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河北省邢台市高二下学期期末数学试卷(理科)

流过多少 汗,流 下多少 泪,只 为高考 这一天 ;付出 多少时 间,付 出多少 努力, 只为高 考这一 刻;高 考这条 路就算 布满荆 棘也要 披荆而 过,请 相信天 道酬勤 ,请相 信付出 一定会 有回报 ,对自 己充满 信心, 加油, 祝高考 成功顺 利。
2016-2017 学年河北省邢台市高二(下)期末数学试卷(理科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知复数 z 满足 zi5=1+2i,则 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

2.两个变量 y 与 x 的回归模型中,分别选择了 4 个不同模型,它们对应的 R2=1﹣

的值如下,其中拟合效果最好的模型是( ) A.模型 1 对应的 R2=0.48 B.模型 3 对应的 R2=0.15 C.模型 2 对应的 R2=0.96 D.模型 4 对应的 R2=0.30

3.用数学归纳法证明“凸 n 变形对角线的条数 f(n)=

”时,第一步应验证( )

A.n=1 成立 B.n=2 成立 C.n=3 成立 D.n=4 成立

4.下列曲线中,在 x=1 处切线的倾斜角为 的是( )

A.y=x2﹣ B.y=xlnx C.y=sin(π x) D.y=x3﹣2x2

5.已知随机变量 X 服从正态分布 N,若 P=0.1359,则 m 等于[驸:P(μ ﹣σ <X<μ +σ )=0.6826,

P(μ ﹣2σ <X<μ +2σ )=0.9544]( )

A.103 B.104 C.105 D.106

6.把 3 名新生分到甲、乙、丙、丁四个班,每个班至多分配 1 名且甲班必须分配 1 名,则不

同的分配方法有( )

A.12 种 B.15 种 C.18 种 D.20 种

7.给出下面三个类比结论:

①向量 ,有| |2= 2;类比复数 z,有|z|2=z2

②实数 a,b 有(a+b)2=a2+2ab+b2;类比向量 , ,有( )2= 2

2

③实数 a,b 有 a2+b2=0,则 a=b=0;类比复数 z1,z2,有 z12+z22=0,则 z1=z2=0

其中类比结论正确的命题个数为( )

A.0 B.1 C.2 D.3

8.

展开式中任取一项,则所取项是有理项的概率为( )

A. B. C. D. 9.袋中有 6 个黄色、4 个白色的乒乓球,做不放回抽样,每次任取 1 个球,取 2 次,则关于 事件“直到第二次才取到黄色球”与事件“第一次取得白球的情况下,第二次恰好取得黄 球”的概率说法正确的是( ) A.事件“直到第二次才取到黄色球”与事件“第一次取到白球的情况下,第二次恰好取得黄 球”的概率都等于 B.事件“直到第二次才取到黄色球”与事件“第一次取到白球的情况下,第二次恰好取得黄 球”的概率都等于

C.事件“直到第二次才取到黄色球”的概率等于 ,事件“第一次取得白球的情况下,第二

次恰好取得黄球”的概率等于

D.事件“直到第二次才取到黄色球”的概率等于 ,事件“第一次取得白球的情况下,第二

次恰好取得黄球”的概率等于

10.已知 f(x)= ,设 f1(x)=f(x),fn(x)=fn﹣1[fn﹣1(x)](n>1,n∈N*),若 fm

(x)=

(m∈N*),则 m 等于( )

A.9 B.10 C.11 D.126 11.3 男 3 女共 6 名同学从左至右排成一排合影,要求左端排男同学,右端排女同学,且女同 学至多有 2 人排在一起,则不同的排法种数为( ) A.144 B.160 C.180 D.240

12.已知函数 f(x)=﹣

(a>0)在区间[0,1]上有极值,且函数 f(x)在区间[0,

1]上的最小值不小于﹣ ,则 a 的取值范围是( ) A.(2,5] B.(2,+∞) C.(1,4} D.[5,+∞)

