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2017-2018学年高中数学第一章推理与证明1.1归纳与类比课件北师大版选修2-2_图文

§1.1 归纳与类比

学习目标

思维脉络

1.理解归纳推理和类比推理的

概念和意义.

2.会用归纳推理和类比推理进 行简单的推理. 3.能够利用归纳推理和类比推

理解决一些较为简单的数学问

题.

1.归纳推理 (1)定义:根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物 中每一个事物都有这种属性.我们将这种推理方式称为归纳推理. (2)特征:归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理.但是,利 用归纳推理得出的结论不一定是正确的. (3)归纳推理的一般步骤 归纳推理的思维过程大致是:实验、观察→概括、推广→猜测一 般性结论. 该过程包括两个步骤:
①通过观察个别对象发现某些相同性质; ②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).

名师点拨归纳推理的特点 (1)归纳推理的前提是部分的、个别的事实,归纳所得的结论是尚 属未知的一般的现象,该结论超越了前提所界定的范围. (2)归纳推理所得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需 要经过逻辑证明和实践检验.因此,它不能作为数学证明的依据. (3)一般地,如果归纳的个别对象越多,越具有代表性,那么得到的 一般性结论也就越可靠. (4)归纳推理是一种具有创造性的推理,通过归纳推理能够发现新 事实,获得新结论,是科学发现的重要手段.

【做一做1】 数列5,9,17,33,x,…中的x等于( )
A.47 B.65 C.63 D.128 解析:5=22+1,9=23+1,17=24+1,33=25+1,归纳得x=26+1=65. 答案:B

2.类比推理 (1)定义:由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根 据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征, 我们把这种推理过程称为类比推理. (2)特征:类比推理是两类事物特征之间的推理,是由特殊到特殊 的过程. (3)类比推理的一般步骤 类比推理的思维过程大致是:观察、比较→联想、类推→猜测新 的结论. 该过程包括两个步骤:
①找出两类对象之间的相似或一致的特征; ②用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的类似特征,得出一
个明确的命题(猜想).

名师点拨类比推理的特点 (1)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征,推测正在被研究 的事物的特征,所以类比推理的结果具有猜测性,不一定可靠. (2)类比推理的前提是两类对象之间具有某些清楚定义的类似特 征,所以类比推理的关键是明确指出两类对象在某些方面的类似特 征. (3)如果类比的两类对象的相似性越多,相似的性质与推测的性质 之间越相关,那么类比得出的结论就越可靠.

【做一做2】 类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平

行”的性质,可得出空间内的下列结论( )

①垂直于同一个平面的两条直线互相平行;

②垂直于同一条直线的两条直线互相平行;

③垂直于同一条直线的两个平面互相平行.

A.①②

B.②③ C.③D.①③

答案:D

3.合情推理 (1)定义:合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、 已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果 的推理方式.归纳推理和类比推理是最常见的合情推理. (2)合情推理的一般步骤

【做一做3】 判断下列推理,哪些是合情推理,哪些不是合情推理. (1)若a∥b,b∥c,则a∥c; (2)若a⊥b,b⊥c,则a∥c; (3)由1=12,1+3=22,1+3+5=32,1+3+5+7=42,…,得到1+3+…+(2n-
1)=n2; (4)今天是星期日,七天之后也是星期日. 解:(3)(4)是合情推理,(1)(2)不是合情推理.

思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画
“×”.
(1)合情推理就是正确的推理. ( × ) (2)由平面三角形的性质,推测空间四边形的性质是类比推理.
(√ ) (3)某校高二有20个班,1班有51名团员,2班有53名团员,3班有52名
团员,由此推测各班都超过50名团员是归纳推理. ( √ ) (4)已知数列1,a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,…,则该数列的第k项
是ak+ak+1+…+a2k. ( × ) (5)任何问题都可用归纳推理来推测结论. ( × )

探究一

探究二

探究三

探究四

思维辨析

用归纳推理解决数列问题

【例1】 已知正项数列{an}满足Sn= 推测正项数列{an}的通项公式.

