 1

综上所述

? 0,  x ? a

F ( x)

?

?x ??b ?

? a , a ? x ? ?a 1,  x ? b

b

如果令

f

(x)

?

dF ( x) dx

?

?? ?b ??

1 , a ? x ? b ?a 0,  其他 

? 则有

 x
F (x) ? f (t)dt

 ??

连续型随机变量的定义
定义: 设随机变量 X,如果存在非负可积函数 f(x), 使对任意 ? ? ? x ? ??,都有
 x
? , F (x) ? P(X ? x) ? f (t)dt  ??
则称 X 为连续型随机变量,称 f(x)为 X 的概率密 度函数,简称密度函数或密度.
由微积分学知识可知,连续型随机变量的分布函数 是一个连续函数.

一个连续型随机变量的分布由它的密度函数所 决定,F(x)的值在几何上可以表达为 t 轴以上,曲线 y=f(t)以下,直线 t=x 以左部分的面积.

设X为连续型随机变量, 则对任意的实数a<b

P(a ? X ? b) ? F(b) ? F(a)

 b

 a

 b

? ? ? ? f (t)dt ? f (t)dt ? f (t)dt

 ??

 ??

 a

即X落在区间的概率为密度函数y=f(t)与直线 t=a,t=b及t轴所围面积.

因此, X取任意单点值a的概率
P(X ? a) ? 0
从而
P(a ? X ? b) ? P(a ? X ? b)
? P(a ? X ? b) ? P(a ? X ? b)
 b
? ? F (b) ? F (a) ? f (t)dt  a

密度函数的性质

连续型随机变量的密度函数有如下性质:

1. f (x) ? 0

??
? 2. f (x)dx ? 1 ??

 b
? 3. P(a ? X ? b) ? f (x)dx  a

4.



f

(x)

的连续点上,有

dF(x) dx

?

f (x)

注:若某一函数满足以上性质1,2,则它可 以作为某个连续型随机变量的分布函数。

例: 设随机变量 X 的密度函数为
f (x) ? ???????60?2,x6, x, 0  ?12 x?其?x 12他? 1 ??
求分布函数 F(x). 解 f(x)的图形如图

? 当 x<0 时,

F(x) ?

 x
0dt ? 0

 ??

? ? 当

0

?

x

?

1 2

时,

F(x) ?

 0
0dt ?

 x 2tdt ? x 2

 ??

 0

? ? ? 当 时, 1 ? x ? 1 2

F(x) ?

 0
0dt ?

 1 2
2tdt ?

 x
(6

?

6t)dt

?

6x

?

3x 2

?

2

 ??

 0

 1 2

? ? ? ? 当 x>1 时,

 0

  1 2

 1

 x

F(x) ? 0dt ? 2tdt ? (6 ? 6t)dt ? 0dt ? 1

 ??

 0

 1 2

 1

从而得

? 0,    x ? 0

F

(

x)

?

? ?? ? ?6

x2,  0 ? x ? 1 2
x ? 3x2 ? 2, 1 ? x ?

1

? ??

2 1,    x ? 1

? 例:试确定常数a,使
?x, 0 ? x ? 1 p(x) ? ??a ? x,1 ? x ? 2
??0, 其他
为某个随机变量X的概率密度,且计算事件{1.5<X ≤2}的概率.

? ? ? ?

解因
1?

??
p(x)dx ?

1
xdx ?

2
(a

?

x)dx

?

x2

1

?

(ax

?

x2

)

2

?

a

?1

??

0

1

2

2

0

1

所以a =2.



?x, 0 ? x ? 1

p(x) ? ??2 ? x,1 ? x ? 2

从而

??0, 其他

2

? P{1.5 ? X ? 2} ? (2 ? x)dx ? 0.125 1.5

作业P44, 4,5,6,9,11

§2.2 随机变量的数字特征
我们知道,随机变量的分布列或概率密度,全面地 描述了随机变量的统计规律.但在许多实际问题 中,这样的描述并不使人感到方便.
设一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量,如 果要比较两个品种的母鸡的年产蛋量,通常只要 比较这两个品种的母鸡的年产蛋量的平均值就 可以了.
平均值大就意味着这个品种的母鸡的产蛋 量高.如果不去比较它们的平均值,而只看它们的 分布列,虽然全面,却使人不得要领,既难以掌握, 又难以迅速地作出判断.

1. 随机变量的数学期望
1.1 离散型随机变量的数学期望
例:有A,B两射手,他们的射击技术如表所 示,试问哪一个射手本领较好?

射手名称 击中环数
概率

A

B

8 9 10 8 9 10

0.3 0.1 0.6 0.2 0.5 0.3

? 例:某手表厂在出厂产品中,抽查了N=100只手 表的日走时误差,其数据如表:

日走时误差xk 只数Nk

-2 -1 0 1 2 3 4 3 10 17 28 21 16 5

则抽查到的100只手表的平均日走时误差为

? x ? k xk ? Nk ? (?2) ? 3 ? (?1) ?10 ? 0 ?17 ? 1? 28 ? 2 ? 21 ? 3 ?16 ? 4 ? 5 ? 1.22

N

100

? ? 即 平均值 ?

xk

?

Nk N

?

xk ? fk

? 如果另外再抽验100只手表,每作一次这样的检 验,就得到一组不同的频率,也就有不同的日走时误 差的平均值.由关于频率和概率关系的讨论知,理论 上应该用概率去代替上述和式的频率,这时得到的 平均值才是理论上(也是真正)的平均值.
? 这样我们就引出了随机变量的数学期望的概念.

定义:设离散型随机变量X的概率分布为

P{X ? xk } ? pk 如若

k ? 1,2,...

?| xk | pk ? ??
k
则称 ? xk pk 为随机变量X的数学期望,记为E(X).
k
如果
?| xk | pk ? ??
k
则称随机变量X的数学期望不存在.

注:要求 ?| xk | pk ? ?? 是因为离散型随机变量的取值
k
可以按不同顺序排列,而改变顺序时,数学期望的取值
不应改变。而 ?| xk | pk ? ?? 能保证不管离散型随机变
k
量的顺序如何, ? xk pk 的值都一样。
k

? 例:有A,B两射手,他们的射击技术如表所示, 试问哪一个射手本领较好?