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)

13.若(2x2﹣3)n 展开式中第 3 项的二项式系数为 15,则 n=



14.曲线 f(x)=sin( ﹣x)与直线 x=﹣ ,x= ,y=0 所围成的平面图形的面积为



15.已知复数 z=(2a+i)(1﹣bi)的实部为 2,其中 a,b 为正实数,则 4a+( )1﹣b 的最小

值为



16.某校组织“中国诗词”竞赛,在“风险答题”的环节中,共为选手准备了 A、B、C 三类

不同的题目,选手每答对一个 A 类、B 类或 C 类的题目,将分别得到 300 分、200 分、100 分,

但如果答错,则相应要扣去 300 分、200 分、100 分,根据平时训练经验,选手甲答对 A 类、

B 类或 C 类题目的概率分别为 0.6、0.75、0.85,若腰每一次答题的均分更大一些,则选手甲

应选择的题目类型应为

(填 A、B 或 C)

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分)

17.为了调查喜欢旅游是否与性别有关,调查人员就“是否喜欢旅游”这个问题,在火车站

分别随机调研了 50 名女性和 50 名男性,根据调研结果得到如图所示的等高条形图

(Ⅰ)完成下列 2×2 列联表:

喜欢旅游

不喜欢旅游

合计

女性

男性

合计

(2)能否在犯错率不超过 0.025 的前提下认为“喜欢旅游与性别有关”

附:

P(K2≥k0) 0.15

k0

2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

(参考公式:K2=

,其中 n=a+b+c+d)

18.国内某汽车品牌一个月内被消费者投诉的次数用 X 表示,据统计,随机变量 X 的概率分

布如下:

X

0

1

2

3

P

0.1

0.3

2a

a

(1)求 a 的值;

(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该汽车品牌在这两个月内共被消

费者投诉 2 次的概率.

19.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2(a、b∈R)

(1)若函数 f(x)在 x=1 处有极值为 10,求 b 的值;

(2)若 a=﹣4,f(x)在 x∈[0,2]上单调递增,求 b 的最小值.

20.已知 a>0,b>0.

(1)求证: + ≥



(2)若 c>0,求证:在 a﹣b﹣c,b﹣a﹣c,c﹣a﹣b 中至少有两个负数. 21.中学阶段是学生身体发育最重要的阶段,长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康,某 校为了解甲、乙两班每周自我熬夜学习的总时长(单位:小时),分别从这两个班中随机抽取 6 名同学进步调查,将他们最近一周自我熬夜学习的总时长作为样本数据,绘制成茎叶图如图 所示(图中的茎表示十位数字,叶表示个位数字).如果学生平均每周 自我熬夜学习的总时长超过 21 小时,则称为“过度熬夜”. (Ⅰ)请根据样本数据,分别估计甲,乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值; (Ⅱ)从甲班的样本数据中有放回地抽取 2 个数据,求恰有 1 个数据为“过度熬夜”的概率; (Ⅲ)从甲班、乙班的样本中各随机抽取 2 名学生的数据,记“过度熬夜”的学生人数为 X, 写出 X 的分布列和数学期望 E(X).

22.已知函数 f(x)=(2x+b)ex,F(x)=bx﹣lnx,b∈R. (1)若 b<0,且存在区间 M,使 f(x)和 F(x)在区间 M 上具有相同的单调性,求 b 的取 值范围; (2)若 F(x+1)>b 对任意 x∈(0,+∞)恒成立,求 b 的取值范围.

