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人教a版高中数学必修5综合测试题


人教 a 版高中数学必修 5 综合测试题
一、选择题 1.数列 1,3,6,10,…的一个通项公式是( ) (A)an=n2-(n-1) (B)an=n2-1 (C)an=
n ( n ? 1) 2

(D)an=

n ( n ? 1) 2

2.已知数列 3 ,3, 15 ,…, 3 ( 2 n ? 1) ,那么 9 是数列的() (A)第 12 项 (B)第 13 项 (C)第 14 项 (D)第 15 项

3.已知等差数列{an}的公差 d≠0,若 a5、a9、a15 成等比数列,那么公比为 ( )

A.

B.

C.

D.

4.等差数列{an}共有 2n+1 项,其中奇数项之和为 4,偶数项之和为 3,则 n 的值是() A.3 B.5 C.7 D.9 5.△ABC 中,
co s A co s B ? a b

,则△ABC 一定是()

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等边三角形

6.已知△ABC 中,a=4,b=4 3 ,∠A=30°,则∠B 等于() A.30° B.30°或 150° C.60° D.60°或 120°

7.在△ABC 中,∠A=60° ,a= 6 ,b=4,满足条件的△ABC( A ) (A)无解 (B)有解 (C)有两解 (D)不能确定 8.若
1 a ? 1 b ? 0 ,则下列不等式中,正确的不等式有

()
? 2

① a ? b ? ab

②a ? b

③a ? b



b a

?

a b

A.1 个 B.2 个 C.3 个 9.下列不等式中,对任意 x∈R 都成立的是 () A.
1 x ?1
2

D.4 个
4x x ?4
2

?1

B.x2+1>2x

C.lg(x2+1)≥lg2x

D.

≤1

10.下列不等式的解集是空集的是(C) A.x2-x+1>0 B.-2x2+x+1>0 C.2x-x2>5 11.不等式组 ?
? ( x ? y ? 5)( x ? y ) ? 0, ?0 ? x ? 3

D.x2+x>2 ( )

表示的平面区域是

(A ) 矩形

( B) 三角形

(C ) 直角梯形

(D ) 等腰梯形

12.给定函数 y ? f ( x ) 的图象在下列图中,并且对任意 a 1 ? ( 0 ,1) ,由关系式 a n ? 1 ? f ( a n )
* 得到的数列 { a n } 满足 a n ? 1 ? a n ( n ? N ) ,则该函数的图象是()

y 1 A

y 1 B

y 1 C 1

y D



1





1





1





1



二、填空题: 13.若不等式 ax2+bx+2>0 的解集为{x|14. 若 x ? 0, y ? 0, 且
1 x ? 4 y
1 2 ? x? 1 3

},则 a+b=________.

? 1 ,则 x ? y 的最小值是



15.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:

则第 n 个图案中有白色地面砖 块. 16. 已知钝角△ABC 的三边 a=k, b=k+2, c=k+4, k 的取值范围. 求 。 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)已知 A 、 B 、 C 为 ? ABC 的三内角,且其对边分别为 a 、 b 、 c , 若 cos B cos C ? sin B sin C ?
1 2



(Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a ? 2 3 , b ? c ? 4 ,求 ? ABC 的面积.

18. (本小题满分 12 分)已知数列 { a n } 是一个等差数列,且 a 2 ? 1 , a 5 ? ? 5 。 (Ⅰ)求 { a n } 的通项 a n ; (Ⅱ)求 { a n } 前 n 项和 S n 的最大值.

19.已知 0 ? m ? 1 ,解关于 x 的不等式

mx x?3

? 1.

20. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x ) ? log

a

x ( a 为常数且 a ? 0 , a ? 1 ) ,已知数列
2

f ( x 1 ), f ( x 2 ), ? f ( x n ), ? 是公差为 2 的等差数列,且 x 1 ? a .