1 2

1 +

,求出a1,a2,a3,a4,并

分析:分别令n=1,2,3,4,利用Sn与an的关系式,先求出a1,a2,a3,a4的值,

再观察分析,进行归纳猜测.

解:令 n=1,有 S1=12

1

+

1 1

,

即 a1=12

1

+

1 1

,化简可得12-1=0,

因为 a1>0,所以 a1=1.

令 n=2,有 S2=12

2

+

1 2

,

即 a1+a2=12

2

+

1 2

,

化简可得22+2a2-1=0,

因为 a2>0,所以 a2=√2-1.

探究一

探究二

探究三

探究四

思维辨析

令 n=3,有 S3=12

3

+

1 3

,

即 a1+a2+a3=12

3

+

1 3

,

化简可得32+2√2a3-1=0,

因为 a3>0,所以 a3=√3 ? √2.

令 n=4,有 S4=12

4

+

1 4

,

即 a1+a2+a3+a4=12

4

+

1 4

,

化简可得42+2√3a4-1=0,

因为 a4>0,所以 a4=2-√3.

因为 a1=1=√1 ? √0,a2=√2-1=√2 ? √1,

a3=√3 ? √2,a4=2-√3 = √4 ? √3,

归纳猜测正项数列{an}的通项公式为 an=√ ? √-1.

探究一

探究二

探究三

探究四

思维辨析

反思感悟解决此类问题的关键是根据前几项发现项与序号的一 一对应关系,归纳出数列的一个通项公式.需要注意的是:在归纳推 理中,根据同一个前提,可以归纳出不同的结论.

探究一

探究二

探究三

探究四

思维辨析

变式训练1已知f(x)=

1-

,设f1(x)=f(x),fn(x)=fn-1(fn-1(x))(n>1,且

n∈N+),则f3(x)的表达式为 ,猜想fn(x)(n∈N+)的表达式为

.

解析:先由f1(x)的表达式,根据f2(x)=f1(f1(x))求f2(x)的表达式,再由

f3(x)=f2(f2(x))求f3(x)的表达式,最后猜想fn(x)的表达式.

∵f1(x)=f(x)=1- ,



∴f2(x)=f1(f1(x))=

1-
1-1-

=

1-2

,

f3(x)=f2(f2(x))=

1-2

1-2×


1-2

=

1-4

=

1-22



,

f可4(x以)=猜f3(想f3(fxn)()x=)=1-141-×2-41--41

= =
1-8
(n∈N+).

1-23



,……

答案:1-4

1-2-1

探究一

探究二

探究三

探究四

思维辨析

归纳推理在几何中的应用

【例2】 设平面内有n(n≥3)条直线,其中有且仅有两条直线相互

平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个

数,则f(4)=

;当n>4时,f(n)=

(用含n的数学表达式表示).

解析:最初的三条直线产生两个交点,即f(3)=2.每增加1条直线,与

前面的每条直线产生1个交点,则新增加的第n条直线,与前面的(n-1)

条直线产生(n-1)个交点,即f(n)-f(n-1)=n-1.

由图知f(4)=5.

当n>4时,f(n)-f(n-1)=n-1,

f(n-1)-f(n-2)=n-2,

……

f(4)-f(3)=3.

探究一

探究二

探究三

探究四

思维辨析

将以上各式相加可得,f(n)-f(3)=12(n+2)(n-3). 因为 f(3)=2,所以 f(n)=12(n+2)(n-3)+2. 化简整理,得 f(n)=12(n-2)(n+1)(n>4). 答案:5 12(n-2)(n+1)(n>4) 反思感悟在几何中,随着点、线、面等元素的增加,探究相应的
线段、交点、区域等数量的增加问题常用归纳推理解决,寻找递推
关系是解决该类问题的关键.

探究一

探究二

探究三

探究四

思维辨析

变式训练2在平面内观察凸四边形有2条对角线,凸五边形有5条

对角线,凸六边形有9条对角线……由此猜想凸n(n≥4)边形有多少

条对角线?