2016-2017 学年河北省邢台市高二(下)期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知复数 z 满足 zi5=1+2i,则 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出. 【解答】解:∵zi5=1+2i,∴zi=1+2i,∴﹣i?zi=﹣i(1+2i),化为:z=2﹣i. 则 =2+i 在复平面内对应的点(2,1)位于第一象限. 故选:A.
2.两个变量 y 与 x 的回归模型中,分别选择了 4 个不同模型,它们对应的 R2=1﹣

的值如下,其中拟合效果最好的模型是( )

A.模型 1 对应的 R2=0.48 B.模型 3 对应的 R2=0.15 C.模型 2 对应的 R2=0.96 D.模型 4 对应的 R2=0.30 【考点】BL:独立性检验. 【分析】根据回归分析中相关指数 R2 越接近于 1,拟合效果越好,即可得出答案. 【解答】解:回归分析中,相关指数 R2 越接近于 1,拟合效果越好; 越接近 0,拟合效果越差, 由模型 2 对应的 R2 最大,其拟合效果最好. 故选:C.

3.用数学归纳法证明“凸 n 变形对角线的条数 f(n)= () A.n=1 成立 B.n=2 成立 C.n=3 成立 D.n=4 成立

”时,第一步应验证

【考点】RG:数学归纳法. 【分析】根据多边形的边数最少为 3 即可得出答案. 【解答】解:因为多边形至少有 3 条边, 故第一步只需验证 n=3 结论成立即可. 故选 C.

4.下列曲线中,在 x=1 处切线的倾斜角为

的是( )

A.y=x2﹣

B.y=xlnx C.y=sin(π x) D.y=x3﹣2x2

【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】分别求出四个函数的导数,由导数的几何意义,可得在 x=1 处切线的斜率,选出斜 率为﹣1 的即可.

【解答】解:在 x=1 处切线的倾斜角为

,即有切线的斜率为 tan

=﹣1.

对于 A,y=x2﹣ 的导数为 y′=2x+

,可得在 x=1 处切线的斜率为 5;

对于 B,y=xlnx 的导数为 y′=1+lnx,可得在 x=1 处切线的斜率为 1; 对于 C,y=sin(π x)的导数为 y′=π cos(π x),可得在 x=1 处切线的斜率为 π cosπ =﹣π ; 对于 D,y=x3﹣2x2 的导数为 y′=3x2﹣4x,可得在 x=1 处切线的斜率为 3﹣4=﹣1. 故选:D.

5.已知随机变量 X 服从正态分布 N,若 P=0.1359,则 m 等于[驸:P(μ ﹣σ <X<μ +σ )=0.6826, P(μ ﹣2σ <X<μ +2σ )=0.9544]( ) A.103 B.104 C.105 D.106 【考点】CP:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 【分析】根据正态分布的对称性求出答案. 【解答】解:∵随机变量 X 服从正态分布 N, ∴P(98<X<102)=0.6826,P(96<X<104)=0.9544, ∴P= (0.9544﹣0.6826)=0.1359, ∴m=104. 故选 B.

6.把 3 名新生分到甲、乙、丙、丁四个班,每个班至多分配 1 名且甲班必须分配 1 名,则不 同的分配方法有( ) A.12 种 B.15 种 C.18 种 D.20 种 【考点】D8:排列、组合的实际应用. 【分析】根据题意,分 2 步进行分析:①、先在 3 名新生中任选一人,安排到甲班,②、在 剩下的 3 个班级中任选 2 个,安排剩下的 2 名新生,分别求出每一步的情况数目,由分步计 数原理计算可得答案. 【解答】解:根据题意,分 2 步进行分析: ①、由于每个班至多分配 1 名且甲班必须分配 1 名,先在 3 名新生中任选一人,安排到甲班, 有 C31=3 种情况, ②、在剩下的 3 个班级中任选 2 个,安排剩下的 2 名新生,有 A32=6 种情况, 则有 3×6=18 种不同的分配方法; 故选:C.

7.给出下面三个类比结论:

①向量 ,有| |2= 2;类比复数 z,有|z|2=z2

②实数 a,b 有(a+b)2=a2+2ab+b2;类比向量 , ,有(

)2= 2

2

③实数 a,b 有 a2+b2=0,则 a=b=0;类比复数 z1,z2,有 z12+z22=0,则 z1=z2=0

其中类比结论正确的命题个数为( )

A.0 B.1 C.2 D.3

【考点】2K:命题的真假判断与应用;F3:类比推理.