射手名称 击中环数
概率

A

B

8 9 10 8 9 10

0.3 0.1 0.6 0.2 0.5 0.3

解 A射击平均击中环数为
8 ? 0.3 ? 9 ? 0.1 ? 10 ? 0.6 ? 9.3
B射击平均击中环数为
8 ? 0.2 ? 9 ? 0.5 ? 10 ? 0.3 ? 9.1
所以A的射击技术较B的好.

例:某工人工作水平为:全天不出废品的日子 占 30%,出一个废品的日子占 40%,出二个废品 占 20%,出三个废品占 10%。
① 设 X 为一天中的废品数,求 X 的分布律; ② 这个工人平均每天出几个废品?
解 ① 分布律为: X 0 1 2 3
P 0.3 0.4 0.2 0.1 ② 平均废品数为:
E(X ) ? 0? 0.3 ?1? 0.4 ? 2? 0.2 ? 3? 0.1 ? 1.1(个/ 天)

1.2 连续型随机变量的数学期望
我们已知离散型随机变量X的数学期望为
E(X)= ? xk pk k
自然要问连续型随机变量的数学期望是什么?

设p(x) 是连续型随机变量X的密度函数,取分点

x0<x1<…<xn+1

则随机变量X落在△xi=(xi, xi+1)中的概率为

? P{X ? ?xi} ?

xi?1 xi

?xi相当小时
p(x)dx ?

p(xi )?xi

?

P{Y

?

xi }

与X近似的随机变量Y的数学期望为

n
? xi p(xi )?xi

i?0

由微积分知识自然想到X的数学期望为

?
???

xp(

x)dx

? 定义:设连续型随机变量X的密度函数为p(x),若

则称

??
? | x | p(x)dx ? ?? ?? ??
? xp(x)dx ??

为连续型随机变量X的数学期望,记为E(X).

? 如果

??
? | x | p(x)dx ? ?? ??

则称连续型随机变量X的数学期望不存在.

? 例:设随机变量X的概率密度函数为

?2x, p(x) ? ??0,

0? x ?1 其他

试求X的数学期望



??

1

? ? E(X ) ? xp(x)dx ??

?

x ? 2xdx
0

?? 12x2dx ? 2 x3 1 ? 2

0

3 03

? 例:若随机变量X的概率密度函数为

11

p(x)

?

?

? 1?

x2

,

? ? ? x ? ??

问随机变量X的数学期望E(X)是否存在.

? ? ? 解

??
| x | p(x)dx ?
??

??
|
??

x

|

1
?

1 1? x2

dx

?

2
?

?? x 0 1? x2 dx

? ? 1
?

?? 0

1 1? x2

d

(1?

x2

)

?

1
?

ln(1

?

x2

)

|0??

?

?

所以E(X)不存在.但

? ? ?? xp(x)dx

?

1

??

?

??
?? 1

x ?x

2

dx

?

0

1.3 随机变量函数的数学期望

? 定理:设Y是随机变量X的函数:Y=f(X)(f是连续函数).

? (1)设离散型随机变量X的概率分布为

P{X=xk}=pk, k=1,2,...

?

? 若

| f (xk ) | pk ? ??

? 则

k ?1

?

E(Y ) ? E[ f ( X )] ? f (xk ) pk

k ?1

? (2)设连续型随机变量X的密度函数为p(x),若

??

? | f (x) | p(x)dx ? ?? ??

??

? 则有 E(Y ) ? E[ f ( X )] ? f (x) p(x)dx ??

证明:这里仅对离散型随机变量的情形予以证明。
令Y ? f (X ), 则Y为离散型随机变量 ,
设其可能值为 y j , j ? 1,2,...于是
? P(Y ? y j ) ? P( { f (xi ) ? y j }
i
? P( ?{X ? xi}
i: f ( xi )? y j
? ? P({X ? xi}) i: f ( xi )? y j

? 由数学期望定义有 E(Y ) ? Ef ( X ) ? y j P(Y ? y j ) j

? ? y j ? P({X ? xi})

j

i: f ( xi )? y j

? ? ? f (xi )P({X ? xi}) j i: f ( xi )? y j

? ? f (xi )P({X ? xi}) i
例.已知X ~ U (a,b),求Y ? g( X ) ? X 2的期望.

? 解 : EY ? EX 2 ? b x2 ? 1 dx a b?a

? 1 ? x3 b?a 3

b a

? b3 ? a3 ? a2 ? ab ? b2 .

3(b ? a)

3

例. 已知随机变量X的概率分布为:
X -1 0 1 2 P 0.1 0.3 0.4 0.2
对于Y ? g1(X ) ? 2X ? 3与Z ? g2 (X ) ? X 2 , 求EY与EZ. 解 : EY ? E(2X ? 3) ? [2 ? (?1) ? 3]? 0.1 ?     ? (2 ? 0 ? 3) ? 0.3 ? (2 ?1? 3) ? 0.4 ?     ? (2 ? 2 ? 3) ? 0.2 ? ?1.6;

EZ ? EX 2 ? (?1)2 ? 0.1 ? 02 ? 0.3 ?       ? 12 ? 0.4 ? 22 ? 0.2      ? 1.3
也可以先求出 Y ? 2X ? 3与Z ? X 2的概率分布 :
Y=2X-3 -5 -3 -1 1 P 0.1 0.3 0.4 0.2
? EY ? ?1.6;
Z ? X2 0 1 4
? EZ ? 1.3
P 0.3 0.5 0.2

1.4 数学期望的性质
1.若a≤X≤b,则E(X)存在,且有a≤E(X)≤b.特别,若C 是常数,则E(C)=C. 2.设?1,? 2为任意实数, g1 (x), g2 (x)为任意
实函数,如果Eg1(x), Eg2 (x)均存在,则
E[?1g1 (x) ? ? 2 g2 (x)] ? ?1Eg1 (x) ? ? 2 Eg2 (x)
3.如果EX存在,则对任意实数 a, E(X ? a) ? EX ? a.

下面给出第一条性质的证明。其他请同学们完成。

证明(1)设离散型随机向量X分布列为

{X=xi}=pi, i=1,2,…

?

?

?

则 ? ? ? a ? a pi ? api ? xi pi ? E( X )

i ?1

i ?1

i ?1

?

?

? ? bpi ? b? pi ? b

i ?1

i ?1

?(2)设连续型随机变量X的概率密度为p(x),则

?

?