解:凸四边形有2条对角线,

凸五边形有5条对角线,比凸四边形的对角线多3条,

凸六边形有9条对角线,比凸五边形的对角线多4条,

……

于是猜想凸n边形的对角线比凸(n-1)边形的对角线多(n-2)条,由

此猜想凸n边形的对角线条数为2+3+4+5+…+(n-2)=

1 2

n(n-

3)(n≥4).

探究一

探究二

探究三

探究四

思维辨析

归纳推理在数阵问题的应用
【例3】 根据给出的数塔猜测123 456×9+7等于( ) 1×9+2=11 12×9+3=111
123×9+4=1 111 1 234×9+5=11 111 12 345×9+6=111 111
A.1 111 110 B.1 111 111
C.1 111 112 D.1 111 113

探究一

探究二

探究三

探究四

思维辨析

解析:由1×9+2=11, 12×9+3=111, 123×9+4=1 111, 1 234×9+5=11 111,
…… 归纳可得,等式右边各数位上的数字均为1,位数与等式左边的第
二个加数相同,所以123 456×9+7=1 111 111.
答案:B 反思感悟解决此类数阵问题时,通常利用归纳推理,其步骤如下: (1)明确各行、各列数的大小; (2)分别归纳各行、各列中相邻两个数的大小关系; (3)按归纳出的规律写出一个一般性的结论.

探究一

探究二

探究三

探究四

思维辨析

变式训练3观察下列式子:

1+12 + 13>1, 1+12 + 13+…+17 > 32, 1+12 + 13+…+115>2,

……

则仿照上面的规律,可猜想此类不等式的一般形式为

.

解析:观察式子可得规律:不等号的左侧是 1+12 + 13+…+2+11-1,共 (2n+1-1)项的和;不等号的右侧是+2 1.故猜想此类不等式的一般形式

为 1+12 + 13+…+2+11-1 > +2 1.

答案:1+12

+

13+…+2+11-1

>

+1 2

探究一

探究二

探究三

探究四

思维辨析

类比推理

【例4】 已知O是△ABC内任意一点,连接AO,BO,CO并延长交对

边于点A',B',C',则 采用“面积法”.

' '

+

' '

+

' '

=1,这是一道平面几何题,其证明常

' '

+

' '

+

' '

=

△ △

+

△ △

+

△ △

=

△△=1.

请运用类比思想,说出对于空间中的四面体A-BCD存在什么类似

的结论?并证明.

分析:解答本题可以把平面几何的元素类比到空间中,通常是面

积对应体积.

探究一

探究二

探究三

探究四

思维辨析

解:在四面体A-BCD中,任取一点O,连接AO,DO,BO,CO并延长分

别交四个面于点E,F,G,H.




+



+



+

=1.

证明如下:在四面体O-BCD与A-BCD中,



=

?- ?-

=

13△·?- 13△·?-

=

--.

同理,

=

- -

,



=

- -

,



=

- -

,




+



+



+

=-

+-+-+- -

=

--=1.

探究一

探究二

探究三

探究四

思维辨析

反思感悟平面中常见的一些元素与空间中的一些元素的类比列 表如下:
平面 点 线 圆 三角形 角 面积 周长 … 空间 线 面 球 三棱锥 二面角 体积 表面积 …

探究一

探究二

探究三

探究四

思维辨析

变式训练4在平面上,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们

的面积比为1∶4,类似地,在空间内,若两个正四面体的棱长的比为

1∶2,则它们的体积比为

.

解析:一方面,可以由边长与面积、棱长与体积的关系得到体积

之比为13∶23=1∶8.

另一方面,可以通过具体的计算,不妨设两个正四面体的棱长分

别为a和2a,则可求得它们的体积分别为

√2 12

a3和

2√2 3

a3,所以它们的

体积之比为1∶8.