【分析】对 3 个命题,①②通过反例判断命题的真假,②利用多项式的运算法则判断真假即

可.

【解答】解:对于①:向量 ,有| |2= 2;类比复数 z,有|z|2=z2,利用 z=i,则|z|2=1,

z2=﹣1,显然命题不正确;

对 于 ② : 实 数 a , b 有 ( a+b ) 2=a2+2ab+b2 ; 类 比 向 量 , , 有 (



2= 2

2,满足多项式乘法原则,正确;

对于③:实数 a,b 有 a2+b2=0,则 a=b=0;类比复数 z1,z2,有 z12+z22=0,则 z1=z2=0,例如 z1=1, z2=i,满足 z12+z22=0,但是不满足 z1=z2=0,所以命题不正确;

故选:B.

8.

展开式中任取一项,则所取项是有理项的概率为( )

A.

B. C.

D.

【考点】DC:二项式定理的应用;C7:等可能事件的概率. 【分析】要求展开式中的有理项,只要在通项

中,让 x 的指数为整数,

求解符合条件的 r,求出有理项的数目,通过古典概率的计算公式可求 【解答】解:由题意可得二项展开式的通项

=

根据题意可得,

为整数时,展开式的项为有理项,则 r=3,9 共有 2 项,而 r

的所有取值是 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 共 12 个

所求的概率为

故选 B.

9.袋中有 6 个黄色、4 个白色的乒乓球,做不放回抽样,每次任取 1 个球,取 2 次,则关于 事件“直到第二次才取到黄色球”与事件“第一次取得白球的情况下,第二次恰好取得黄 球”的概率说法正确的是( ) A.事件“直到第二次才取到黄色球”与事件“第一次取到白球的情况下,第二次恰好取得黄 球”的概率都等于 B.事件“直到第二次才取到黄色球”与事件“第一次取到白球的情况下,第二次恰好取得黄 球”的概率都等于
C.事件“直到第二次才取到黄色球”的概率等于 ,事件“第一次取得白球的情况下,第
二次恰好取得黄球”的概率等于

D.事件“直到第二次才取到黄色球”的概率等于

,事件“第一次取得白球的情况下,

第二次恰好取得黄球”的概率等于

【考点】C3:概率的基本性质. 【分析】设事件 A 表示“直到第二次才取到黄色球”,利用相互独立事件概率乘法公式能求 出 P(A);设事件 B 表示“第一次取得白球的情况下,第二次恰好取得黄球”,利用条件概率 计算公式能求出 P(B). 【解答】解:袋中有 6 个黄色、4 个白色的乒乓球,做不放回抽样,每次任取 1 个球,取 2 次, 设事件 A 表示“直到第二次才取到黄色球”, 事件 B 表示“第一次取得白球的情况下,第二次恰好取得黄球”,

则 P(A)=

=



P(B)= 故选:D.

=.

10.已知 f(x)=

,设 f1(x)=f(x),fn(x)=fn﹣1[fn﹣1(x)](n>1,n∈N*),若

fm(x)=

(m∈N*),则 m 等于( )

A.9 B.10 C.11 D.126

【考点】8I:数列与函数的综合.

【分析】通过计算 f2(x),f3(x),f4(x),f5(x),归纳可得 fn(x)=

(n

∈N*),由恒等式可得 m 的方程,即可得到 m 的值.

【解答】解:f(x)=



设 f1(x)=f(x),fn(x)=fn﹣1[fn﹣1(x)](n>1,n∈N*),

可得 f2(x)=f1[f1(x)]=f1(

)=

=



f3(x)=f2[f2(x)]=f2(

)=

=



f4(x)=f3[f3(x)]=f3(

)=

=



f5(x)=f4[f4(x)]=f4(

)=

=



…,fn(x)=
由 fm(x)= 可得 2m﹣2=256=28, 即有 m﹣2=8,即 m=10. 故选:B.