?

? ? ? a ? a p(x)dx ? ap(x)dx ? xp(x)dx

??

??

??

?

?

? ? ? E(X ) ? bp(x)dx ? b p(x)dx ? b

??

??

?(3)因为P{X=C}=1,故E(C)=E(X)=C×1=C

例:若EX,EX2都存在,试证明

E( X ? EX )2 ? EX 2 ? (EX )2

证明

E(X-EX)2=E{[X-E(X)]2} =E{X2 -2XE(X)+ [E(X)]2} = E(X2)-2E(X)E(X)+ [E(X)]2 = E(X2)- [E(X)]2

1.5 随机变量的方差

例:A,B两种手表的日走时误差分别具有如下 的分布律:

XA -1 0 1 XB -2 -1 0 1 2

p 0.1 0.8 0.1

0.1 0.2 0 0.2 0.1

易知E(XA)=E(XB)=0.由数学期望无法判别两种 手表的优劣.但直觉告诉我们A优于B,怎么样用 数学的方法把这种直觉表达出来呢?

分析原因:
? A手表之所以优于B手表,是因为A手表的日走时较 B手表稳定.其日走时与其日平均误差的偏离程度小. ? 研究随机变量与其均值的偏离程度是有必要的. ? 怎么样去度量这个偏离程度呢? ? (1)xk-E(X)表示xk与E(X)之间的偏差; ? (2)E[X-E(X)]不能反映X与E(X)之间的整体偏差;
? (3)E{|X-E(X)|}可以度量X与E(X)之间的整体偏差, 但运算不方便;
? (4)E{[X-E(X)]2}可以度量X与E(X)之间的整体偏差 ,且运算也较方便.

? 定义:设X是一个随机变量,若E{[X-E(X)]2}存 在,则称E{[X-E(X)]2}为X的方差.记为D(X)或 Var(X),即
D(X)= Var(X)= E{[X-E(X)]2}
? (X ) ? D(X ) 称为X的标准差
? 定理: D( X ) ? E( X 2 ) ?[E( X )]2

? 方差实际上是随机变量X的函数f(X)=[X-E(X)]2的 数学期望.于是

? (1)对于离散型随机变量X,若 P{X=xk}=pk,k=1,2,…



?

? D( X ) ? [xk ? E( X )]2 pk

k ?1

? (2)对于连续型随机变量X,若其概率密度为p(x),则

? D(X ) ?

??
[x

?

E(

X

)]2

p(

x)dx

??

? 例:A,B两种手表的日走时误差分别具有如下 表的分布律.问哪种手表质量好些?

XA -1 0 1 XB -2 -1 0 1 2

p 0.1 0.8 0.1

0.1 0.2 0 0.2 0.1

解 易知E(XA)=E(XB)=0.所以 D(X A ) ? [(?1) ? 0]2 ? 0.1 ? [0 ? 0]2 ? 0.8 ? [1 ? 0]2 ? 0.1 ? 0.2 D(X B ) ? [(?2) ? 0]2 ? 0.1 ? [(?1) ? 0]2 ? 0.2 ? [0 ? 0]2 ? 0.4 ? [1 ? 0]2 ? 0.2 ? [2 ? 0]2 ? 0.1 ?1.2
由于D(XA)<D(XB),因此A手表较B手表的质量好.

? 例:设随机变量X概率密度为p(x),求D(X).

?1? x, p(x) ? 0 ? ??1? x,
??0,

?1? x ? 0 0? x ?1 其他



0

1

? ? E(X ) ? x(1? x)dx ? x(1? x)dx ? 0

?1

0

? ? E(X 2 ) ? 0 x2 (1? x)dx ? 1 x2 (1? x)dx ? 1

?1

0

6

于是,D(X)=E(X2)-[E(X)]2=1/6

例:X为一随机变量,方差存在,令
l(C) ? E( X ? C)2
证明:当且仅当C=EX时,l(C)达到最小值,最小值为DX. 证明:
l(C) ? E( X ? C)2 ? E[( X ? EX ) ? (EX ? C)]2
? E[( X ? EX )2 ? 2( X ? EX )(EX ? C) ? (EX ? C)2 ]
? E( X ? EX )2 ? (EX ? C)2 ? E( X ? EX )2 ? DX
显然,当且仅当C=EX时,l(C)达到最小值,最小值为DX.
这个例子表明,若用常数C来预测X,X的实际取值与C存在 偏差X-C,平均意义下的偏差程度用均方误差E(X-C)2来衡量, 则最好的误差应使得E(X-C)2最小,C=EX做到这一点。

方差的性质:
设随机变量 X的方差存在, a,b ? R,则有 :
(1)Da ? 0;     而 : Ea ? a;
(2)D(aX ) ? a2 DX ;  而 : E(aX ) ? aEX ; (3)D(X ? b) ? DX ;而 : E(X ? b) ? EX ? b; D(aX ? b) ? a2 DX ;而E(aX ? b) ? aEX ? b

1.6 随机变量的矩与切比雪夫不等式
定义:若EXk(k=1,2,…)存在(E|X|k小于正无穷),则称 它为X的k阶原点矩,简称k阶矩, E|X|k为X的k 阶绝对矩.
定理2.2 随机变量X的t阶矩存在,则其s(0<s<t)阶矩存在。
证明 设X为连续型随机变量,其密度函数为f(x).

? ? E | X |s ? | x |s f (x)dx ? | x |s f (x)dx

|x|s ?1

|x|s ?1

? ? f (x)dx ? ? | x |t f (x)dx

|x|s ?1

|x|s ?1

? P{| X |s ? 1} ? E | X |t ? ?

推论:设k为正整数,C为常数,如果 EX k存在
则 E( X ? C)k 也存在,特别地 E( X - EX )k 也存在

定义 若 EXk(k=1,2,…)存在,则称 E( X - EX )k 为X的k阶中 心矩. E | X - EX |k 为X的k阶绝对中心矩。
注:数学期望是X的一阶原点矩,方差是X的二阶中心矩。 由以上定理,若EX2存在,则数学期望和方差都存在。

定理2.3 设h(x)是非负函数,X是一个随机变量,且Eh(X)
存在,则对任意 ? ? 0,有

P{h(X ) ? ?} ? Eh(X ) ?
证明:设X的密度函数为f(x),则

??
? Eh(X ) ? h(x) f (x)dx ??