答案:1∶8

探究一

探究二

探究三

探究四

思维辨析

因归纳不全面而致误

【典例】

已知

x>0,由不等式

x+1≥2,x+42

=

2

+

2

+

42≥3,……,

启发我们可以推广出结论:x+≥n+1(n∈N+),则 m=

.

易错分析:本题易犯的错误是只照顾到了不等式中左边的项数及

右边的规律,而没有把握深层次的规律,即x的系数之和为1.

解析:由已知可以再写出几个式子.

3

+

3

+

3

+

333≥4,4

+

4

+

4

+

4

+

444≥5,

……, + +…+ + ≥n+1.

答案:nn

纠错心得归纳推理时,要注意对结构形式细致观察,并且尽量多 归纳几个,必要的时候对特殊情况进行检验.

探究一

探究二

探究三

探究四

思维辨析

变式训练观察下列等式:

1=1,

13=1,

1+2=3,

13+23=9,

1+2+3=6,

13+23+33=36,

1+2+3+4=10, 13+23+33+43=100,

1+2+3+4+5=15, 13+23+33+43+53=225.

可以推测:13+23+33+…+n3= 式表示).

(n∈N+,用含有n的代数

探究一

探究二

探究三

探究四

思维辨析

解析:由题意得第二列等式的右端分别是12,32,62,102,152,第一列

等式的右端分别是1,3,6,10,15,可知第二列等式右端等于相应的第

一列等式右端的平方.

第一列第 n 个等式为 1+2+3+…+n=(2+1),所以第二列第 n 个等

式为

13+23+33+…+n3=

(+1) 2

2

=

14n2(n+1)2.

答案:14n2(n+1)2

12345
1.数列2,5,11,20,x,47,…中的x等于( ) A.28 B.32 C.33 D.27 解析:由所给数列的前四项可知,从第2项起,每一项与前一项的差构 成以3为公差的等差数列,第2项与第1项的差为3,第3项与第2项的 差为6,第4项与第3项的差为9,所以第5项x与第4项20的差应为12,即 x-20=12,所以x=32. 答案:B

12345

2.已知扇形的弧长为l,半径为r,类比三角形的面积公式S=



× 2



,可

推知扇形面积公式S扇等于( )

A.22

B.22

C.2

D.不可类比

解析:由扇形的弧长与半径类比于三角形的底与高,可得S=

1 2

lr.

答案:C

12345
3.下面几种推理是类比推理的是( )
A.因为三角形的内角和是180°×(3-2),四边形的内角和是 180°×(4-2),…,所以n边形的内角和是180°×(n-2)
B.由平面内平行四边形的性质,推测空间中平行六面体的性质 C.由a1=1,an=3n-1,求出S1,S2,S3,猜想出数列{an}的前n项和Sn的表达 式 D.4能被2整除,6能被2整除,8能被2整除,所以偶数能被2整除 解析:A项为归纳推理,B项为类比推理,C项为归纳推理,D项为归纳 推理. 答案:B

12345

4.观察下列各等式
(1+1)=2×1

(2+1)(2+2)=22×1×3 (3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5

……

照此规律,第n个等式为

.

解析:由所给等式可知,左边为n个式子相乘,从(n+1)到(n+n),右边第

1个数为2n,后边是从1开始的连续n个奇数相乘,故第n个等式应为
(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1).

答案:(n+1)(n+2)(n+3)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1)

12345
5.已知 sin230°+sin290°+sin2150°=32, sin25°+sin265°+sin2125°=32, sin221°+sin281°+sin2141°=32. 通过观察上述等式的规律,写出一般性规律,并给出证明. 解:猜想:sin2(α-60°)+sin2α+sin2(α+60°)=32. 证明如下:sin2(α-60°)+sin2α+sin2(α+60°) =12[1-cos(2α-120°)]+12(1-cos 2α)+12[1-cos(2α+120°)] =12[(1-cos 2αcos 120°-sin 2αsin 120°)+(1-cos 2α)+(1-cos 2αcos 120°+sin 2αsin 120°)] =12(3-2cos 2αcos 120°-cos 2α) =12(3+cos 2α-cos 2α)=32.


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