(n∈N*),

=

恒成立,

11.3 男 3 女共 6 名同学从左至右排成一排合影,要求左端排男同学,右端排女同学,且女同 学至多有 2 人排在一起,则不同的排法种数为( ) A.144 B.160 C.180 D.240 【考点】D8:排列、组合的实际应用. 【分析】根据题意,假设从左到右有 6 个位置,分 2 步进行分析:①、在 3 个男生中任选 1 人,安排在左端的 1 号位置,在女生中任选 1 人,安排在右端的 6 号位置,②、分析中间的 4 个位置,对 5 号位置分为男生和女生 2 种情况讨论,分别求出每一步的情况数目,由分步计 数原理计算可得答案. 【解答】解:根据题意,假设从左到右有 6 个位置,分 2 步进行分析: ①、要求左端排男同学,右端排女同学, 在 3 个男生中任选 1 人,安排在左端的 1 号位置,在女生中任选 1 人,安排在右端的 6 号位 置, 有 C31×C31=9 种选法; ②、对 5 号位置分 2 种情况讨论: 若 5 号位置为女生,有 2 种情况,则 4 号位置必须为男生,有 2 种情况,

将剩余的 2 人全排列,安排在 2、3 号位置,有 A22=2 种情况, 此时有 2×2×2=8 种情况, 若 5 号位置为男生,有 2 种情况, 将剩余的 3 人全排列,安排在 2、3、4 号位置,有 A33=6 种情况, 此时有 2×6=12 种情况, 则剩余的 4 个位置有 8+12=20 种情况, 故有 9×20=180 种不同的排法; 故选:C.

12.已知函数 f(x)=﹣

(a>0)在区间[0,1]上有极值,且函数 f(x)在区

间[0,1]上的最小值不小于﹣ ,则 a 的取值范围是( ) A.(2,5] B.(2,+∞) C.(1,4} D.[5,+∞) 【考点】6D:利用导数研究函数的极值. 【分析】求出函数的导数,根据函数 f(x)在[0,1]有极值,以及函数 f(x)的单调性求出 a 的范围即可.

【解答】解:f′(x)=



若 f(x)在[0,1]上有极值,





,解得:a>2,

f(x)在[0,1]先递增再递减,

故 f(x)min=f(1)=﹣ 故 a∈(2,5], 故选:A.

≥﹣ ,解得:a≤5,

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.若(2x2﹣3)n 展开式中第 3 项的二项式系数为 15,则 n= 6 . 【考点】DB:二项式系数的性质.

【分析】由题意可得:

=15,解出 n 即可得出.

【解答】解:由题意可得: 故答案为:6.

=15,化为:n2﹣n﹣30=0,解得 n=6.

14.曲线 f(x)=sin(

﹣x)与直线 x=﹣

,x=

,y=0 所围成的平面图形的

面积为



【考点】6G:定积分在求面积中的应用. 【分析】根据定积分得定义即可求出

【解答】解:曲线 f(x)=sin(

﹣x)与直线 x=﹣

面图形的面积为:

,x=

,y=0 所围成的平

S=

sin(

﹣x)dx=cos(

﹣x)|

=1﹣ = ,

故答案为: .

15.已知复数 z=(2a+i)(1﹣bi)的实部为 2,其中 a,b 为正实数,则 4a+( )1﹣b 的最

小值为 2



【考点】A4:复数的代数表示法及其几何意义.

【分析】复数 z=(2a+i)(1﹣bi)=2a+b+(1﹣2ab)i 的实部为 2,其中 a,b 为正实数,可

得 2a+b=2,b=2﹣2a.代入 4a+( )1﹣b,利用指数运算性质、基本不等式的性质即可得出.