? ? h(x) f (x)dx ? ? h(x) f (x)dx

h( x)??

h( x)??

? ? h(x) f (x)dx ? ? ? f (x)dx ? ? P{h(X ) ? ?}

h( x)??

h( x)??

推论1(马尔可夫不等式) 设X的k阶矩存在,则对任意
? ? 0 ,有
P{| X |? ?} ? E | X |k . ?k
推论2 (切比雪夫不等式) 设X的方差存在,则对任意
? ? 0,有
P{| X ? EX |? ?} ? DX ?2
推论3 随机变量的方差为0当且仅当存在一个常数a, 使得P{X=a}=1.

证明 充分性显然,下证必然性。

首先注意到

? {|

X

?

EX

|?

0}

?

??
{|

X

?

EX

|?

1}

n?1

n

从而有

? ? P{|

X

?

EX

|?

0} ?

??
P( {|

X

?

EX

|?

1})

?

??

P({|

X

?

EX

|?

1)

n?1

n

n?1

n

由切比雪夫不等式,有

1 DX

P{| X ? EX |? } ?

?0

n (1 n)2

从而得 P{| X ? EX |? 0} ? 0.

因此 P{| X ? EX |? 0} ? 1.

切比雪夫不等式的几何意义 :

设随机变量X的期望与方差都存在,则

对任意给定的常数? ? 0,都有

   P ( X ? E X ? ?  ) ? D X  . 上式即 :

P( X

?

EX

? ?或X

?

?2
EX

??)

?

DX

.

?2

EX-ε

EX

EX+ε

x

例11.设X是随机变量,且已知EX ? 7000,

DX ? 2100.试利用切比雪夫不等式估计 :

P(6800 ? X ? 7200).

解 : P(6800 ? X ? 7200 )

? P( X

? EX

?

200)

?

1

?

2100 2002

?

0.9475.

作业

P55,2,5

§2.3 常用的离散型分布
1. 退化分布
一个随机变量X以概率1取某一常数,即P{X=a}=1,则称X 服从a处的退化分布。
显然,EX=a,DX=0. 2. 两点分布(0-1分布) 如果随机变量 X 只取两个值,就称 X 服从两点分布.设其分 布为 P{X=a}=p,P{X=b}=1-p,0<p<1,则称 X 服从 a,b 处参数 为 p 的两点分布. 数学期望:EX=pa+(1-p)b, 方差 DX=p(1-p)(a-b)2 一般两点分布取值为 0 和 1,分布律为:

X

0

1

Pk 1-p

p

此时,称X服从参数为p的两点分布(0-1分布),或称 X是参数为p的伯努利随机变量。 显然,EX=p,DX=p(1-p)
注:在实际中,服从两点分布的随机变量通常根据实验 中某一事件A的发生与否构造出来。例如, 设P(A)=p, P( A )=1-p, 则随机变量
?1, ? ? A(A发生) X (?) ? ??0, ? ? A(A未发生)
参数为p的两点分布。这个随机变量也相当于表示A发生 的次数的随机变量。

? 例:在100件产品中,有95件正品,5件次品.现从中 随机地取一件,假如取到每件产品的机会都相等.
?若定义随机变量X为

?0,
X ? X (?) ? ??1,

当取到次品时 当取到正品时

则有 P{X=0}=0.05,P{X=1}=0.95

X服从(0-1)分布

3、n个点上的均匀分布

特殊的随机变量取n个值,等可能,即:

P{X

?

xi} ?

1 ,i n

? 1, 2,

, n.

称X服从n个点上的均匀分布.其期望与方差分别

为:

? EX

?

1 n

n i ?1

xi

x.

? DX

?

1 n

n i ?1

( xi

? x)2..

4. 二项分布
在n重伯努利试验中,每次试验中事件A发生 的概率为p,(0<p<1). 记X表示n次试验中事件A 发生的次数,则根据伯努利概型,

P{X

?

k}

?

C

k n

p k (1 ?

p)n?k , k

?

0,1,2,...n.

此时,称X服从参数为n, p的二项分布,记作X~b(n,p). 二项分布b(1,p)就是参数为p的0-1分布。

数学期望

n

n

? ? E( X ) ? k ? P{X ? k} ? kCnk pk qn?k

k ?0

k ?1

? ? ?

n k ?1

k ? n! k!(n ? k

)!

p

k

q

n?k
?

n k ?1

(k

np(n ?1)! ?1)![(n ?1) ? (k

p q k ?1 (n?1)?(k ?1) ?1)]!

?n?1
? np

(n ?1)!

p q k ?1 (n?1)?(k ?1)

k?1?0 (k ?1)![(n ?1) ? (k ?1)]!

? np( p ? q)n?1 ? np

方差

n
? 由于 E( X 2 ) ? k 2Cnk pk qn?k k ?0

?n
? [k(k ?1) ? k]

n!

pk qn?k

k ?1

k!(n ? k)!

?n
? k(k ?1)

n!

p k q n?k ? np

k ?2

k!(n ? k)!

?n
?

(n ? 2)!n(n ?1) p 2

p k?2q n?k ? np

k?2 (k ? 2)![(n ? 2) ? (k ? 2)]!

? n(n ?1) p2 ? np

? n2 p2 ? npq
从而 D( X ) ? E( X 2 ) ?[E( X )]2 ? npq

?例:在初三的一个班中,有1/4的学生成绩优秀. 如果从班中随机地找出5名学生,那么其中“成 绩优秀的学生数”X服从二项分布X~B(5,1/4). 即
P{X=k}=C5k 0.25k (1-0.25)5-k k=0,1,…,5
? X的概率分布表如下:

X 0 1 2 3 45

P

243 405 270 90 15 1 1024 1024 1024 1024 1024 1024

5. 几何分布
在独立重复试验中,事件A发生的概率为p. 设X表示直到 A发生为止进行的试验次数,则X的概率分布为(几何数列)
?
P{X ? k} ? qk?1 p ? g(k, p),k ? 1,2,...

数学期望

??

??

?

?