(Ⅰ)求数列 { x n } 的通项公式; (Ⅱ)当 a ?

1 2

时,求证: x 1 ? x 2 ? ? ? x n ?

1 3

.

21. (本小题满分 14 分)某房地产开发商投资 81 万元建一座写字楼,第一年装修费为 1 万 元,以后每年增加 2 万元,把写字楼出租,每年收入租金 30 万元. (Ⅰ)若扣除投资和各种装修费,则从第几年开始获取纯利润? (Ⅱ)若干年后开发商为了投资其他项目,有两种处理方案:①年平均利润最大时以 46 万 元出售该楼; ②纯利润总和最大时,以 10 万元出售该楼,问哪种方案盈利更多?

高中数学必修 5 综合测试题参考答案
一选择题:1---12 二填空题 13.-14, CCCAA, DABDC, DA 14.9 15. 4n+2 16. (2,6)
1 2

17. 解: (Ⅰ)? cos B cos C ? sin B sin C ?
? cos( B ? C ) ? 1 2

又? 0 ? B ? C ? ? ,? B ? C ?
? A? B?C ??

?
3

,? A ?

2? 3



(Ⅱ)由余弦定理 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 bc ? cos A 得 ( 2 3 ) 2 ? ( b ? c ) 2 ? 2 bc ? 2 bc ? cos
1 2? 3

即: 12 ? 16 ? 2 bc ? 2 bc ? ( ? ) ,? bc ? 4
2
? S ? ABC ? 1 2 bc ? sin A ? 1 2 ?4? 3 2 ? 3


? a1 ? d ? 1 ? a1 ? 4 d ? ? 5

18.解: (Ⅰ)设 ? a n ? 的公差为 d ,由已知条件, ? 解出 a1 ? 3 , d ? ? 2 . 所以 a n ? a1 ? ( n ? 1) d ? ? 2 n ? 5 . (Ⅱ) S n ? n a1 ?
n ( n ? 1) 2 d ? ? n ? 4n ? 4 ? (n ? 2)
2



2



所以 n ? 2 时, S n 取到最大值 4 . 19. 解:原不等式可化为:[x(m-1)+3](x-3)>0
?

0<m<1,

∴-1< m -1<0,
? ?


3

?

3 m ?1

?

3 1? m

? 3;

∴ 不等式的解集是 ? x | 3 ? x ?

? ? 1? m?

.

20.解: (Ⅰ)? f ( x1 ) ? lo g a a 2 ? 2

d ? 2

? f ( x n ) ? 2 ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 n
即 : log
a

xn ? 2n

xn ? a

2n

(Ⅱ)当 a ?

1 2

时, x n ? ? ?
?4?

?1?

n

?1? 1 ?? ? ? n 1? 4 ?4? 4 ?1? ? 1 x1 ? x 2 ? ? ? x n ? ? ?1 ? ? ? ? ? 1 3? ?4? ? 3 ? ? 1? 4 1

n

21.解: (Ⅰ)设第 n 年获取利润为 y 万元 n 年共收入租金 30n 万元,付出装修费构成一个以 1 为首项,2 为公差的等差数 列, 共n ?
n ( n ? 1) 2 ?2 ? n
2

因此利润 y ? 30 n ? ( 81 ? n 2 ) ,令 y ? 0 解得: 3 ? n ? 27 所以从第 4 年开始获取纯利润. (Ⅱ)年平均利润 W ?
30 n ? ( 81 ? n )
2

? 30 ?

81 n

?n

n

? 30 ? 2 81 ? 12

(当且仅当

81 n

? n

,即 n=9 时取等号)

所以 9 年后共获利润:12 ? 9 ? 46 =154(万元) 利润 y ? 30 n ? ( 81 ? n 2 ) ? ? ( n ? 15 ) 2 ? 144 所以 15 年后共获利润:144+ 10=154 (万元) 两种方案获利一样多,而方案①时间比较短,所以选择方案①.


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