【解答】解:复数 z=(2a+i)(1﹣bi)=2a+b+(1﹣2ab)i 的实部为 2,其中 a,b 为正实数, ∴2a+b=2,∴b=2﹣2a.

则 4a+( )1﹣b=4a+21﹣2a=

≥2

=2

,当且仅当 a= ,

b= 时取等号.

故答案为:2



16.某校组织“中国诗词”竞赛,在“风险答题”的环节中,共为选手准备了 A、B、C 三类

不同的题目,选手每答对一个 A 类、B 类或 C 类的题目,将分别得到 300 分、200 分、100 分, 但如果答错,则相应要扣去 300 分、200 分、100 分,根据平时训练经验,选手甲答对 A 类、 B 类或 C 类题目的概率分别为 0.6、0.75、0.85,若腰每一次答题的均分更大一些,则选手甲 应选择的题目类型应为 B (填 A、B 或 C) 【考点】C5:互斥事件的概率加法公式. 【分析】分别求出甲答 A,B,C 三种题目类型的均分,由此能求出结果. 【解答】解:选手甲选择 A 类题目,得分的均值为:0.6×300+0.4×(﹣300)=60, 选手甲选择 B 类题目,得分的均值为:0.75×200+0.25×(﹣200)=100, 选手甲选择 C 类题目,得分的均值为:0.85×100+0.15×(﹣100)=70, ∴若要每一次答题的均分更大一些,则选手甲应选择的题目类型应为 B. 故答案为:B.

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分)

17.为了调查喜欢旅游是否与性别有关,调查人员就“是否喜欢旅游”这个问题,在火车站

分别随机调研了 50 名女性和 50 名男性,根据调研结果得到如图所示的等高条形图

(Ⅰ)完成下列 2×2 列联表:

喜欢旅游

不喜欢旅游

合计

女性

男性

合计

(2)能否在犯错率不超过 0.025 的前提下认为“喜欢旅游与性别有关”

附:

P(K2≥k0) 0.15

k0

2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

(参考公式:K2=

,其中 n=a+b+c+d)

【考点】BO:独立性检验的应用;B8:频率分布直方图.

【分析】(Ⅰ)根据等高条形图,计算男、女性不喜欢旅游的人数,填写 2×2 列联表即可;

(2)根据列联表中数据,计算 K2,对照临界值表得出结论.

【解答】解:(Ⅰ)根据等高条形图,计算女性不喜欢旅游的人数为 50×0.3=15,

男性不喜欢旅游的人数为 50×0.5=25,填写 2×2 列联表如下:

喜欢旅游

不喜欢旅游

合计

女性

35

15

50

男性

25

25

50

合计

60

40

100

(2)根据列联表中数据,计算

K2=

=

≈4.167<5.024, 对照临界值知,不能在犯错率不超过 0.025 的前提下认为“喜欢旅游与性别有关”.

18.国内某汽车品牌一个月内被消费者投诉的次数用 X 表示,据统计,随机变量 X 的概率分

布如下:

X

0

1

2

3

P

0.1

0.3

2a

a

(1)求 a 的值;

(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响,求该汽车品牌在这两个月内共被消

费者投诉 2 次的概率.

【考点】CG:离散型随机变量及其分布列.

【分析】(1)由随机变量 X 的概率分布列的性质能求出 a. (2)由随机变量 X 的概率分布列,得该汽车品牌在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率 p=P (X=0)P(X=2)+P(X=2)P(X=0)+P(X=1)P(X=1),由此能求出结果. 【解答】解:(1)由随机变量 X 的概率分布列的性质得: 0.1+0.3+2a+a=1, 解得 a=0.2. (2)由随机变量 X 的概率分布列,得: 该汽车品牌在这两个月内共被消费者投诉 2 次的概率: p=P(X=0)P(X=2)+P(X=2)P(X=0)+P(X=1)P(X=1) =0.1×0.4+0.4×0.1+0.3×0.3 =0.17.

