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《博弈论与信息经济学》习题库


Shang Hai Normal University
上海师范大学商学院 任课教师:刘江会 2010-2011 学年第一学期

《博弈论与信息经济学》习题
一.判断下列表述是否正确,并作简单讨论: 1.有限次重复博弈的子博弈完美纳什均衡每次重复采用的都是原博弈的纳 什均衡。 答:不一定。对于有两个以上纯策略纳什均衡的条件下就不一定。如“触发 策略”就不是。 2.有限次重复博弈的子博弈完美纳什均衡的最后一次重复必定是原博弈的 一个纳什均衡。 答:是,根据子博弈完美纳什均衡的要求,最后一次必须是原博弈的一个纳 什均衡。 3.无限次重复博弈均衡解的得益一定优于原博弈均衡解的得益。 答:错。如严格竞争的零和博弈就不优于。 4.无限次重复古诺产量博弈不一定会出现合谋生产垄断产量的现象。 答:正确。合谋生产垄断产量是有条件的,由贴现率来反映,当不满足条件 时,就不能构成激励。 5.如果博弈重复无限次或者每次结束的概率足够小, 而得益的时间贴现率 ? 充分接近 1,那么任何个体理性的可实现得益都可以作为子博弈完美纳什均衡的 结果出现。 答:这就是无限次重复博弈的民间定理。 6.触发策略所构成的均衡都是子博弈完美纳什均衡。 答:错误。触发策略本身并不能排除重复博弈中不可信的威胁和承诺,因此 由触发策略构成的不一定是子博弈完美纳什均衡。 7.完全但不完美信息动态博弈中各博弈方都不清楚博弈的进程, 但清楚博弈
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的得益。 答:不一定,不是所有博弈方都不清楚博弈的进程,只要有一个博弈方都不 完全清楚博弈的进程。 8.不完美信息动态博弈中的信息不完美性都是客观因素造成的, 而非主观因 素造成。 答: 错。 信息不完美很多是人为因素所造成的, 因为出于各自的动机和目的, 人们在市场竞争或合作中常常会故意隐瞒自己的行为。 9.在完全但不完美信息动态博弈中,若不存在混合策略,并且各博弈方都是 主动选择且行为理性的,则不完美信息从本质上说是“假的” 。 答:正确。因为只包含理性博弈方的主动选择行为,利益结构明确,而且不 同路径有严格优劣之分, 从不需要用混合策略的动态博弈来说,所有博弈方选择 的路径都可以通过分析加以确定和预测,根本无须观察。从这个意义上说,这种 博弈的不完美信息实际上都是假的。 10.子博弈可以从一个多节点信息集开始。 答:不能从多节点信息集开始,因为多节点必然分割信息集。 11.不完美信息指至少某个博弈方在一个阶段完全没有博弈进程的信息。 答:不是完全没有博弈进程的信息,而是没有完美的信息,只有以概率判断 形式给出的信息。 12.海萨尼转换可以把不完全信息静态博弈转换为不完美信息博弈,说明有 了海萨尼转换, 不完全信息静态博弈和一般的不完美信息动态博弈是等同的,不 需要另外发展分析不完全信息静态博弈的专门分析方法和均衡概念。 答: 错误。 即使海萨尼转换把不完全信息静态博弈转换为不完美信息动态博 弈, 也是一种特殊的有两个阶段同时选择的不完美信息动态博弈,对这种博弈的 分析进行专门讨论和定义专门均衡的概念有利于提高分析的效率。 13.完全信息静态博弈中的混合策略可以被解释成不完全信息博弈的纯策略 贝叶斯纳什均衡。 答: 正确。 完全信息静态博弈中的混合策略博弈几乎总是可以解释成一个有 少量不完全信息的近似博弈的一个纯策略 Bayes—Nash 均衡。 夫妻之争的混合策 略 Nash 均衡可以用不完全信息夫妻之争博弈的 Bayes—Nash 均衡表示就是一个
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例证。 14.静态贝叶斯博弈中之所以博弈方需要针对自己的所有可能类型,都设定 行为选择,而不是只针对实际类型设定行为选择,是因为能够迷惑其他博弈方, 从而可以获得对自己更有利的均衡。 答:错误。不是因为能够迷惑其他博弈方,而是其他博弈方必然会考虑这些 行为选择并作为他们行为选择的依据。 因为只根据实际类型考虑行为选择就无法 判断其他博弈方的策略,从而也就无法找出自己的最优策略。其实,在这种博弈 中一个博弈方即使自己不设定针对自己所有类型的行为选择, 其他博弈方也会替 他考虑。 因为设定自己所有类型下的行为,实际上是要弄清楚其他博弈方对自己 策略的判断。 二.选择题 1.利用扩展式表述一个博弈不需要阐述如下哪一项()
A. 参与人 B. 战略空间 C. 支付组合 D. 行动顺序

2.一个博弈称之为完美信息博弈,如果
A. 任意参与人的任意信息集都是单结的 B. 该博弈是完全信息动态博弈 C. 所有参与人都只有一个信息集 D. 该博弈是一个静态博弈

3.子博弈精炼纳什均衡的实质是
A. 所有参与人都是理性的 B. 参与人行动存在先后顺序 C. 重复剔除的占优均衡 D. 以上都不对

4.关于战略式与扩展式,以下命题正确的是
A. 战略式方法只能表述静态博弈 B. 扩展式方法不能表述无限博弈 C. 扩展式方法只能表述动态博弈 D. 扩展式与战略式可相互转换