? ? ? ? EX ? kpk ? kpqk??1 p kqk?1 ? p( q k )'

k ?1

k ?1

k ?1

k ?1

? p( q )' ? p 1 ? 1

1? q

(1 ? q)2 p

类似地,可以得到

EX 2 ? 2q ? 1 p2 p

从而 DX ? EX 2 ? (EX )2 ? q p2

几何分布的无记忆性

设X服从几何分布,则对任何两个正整数m, n,有

证明

P{X ? m ? n | X ? m} ? P{X ? n}

由于

? P{X ? m} ? ? q k?1 p ? p q m ? q m

k ?m?1

1? q

P{X ? m ? n} ? q m?n

从而 P{X ? m ? n | X ? m} ? P{X ? m ? n} ? qm?n ? qn P{X ? m} qm

这表明,几何分布对过去m次失败的信息忘记了。事实上 还可以证明,一个具有正整数值的随机变量,如果具有 无记忆性,则一定服从几何分布。

6. 超几何分布

一袋子中有N个球,N1个白球,N2个黑球,N=N1+N2
从中不放回地取n个球,X表示取到白球的数量,那么 X的分布为

P{X

?

k} ?

C C k n?k N1 N2

,

C

n N

0?k ?n

这个随机变量X成为服从超几何分布。

注:当N,N1,N2与n相比充分大时,近似地把这个试验 看成是有放回地摸球,从而用二项分布来近似超几何 分布,即

C C k n?k N1 N2

C

n N

?

Cnk

(

N1 N

)

k

(

N2 N

)

n?k

数学期望与方差

EX ? n ? N1 , DX ? n ? N1 ? N2 ? N ? n

N

N N N ?1

7. 泊松分布

如果随机变量 X 所有可能取值为 0,1,2,?,而取各个 值的概率为

P( X ? k) ? ?k e?? ,  k ? 0,1,2,?
k! 其中 ? ? 0 为常数,则称 X 服从参数为 ? 的泊松分布,记

X~ P(?) .

易知

P(X ? k) ? 0, k ? 0,1,?

? ? ? ? P(X ? k) ? ? ?k e?? ? e??

k ?0

k?0 k!

?k ? e?? ? e? ? 1
k!

泊松分布在实际中具有十分广泛的应用,例 如电话交换台在一个时间间隔内收到的电话呼 唤次数,某路段一个月内发生的交通事故的次数, 车站某时段等车人数及医院每天的就诊人数,在 一个时间间隔内某种放射性物质发出的、经过计 数器的? 粒子数等都服从泊松分布.泊松分布也 是概率论中的一种重要分布.

数学期望

? ? E( X ) ? ? k ?k e?? ? e?? ? ? ? ?k?1 ? ?e?? e? ? ?

k?0 k!

k?1 (k ? 1)!

? ? E( X 2 ) ? ? k 2 ?k e??

k ?0

k!

?
? (k ?1?1)

?k

e??

k ?1

(k ?1)!

? ? ? ? ?2 ? ?k?2 e?? ? ? ? ? ?k?1 e?? ? ?2 ? ?

k?2?0 (k ? 2)!

k?1?0 (k ?1)!

D( X ) ? E( X 2 ) ? [E( X )]2 ? ?2 ? ? ? ?2 ? ?

例: 统计资料表明某路口每月交通事故发生次数 服从参数为 6 的泊松分布,求该路口一个月内至少 发生两起交通事故的概率. 解 设该路口每月发生的交通事故次数为 X,由题 设, X~ P(6) ,因此,所求概率为

P(X ? 2) ? 1? P(X ? 0) ? P(X ? 1)

? 1 ? 60 ? e?6 ? 6 ? e?6 ? 0.9826

0!

1!

即该路口每月都要发生两起或两起以上交通事故

的概率为 0.9826

 例.(教材 : P60.例2.20)
 解: 求a,使得有:
P(X ? a) ? 0.95 ? P(X ? a) ? 0.05
由附表1,当a ? 15时,
P(X ? 15) ? P(X ? 16) ? 0.048740 ? 0.05, 而当a ? 14时,
P(X ? 14) ? P(X ? 15) ? 0.083458 ? 0.05.
故当a ? 15时即可满足要求.

定理2.4 (泊松定理) (二项分布与泊松分布的关系)

设在n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中
发生的概率为pn ,如果当n ? ?时, npn ? ?, (? ? 0),则对任意给定的非负整数k,有 :

   lim n??

C

k n

pnk

(1

?

pn )n?k

?

?k e?? .
k!

(其中?

?

lim
n??

npn

)

二项分布的泊松逼近

例3.(教材P61.例2.21) 解 : 令 : ? ? 800 ? 0.005 ? 4,则
? P(0 ? X ? 2) ? 2 4k e?4 ? 0.2381 .
k?0 k!
(而按二项分布计算 ,概率为0.2374 .
可见近似效果很好 .)
从而P(X ? 2) ? 1? 0.2381 ? 0.7619 .
二项分布的计算比较复杂.如果 X~ B(n, p) ,当
n ? 20, p ? 0.05 时,可利用泊松定理作近似计算.
作业 P62, 1,3,6,8

§2.4 常用的连续型分布

1 均匀分布

设连续型随机变量 X 具有密度函数

f

(x)

?

?? ?b

1 ?

a

, a

?

x

?

b

?? 0,   其他

则称 X 服从[a,b]上的均匀分布,记 X~U[a,b].

X~U[a,b]时,分布函数为

? ?? ? ? ? F(x)

?

? ? ?? ? ? ? ??

 x 0dt,       ? ? ? x ? a
 ??

 a

 x

0dt ?

1

dt,  a ? x ? b

 ??

 a b ? a

 a

 b

0dt ?

1

dt ?  x 0dt, x ? b

 ??

 a b ? a

 b

? 0,  ? ? ? x ? a 

=???bx ?

? a , a ? ?a 1,   x

x ?

? b

b

均匀分布随机变量 X 的特点是 X 只在某一区间内 取值,且 X 落入该区间中任一相等长度的子区间内 的概率相同,即 X 落入任何子区间的概率仅与该子 区间的长度成正比,而与子区间的位置无关.

事实上,当[x, x ? l] ? [a,b] 时,

? x?l
P(x ? X ? x ? l) ?

1 dt ? x ? l ? x ?

l

 x b ? a

b?a b?a

与x的取值无关.