19.已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2(a、b∈R) (1)若函数 f(x)在 x=1 处有极值为 10,求 b 的值; (2)若 a=﹣4,f(x)在 x∈[0,2]上单调递增,求 b 的最小值. 【考点】6B:利用导数研究函数的单调性;6D:利用导数研究函数的极值. 【分析】(1)先对函数求导 f'(x)=3x2+2ax+b,由题意可得 f(1)=10,f′(1)=0,结合 导数存在的条件可求 (2)问题转化为 b≥﹣3x2+8x 在 x∈[0,2]恒成立,从而有 b≥(﹣3x2+8x)max,根据函数的 单调性求出 b 的范围即可. 【解答】解:(1)f'(x)=3x2+2ax+b, 若函数 f(x)在 x=1 处有极值为 10,



?







时,f'(x)=3x2+8x﹣11,

△=64+132>0,所以函数有极值点;



时,f′(x)=3(x﹣1)2≥0,

所以函数无极值点; 则 b 的值为﹣11.

(2)a=﹣4 时,f(x)=x3﹣4x2+bx+16, f'(x)=3x2﹣8x+b≥0 对任意的 x∈[0,2]都成立, 即 b≥﹣3x2+8x,x∈[0,2], 令 h(x)=﹣3x2+8x,对称轴 x= ,

函数 h(x)在[0, )递增,在( ,2]递减,

故 h(x)max=h( )=



故 b≥



则 b 的最小值为



20.已知 a>0,b>0.

(1)求证: + ≥



(2)若 c>0,求证:在 a﹣b﹣c,b﹣a﹣c,c﹣a﹣b 中至少有两个负数. 【考点】R6:不等式的证明;R9:反证法与放缩法. 【分析】(1)利用分析法证明; (2)假设 a≤b≤c,利用不等式的性质判断三个数的正负即可.

【解答】证明:(1)要证:





只需证:





只需证:(2a+b)2≥8ab, 即证:4a2+b2﹣4ab≥0, 即证:(2a﹣b)2≥0, 显然上式恒成立,







(2)假设 0<a≤b≤c, 显然 a﹣b﹣c≤b﹣b﹣c=﹣c<0, b﹣a﹣c≤c﹣a﹣c=﹣a<0, ∴在 a﹣b﹣c,b﹣a﹣c,c﹣a﹣b 中至少有两个负数.

21.中学阶段是学生身体发育最重要的阶段,长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康,某 校为了解甲、乙两班每周自我熬夜学习的总时长(单位:小时),分别从这两个班中随机抽取 6 名同学进步调查,将他们最近一周自我熬夜学习的总时长作为样本数据,绘制成茎叶图如图 所示(图中的茎表示十位数字,叶表示个位数字).如果学生平均每周 自我熬夜学习的总时长超过 21 小时,则称为“过度熬夜”. (Ⅰ)请根据样本数据,分别估计甲,乙两班的学生平均每周自我熬夜学习时长的平均值; (Ⅱ)从甲班的样本数据中有放回地抽取 2 个数据,求恰有 1 个数据为“过度熬夜”的概率; (Ⅲ)从甲班、乙班的样本中各随机抽取 2 名学生的数据,记“过度熬夜”的学生人数为 X, 写出 X 的分布列和数学期望 E(X).
【考点】CH:离散型随机变量的期望与方差;B8:频率分布直方图;CB:古典概型及其概率 计算公式. 【分析】(1)分别求出甲、乙两班样本数据的平均值,由此能估计甲、乙两班学生每周平均 熬夜时间. (2)从甲班的 6 个样本数据中随机抽取 1 个的数据为“过度熬夜“的概率是 ,由此能求 出从甲班的样本数据中,有放回地抽取 2 个的数据,恰有 1 个数据为“过度熬夜“的概率. (3)X 的可能取值为 0,1,2,3,4,分别求出相应的概率,由此能求出 X 的分布列和数学 期望. 【 解 答 】 解 :( 1 ) 甲 班 样 本 数 据 的 平 均 值 为
, 由此估计甲班学生每周平均熬夜时间 19 小时. 乙班样本数据的平均值为 (11+12+21+25+27+36)=22, 由此估计乙班学生每周平均熬夜时间为 22 小时. (2)∵从甲班的 6 个样本数据中随机抽取 1 个的数据为“过度熬夜“的概率是 , ∴从甲班的样本数据中,有放回地抽取 2 个的数据,恰有 1 个数据为“过度熬夜“的概率为:

p=



(3)X 的可能取值为 0,1,2,3,4,

P(X=0)=

=



P(X=1)=

=



P(X=2)=

=



P(X=3)=

=



P(X=4)=

=



∴X 的分布列为:

X

0

1

2

3

4

P

E(X)=

+

+

+3×

+4×

=.

22.已知函数 f(x)=(2x+b)ex,F(x)=bx﹣lnx,b∈R. (1)若 b<0,且存在区间 M,使 f(x)和 F(x)在区间 M 上具有相同的单调性,求 b 的取 值范围; (2)若 F(x+1)>b 对任意 x∈(0,+∞)恒成立,求 b 的取值范围. 【考点】6E:利用导数求闭区间上函数的最值;6B:利用导数研究函数的单调性. 【分析】(1)求出函数 f(x)的导函数,由导函数的符号求得函数的单调区间,再求出函数 F(x)的导函数,由 b<0,可得 F′(x)<0,则 F(x)在定义域(0,+∞)上为减函数,

要使存在区间 M,使 f(x)和 F(x)在区间 M 上具有相同的单调性,需

>0,求

解可得 b 的范围;

(2)由 F(x+1)>b 对任意 x∈(0,+∞)恒成立,可得 bx﹣ln(x+1)>0 对任意 x∈(0, +∞)恒成立,令 g(x)=bx﹣ln(x+1),求导可得 b≤0 时,g′(x)<0,g(x)在(0,+

∞)上为减函数,而 g(0)=0,不合题意;0<b<1 时,

=1﹣b+lnb>0,得 b∈?;b≥1 时,g(x)在(0,+∞)上为增函数,g(x)>g(0)=0 成立, 从而可得 b 的取值范围. 【解答】解:(1)f(x)=(2x+b)ex,f′(x)=(2x+b+2)ex,

∴当 x∈(﹣∞,﹣

)时,f′(x)<0,当 x∈(﹣

,+∞)时,f′(x)

>0,

∴f(x)的减区间为(﹣∞,﹣

),增区间为(﹣

,+∞).

F(x)的定义域为(0,+∞),且 F′(x)=b﹣



∵b<0,∴F′(x)<0,则 F(x)在定义域(0,+∞)上为减函数, 要使存在区间 M,使 f(x)和 F(x)在区间 M 上具有相同的单调性,



>0,即 b<﹣2.

∴b 的取值范围是(﹣∞,﹣2); (2)F(x+1)=b(x+1)﹣ln(x+1). 要使 F(x+1)>b 对任意 x∈(0,+∞)恒成立,即 bx﹣ln(x+1)>0 对任意 x∈(0,+∞) 恒成立,

令 g(x)=bx﹣ln(x+1),则 g′(x)=b﹣

(x>0).

若 b≤0,则 g′(x)<0,g(x)在(0,+∞)上为减函数,而 g(0)=0,不合题意;

若 0<b<1,则当 x∈(0,

)时,g′(x)<0,当 x∈(

,+∞)时,g′

(x)>0,



=1﹣b+lnb>0,得 b∈?;

若 b≥1,则

,g′(x)>0 在(0,+∞)恒成立,

g(x)在(0,+∞)上为增函数,g(x)>g(0)=0. 综上,b 的取值范围是[1,+∞).


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