数学期望

??

b1

? ? E(X ) ? xp(x)dx ? x dx

??

a b?a

? 1 ? x2 b ? 1 (a ? b) b?a 2 2
a

方差

? E( X 2 ) ? 1 b x2dx ? 1 (b2 ? ab ? a2 )

b?a a

3

D( X ) ? E( X 2 ) ?[E( X )]2 ? 1 (b ? a)2 12

? 例:设电阻值R是一个随机变量,均匀分布在900 欧至1100欧.求R的概率密度及R落在950欧至1050 欧的概率.
解 R的概率密度为

故有

p(x)

?

?1 ??1100 ?

900

,900

?

x

?

1100

??0,

其他

? P{950 ? R ? 1050} ? 1050 1 dx ? 0.5 950 200

2 指数分布
如果随机变量 X 具有密度函数
??e??x, x ? 0
f (x) ? ??0,  x ? 0
则称随机变量 X 服从参数为λ 的指数分布, 记作 X~e(λ ),其中λ >0 为某一常数.

指数分布在在实际中有广泛的应用,如电子元件的” 寿命”,随机服务系统的服务时间等都服从指数分 布.
指数分布的分布函数为

?1? e??x, x ? 0

F

(x)

?

? ?

0,   x

?

0

数学期望

? ? ? E(x) ?

??
xp(x)dx ?

?? ?xe??xdx

??

0

t ? ?x 1 ?? te?tdt ?0

? ?

1
?

???(?te?t

)

?? 0

?

?? 0

e?t

dt

? ??

?

1
?

方差

? E(X 2 ) ? ?

?? x2e??xdx ?
0

2
?2

D(X )

?

E( X 2 ) ?[E( X )]2

?

2
?2

?

1
?2

?

1
?2

定理2.5 (指数分布的“无记忆性 ”)

设X ~ e(?), 则对任意正实数 r, s,有 :

 P( X ? r ? s X ? s) ? P( X ? r).

证明 : 注意到 : P(X ? t) ? 1? P(X ? t)

? 1 ? F (t) ? 1 ? (1 ? e??t ) ? e??t . 从而

P(X ? r ? s X ? s) ? P(X ? r ? s, X ? s)

P(X ? s)

?

P(X ? r ? s) P(X ? s)

?

e ?? (r ? s) e ??s

? e??r

? P(X

? r).

例: 设某种电子元件的寿命 X(以年记)服从参数λ =3

的指数分布,求

(1) 寿命在 0.5 年和 1 年之间的概率;

(2) 寿命超过 2 年的概率;

(3) 设已经正常使用了α 年,求还能够继续使用β 年

的概率.

? 解(1)P(0.5 ? X ?1) ?

 13e?3xdx ? ?e?3x  1 ? e?1.5 ? e?3

 0.5

 0.5

? (2) P(X ? 2)

?

?? 3e?3xdx ? ?e?3x ?? ? e?6

 2

 2

(3) P(X ?? ? ? X ??) ? P( X ? ? ? ? , X ? ? ) P(X ? ?)

? P(X ? ? ? ? ) ? 1? F (? ? ? )

P(X ? ?)

1? F (? )

?

e?3(? ?? ) e?3?

? e?3?

注:与几何分布类似,具有无记忆性的连续型随机变量 必定服从指数分布。所以是充要条件,只不过充分性证明 超过了本书的范围.

例2.22

3. 正态分布
正态分布是一种最常见的随机变量,正态分布 的一些性质与特点使其在概率论与数理统计理论
中有特别重要的地位.
3.1 正态分布的概念
若连续型随机变量 X的概率密度为 :

 ?(x) ?

1

( x?? )2
?
e 2? 2 , x ? R,

? 2?

其中?,?为参数,且? ? 0,则称X服从

参数为?,? 2的正态分布,记作:

X ~ N (?,? 2 ).

正态分布的密度函数图形为(以μ>0为例):

y
1

? 2?

y ? ?(x)



x

特别地,当? ? 0,? 2 ? 1时, 称X服从标准正态分布,

记作 : X ~ N (0, 1 ).此时, X的密度函数记作: ?0 (x),


  ?0 (x) ?

1

x2 ?
e 2 , x ? R.

2?

?0 (x)的图形关于 y轴对称 :
1y
2?
y ? ?0 (x)

0

x

? 根据积分 ?? e?x2 dx ? ? ,容易验证 ??

???
?(x)dx ? 1, EX

?

?, DX

?? 2.

??

正 态 分 布 N(?,? 2) 密 度 函 数 ?(x) 的 图 形 关 于 直 线

x ? ? 对称,即对任意常数 a, ?(? ? a) ? ?(? ? a) . x ? ?

时,?(x) 取到最大值

1 2? ?

.

利用? ?函数可以证明:

若X ~ N(0,1 ),则EX ? 0, DX ? 1.

? 证明: EX ?

??
x?

1

? x2
e 2 dx

?? 2?

? ? 0
? x?

1

? x2
e 2 dx ?

??
x?

1

? x2
e 2 dx

?? 2?

0

2?

令t ? x2 ,? x ?

1
2 ? t 2 ,? dx ?

2

1 ?
? t 2 dt.

2

2

? EX ? ?
?

? ? 1 ( 0 e?t dt ? ?? e?t dt)

2? ??

0

? ? 1 (? ?? e?t dt ? ?? e?t dt)

2? 0

0

1 [??(1) ? ?(1)] ? 0.
2?

? EX 2 ? ?? x2 ?

1

x2 ?
e 2 dx

??

2?

? ? 2

?? x2

?

e

?

x2 2

dx  (令t

?

x2

)

2? 0

2

? ? 2

??
2t

? e?t

?

2

t

?1 2

dt

2? 0

2

? ? 2

1

??
t2

? e?t dt

?0

? 2 ?( 3) ? 2 ? 1 ?(1) ? 1,
? 2 ?22

? DE ? EX 2 ? (EX )2 ? 1 ? 0 ? 1.
证毕
1.正态分布的分布函数:

若X ~ N (?,? 2 ), 则其分布函数为 :

? ? x

x

?(x) ? ?(t)dt ?

1

? (t ?? )2
e 2? 2 dt;

??

?? ? 2?

若X ~ N(0, 1 ), 则其分布函数为 :

? ? x

x

?0 (x) ? ? ?? 0 (t)dt ? ??

1

t2 ?
e 2 dt.

2?

?0 (x)的几何意义 : (x ? 0时)
y ? ?0 (x) ?0 (x)
x

2.标准正态分布函数表—附表2的使用方法 设X ~ N(0, 1 ).分三种情况 :
(1)P( X ? 0) ? ?0 (0) ? 0.5; (2)当x ? 0时, P( X ? x) ? ?0 (x)的值可直接 由附表2求出 :
例如 : ?0 (1) ? 0.8413 ; P( X ? 1.96) ? ?0 (1.96) ? 0.975; P(X ? 2.58) ? 1? P(X ? 2.58)
? 1 ? ?0 (2.58) ? 1 ? 0.99506 ? 0.00494 .

(3)当x ? 0时,利用密度函数?0 (x)的对称性,
有 : ?0 (x) ? 1? ?0 (?x).
x 0 -x

例如 : ?0 (?1) ? 1 ? ?0 (1) ? 1 ? 0.8413 ? 0.1587 ;
P( X ? ?3) ? 1 ? P( X ? ?3) ? 1 ? ?0 (?3)
? 1 ? [1 ? ?0 (3)] ? ?0 (3) ? 0.99865 .  例1.设X ~ N (0, 1 ),求下列概率: P(?2 ? X ? 3), P(?3.5 ? X ? ?1.5), P(0.56 ? X ? 2.47), P( X ? 1.65), P( X ? 1.96).

解 : P(?2 ? X ? 3) ? ?0 (3) ? ?0 (?2) ? ?0 (3) ? ?0 (2) ?1 ? 0.9759;
P(?3.5 ? X ? ?1.5) ? ?0 (?1.5) ? ?0 (?3.5) ? ?0 (3.5) ? ?0 (1.5) ? 0.06658; P(0.56 ? X ? 2.47) ? ?0 (2.47) ? ?0 (0.56) ? 0.99324 ? 0.7123 ? 0.28094 ;
P( X ? 1.65) ? ?0 (1.65) ? ?0 (?1.65) ? 2?0 (1.65) ?1 ? 0.9106;

P( X ? 1.96) ? 1? P( X ? 1.96) ? 2 ? 2?0 (1.96) ? 0.05.
3.一般正态分布与标准正态分布的关系 定理2.6 设X ~ N (?,? 2 ),令Y ? aX ? b, (a,b ? R,且a ? 0).则Y ~ N (a? ? b, a2? 2 ).
(即: 正态分布的线性函数仍 服从正态分布 )
例如 : X ~ N (2,  32 ), 则Y ? 4X ?1 ~ N (7, 1 2 2 ).

证明: 记X的分布函数为?(x),密度函数为

?(x); Y的分布函数为FY (x),密度函数为
fY (x).

(对任意x ? R,来证明: Y ~ N (a? ? b, a2? 2 )

即:

fY (x) ?

1
a? 2?

[ x?(a? ?b)]2
?
e .) 2a2? 2

对任意x ? R,

FY (x) ? P(Y ? x) ? P(aX ? b ? x).

(1)当a ? 0时,

FY

(x)

?

P( X

?

x ?b) a

?

?( x ? b ), a

?

fY (x)

?

FY' (x)

? [?( x ? b)]' a

?

1 ?( x ? b);
aa

(2)当a ? 0时,

FY (x)

?

P( X

?

x

? b) a

? 1? P(X

?

x ?b) a

   ? 1 ? ?( x ? b), a

?

fY

(x)

?

FY' (x)

? [1? ?( x ? b)]' a

?

? 1 ?( x ? b);
aa

即:

a

?

0时,

fY

(x)

?

1 a

?(x

? b); a

 a

?

0时,

fY

(x)

?

?

1 a

?(

x

? a

b).

?

fY (x) ?

1 ?( x ? b ).
aa

(注意到: ?(x) ?

1

( x?? )2
e ? 2? 2 )

? 2?

从而fY (x) ?

1 ?(x ?b)
aa

[ x?b ?? ]2

? 1?

1

?a
e 2? 2

a ? 2?

?

1

[ x?(a? ?b)]2
?
e . 2a2? 2

a ? 2?

即: Y ? aX ? b ~ N(a? ? b, a2? 2 ).

              证毕.

推论1.若X ~ N(?,? 2 ),则Y ? X ? ? ~ N(0,1). ?
证明:由于Y ? X ? ? ? 1 X ? ? ,故由定理2.6 ???
得到: Y ~ N ( 1 ? ? ? ,  ( 1 )2? 2 ) ? N (0, 1 ). ? ??
推论2.X ~ N(?,? 2 ) ? 存在Y ~ N(0,1 ),使
          X ? ?Y ? ?.
证明: 令Y ? X ? ? (*),则由推论1知 : ?

Y ~ N(0,1 ) ? EY ? 0, DY ? 1;
又由(*)式,有 : X ? ?Y ? ?,故由期望和
方差的性质可推出 :
EX ? E(?Y ? ?) ? ?EY ? ? ? ?; DX ? D(?Y ? ?) ? ? 2 DY ? ? 2.
证毕.

推论3.设X ~ N (?,? 2 ), 则有 :

?(x)

?

?0

(

x

?
?

?

),

 ?

(x)

?

1
?

?0

(

x

?
?

?

).

证明: 令Y ? X ? ? ,由推论1,Y ~ N(0, 1 ). ?

? ?(x) ? P(X ? x) ? P(?Y ? ? ? x)

?

P(Y

?

x?
?

?
)

?

?

0

(

x

?
?

?
);

?(x)

?

?' (x)

x?
? [?0 ( ?

? )]'

?

1
?

?

0

(

x

?
?

?
).

4.一般正态分布的概率计算

利用定理 2.6的推论1: X ~ N (?,? 2 )

? Y ? X ? ? ~ N (0, 1 );

?

和推论3

:

?(

x)

?

?

0

(

x

?
?

?

).

例.(教材P68例2.24)

(已知X ~ N(8,  0.52) )

  例3.设某校考生入学考试的总分X

近似服从N (400, 1 002 ).若计划在2000名

考生中按分数择优录取300名, 试估计考

生要的多少分才能被录取 ?

 解 : 设x0表示最低录取分数 ,则x0满足 :

  P( X

?

x0 ) ?

300 2000

? 0.15.

又由条件知: X ? 400 近似服从N(0, 1 ), 100

则有 : P( X ? x0 ) ? 1 ? P( X ? x0 )

?1?

P( X

?

400

?

x0

?

400 )

100

100

?

1

?

?0

(

x0

? 400) 100

?

0.15

?

?

0

(

x0

? 400 )
100

?

0.85,由附表2,

得到

:

x0 ? 400 100

? 1.04 ?

x0

?

504(分).

作业 P69, 5,9

§2.5 随机变量函数的分布
1. 如果已知随机变量X的分布,另一随机变量
Y=g(X)是X的函数,如何求Y的分布(2.90).
2. 离散型随机变量函数的分布
设 X 为离散型随机变量,其分布律为 P(X ? xi ) ? pi ,i ? 1,2,?, 随 机 变 量 Y ? g(X) , 从 而 Y 的 所 有 可 能 取 值 为 yi ? g(xi ), i ? 1,2,?,因此 Y 也是离散型随机变量.注意 到 i ? j 时,也有可能出现 g(xi ) ? g(x j ) 的情况,故 Y 的分布 律为
? P(Y ? yi ) ? P(X ? xk ),i ? 1,2,? g ( xk )? yi

例:设随机变量X的分布律如下表,试求Y=(X-1)2的
分布律.

X -1 0 1 2 P 0.2 0.3 0.1 0.4

解 Y所有可能取的值为0,1,4.由 P{Y=0}=P{(X-1)2 =0}=P{X=1}=0.1

P{Y=1}=P{(X-1)2 =1}=P{{X=0}+{X=2}}

=P{X=0}+P{X=2}=0.7

P{Y=4}=P{(X-1)2 =4}=P{X=-1}=0.2 即得Y的分布律为

Y

0

1

4

P

0.1

0.7

0.2

3. 连续型随机变量函数的分布
在许多实际问题中,常需要考虑随机变量函 数的分布.如在一些试验中,所关心的随机变量往往 不能直接测量得到,而是某个能直接测量的随机变 量的函数.在本节中,我们将讨论如何由已知的随机 变量X的分布去求它的函数Y=f(X)分布.
设 X 为连续型随机变量,已知其分布函数 FX (x) 和密 度函数 f X (x) ,随机变量 Y ? g(X ) ,要求 Y 的分布函数 FY ( y) 和密度函数 fY ( y) .(2.96 & 2.97).

 例3.(教材P71.例2.28) 设X 是一个连续

型随机变量, 其分布函数F ( x)是严格单调 增函数.证明 : 随机 变量Y ? F(X ) ~ U[0, 1 ].

思路 : 只要证明:

?0, x ? 0

  FY

(

x)

?

? ?

x,

0 ? x ? 1,即可.

??1, x ? 1

证明 :由于F(x)严格单增,故其反函数存在 , 记作: F ?1(x).又记Y ? F(X )的分布函数为 FY (x),则有: FY (x) ? P(Y ? x) ? P(F(X ) ? x), 由于,作为X的分布函数F(x),对任意x ? R, 有 : 0 ? F(x) ? 1(? 0 ? F(X ) ? 1),
故当x ? 0时, FY (x) ? P(Y ? x) ? P(F(X ) ? x) ? 0;

又当x ? 1时,

FY (x) ? P(Y ? x) ? P(F(X ) ? x) ? 1; 而当0 ? x ? 1时,

FY (x) ? P(Y ? x) ? P(F(X ) ? x) ? P(F ?1(F(X )) ? F ?1(x))

? P( X ? F ?1 (x)) ? F (F ?1 (x)) ? x.

?0, ? FY (x) ? ??x,
??1,

x?0

0 ? x ? 1,即Y ~ U[0, 1 ].

x ?1

证毕.

练习题 : (P74.7)

 已知 : X ~ e(2), 求 : Y ? 1? e?2X的分布

函数和密度函数.  解: 设Y的分布函数与密度函数分别为:

FY (x)与fY (x).由条件知: X的分布函数为:

  FX

(x)

?

? ??1

?

0, e?2x

,

x?0 .
x?0

并且  0 ? 1? e?2x ? 1 ? 0 ? 1? e?2X ? 1.

从而当x ? 0时, FY (x) ? P(Y ? x) ? 0; 当x ? 1时, FY (x) ? P(Y ? x) ? 1;
当0 ? x ? 1时,
FY (x) ? P(Y ? x) ? . P(1 ? e?2X ? x)
? P(e?2X ? 1 ? x) ? P(?2X ? ln(1 ? x)) ? P(X ? ? 1 ln(1? x))
2
1 ? FX (? 2 ln(1 ? x))

?2[? 1 ln(1? x)]

?1?e 2

? 1 ? (1 ? x) ? x.

?0, 从而有: FY (x) ? ??x,
??1,

x?0 0? x ?1
x ?1

即Y ~ U[0, 1 ].

证毕

例2.29:设随机变量X具有概率密度pX(x), -∞<x<∞求Y=X2的概率密度. 解 先求Y 的分布函数 FY(y) .由于Y=X2 ≥0, 故当y≤0时. FY(y)=0,当y>0时有
FY ( y) ? P{Y ? y} ? P{X 2 ? y}
y
? ? P{? y ? X ? y} ? ? y pX (x)dx

于是得Y的概率密度为

1

p ( y) ? {2 y [ pX ( y )? pX (? y )],y?0

Y

0,

, y?0

由上例,若X服从标准正态分布,则Y=X2的概率密度函数为

1

p ( y) ? {2 y [ pX ( y )? pX (? y )],y?0

Y

0,

, y?0

?

? ? ?

2

1

y

[

??0,

1

y ?
e 2?

1

y ?
e 2 ], y ? 0

2?

2?

y?0

?

?

? ?

1

?y
e 2,

2?y

??0,

y?0 y?0

我们把密度函数为pY (y)的随机变量Y称作自由度为1的 ? 2 (1) 分布。

例2.30对数正态分布 如果随机变量Y=lnX服从正态分布 N(?,? 2 ) ,则称X服从参数为?,? 2 的对数正态分布。试求
对数正态分布的密度函数。

解 由于Y=lnX服从正态分布,所以X ? eY ,Y ~ N (?,? 2 ) 于是,当x<0时,FX(x)=0;
当x ? 0时, FX (x) ? P{X ? x} ? P{eY ? x}
? P{Y ? ln x} ? ?(ln x)

所以,X的密度函数为

f

X

(x)

?

FX'

(x)

?

?1

? ?

x

?

(ln

x),

??0,

x?0 x?0

作业P73, 3,4,9


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