5.在什么情况下,行为与战略是等同的
A. 参与人只有一个信息集 B. 完美回忆博弈 C. 完美信息博弈 D. 完全信息博弈

6.一般认为,博弈论始于下列哪几位博弈论专家的奠基性工作
A. 纳什与泽尔腾 B. 冯· 诺伊曼与摩根斯坦恩 C. 泽尔腾与海萨尼 D. 库恩与夏普利

7.关于行为组合与战略组合,下列命题正确的是
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A. 战略组合总是对应唯一的行动组合 B. 两者是等价的 C. 行为组合总是对应唯一的战略组合 D. 以上都不对

8.关于子博弈,以下命题错误的是
A. 子博弈的支付继承自原博弈 B. 子博弈中参与人的行动继承自原博弈 C. 子博弈至少包括两个或两个以上参与人 D. 子博弈不能修改原博弈的信息

9.关于博弈树的结,下列阐述正确的
A. 每个结都表示参与人的一个决策时点 B. 前列集中的结都可以比较行动先后顺序 C. 任意结都可以比较行动先后顺序 D. 后续集中的结都可以比较行动先后顺序

10.图 1 所表述的双人博弈是

图 1 双人博弈树 A. 完美回忆博弈 B. 不完全信息博弈 C. 完美博弈 D. 静态博弈

11.在图 1 所示博弈中,参与人 1、2 的信息集个数分别是
A. 5,2 B. 3,2 C. 3,1 D. 2,2

12.在图 1 所示博弈中,参与人 1、2 的纯战略个数分别是
A. 32,4 B. 8,4 C. 4,4 D. 2,4

13.图 1 所示博弈的子博弈与后续博弈个数分别是
A. 3,5 B. 7,7 C. 5,5 D. 1,3

14.图 1 所示博弈的子博弈精炼纳什均衡结果是
A. (A,F,C) B. (B,E,C) C. (B,F,C) D. (A,E,C)

15.海萨尼公理是
A. 某些参与人不知道自然的选择,但假设所有参与人都知道自然选择的概率 B. 假设所有参与人都知道自然的选择
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C. 某些参与人不知道自然的选择,但假设部分参与人知道自然选择的概率 D. 以上都不对

三、计算分析题 1.一逃犯从关押他的监狱中逃走,一看守奉命追捕。如果逃犯逃跑有两条 可选择的路线,看守只要追捕方向正确就一定能抓住罪犯。逃犯逃脱可少坐 10 年牢,但一旦被抓住则要加刑 10 年;看守抓住逃犯能得 1000 元奖金。请分别用 得益矩阵和扩展型表示该博弈,并作简单分析。 (赌胜博弈) 参考答案: 得益矩阵 看守 路线 1 路线 1 逃犯 路线 2 10,0 -10,100 -10,100 路线 2 10,0

扩展型
逃犯 路线 1 看守 路线 1 路线 2 (-10,100) 路线 1 路线 2 (-10, 100) 路线 2

(10, 0) (10, 0)

两博弈方的计量单位不同, 无法判定是否为常和博弈, 但肯定不是零和博弈。 逃犯与看守都是随机地选择路线一和路线二。

2. 一个工人给一个老板干活,工资标准是 100 元。工人可以选择是否偷懒,
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老板则选择是否克扣工资。假设工人不偷懒有相当于 50 元的负效用,老板想克 扣工资则总有借口扣掉 60 元的工资,工人不偷懒老板有 150 元的产出,而工人 偷懒时老板只有 80 元的产出,但老板在支付工资之前无法知道实际产出,这些 情况双方都是知道的。请问: (1)如果老板完全能够看出工人是否偷懒,博弈属于哪种类型?用得益矩 阵或扩展型表示该博弈并作简单分析。 (2)如果老板无法看出工人是否偷懒,博弈属于哪种类型?用得益矩阵或 扩展型表示并作简单分析。 参考答案: (1)是完全且完美信息动态博弈。 如果工人偷懒,老板克扣工资,损益(40,40) 如果工人不偷懒,则老板不克扣,损益(50,50) (2)完全信息静态博弈,是囚徒的困境 得益矩阵(略) 对于工人来说,偷懒总是有利的,对于老板老说,克扣工资总是有利 的,陷入了囚徒的困境,永远是低效率的。

c 3.两寡头古诺模型,P ? P(Q) ? a ? Q ,但两个厂商的边际成本不同,分别为 1
c 和 2 。如果 0 ? ci ? a / 2 ,问纳什均 衡产量各为多少?如 果 c1 ? c2 ? a ,但
2c2 ? a ? c1 ,则纳什均衡产量又为多少?
参考答案: (1)双方的反应函数联立求解 ? * 1 q ? (a ? 2c1 ? c2 ) ? ? 2q1 ? q2 ? a ? c1 ? 1 3 ,解得: ? ? ? q1 ? 2q2 ? a ? c2 ? q * ? 1 ( a ? c ? 2c ) 2 1 2 ? 3 ? 当 0 ? ci ? a / 2 ,就是这个博弈的 Nash 均衡。
* (2)如果 c1 ? c2 ? a ,但 2c2 ? a ? c1 ,当然可以推得 q2 ? 0 。那么厂商 1 就

* ? 变成垄断商它的最佳产量当然是 q1

a?c ?a ? c? 。 ,它的利润是: ?1* ? 2 4
2

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4.如果双寡头垄断的市场需求函数是 P ? P(Q) ? a ? Q ,两个厂商都无固定成 本边际成本为相同的常数 c 。 如果两个厂商都只能要么生产垄断产量的一半,要 么生产古诺产量。证明:这是一个囚徒困境型的博弈。 参考答案: 古诺产量
a?c a?c ,垄断产量的一半 ,那么 3 4
2

?a ? c? ? i ? (a ? c ? Q)qi 分别有四种情况:
9

?a ? c? ,
8

2

5?a ? c? 5?a ? c? , , 36 48
2

2


a?c 古诺产量 商 3 a?c 一 垄断产量的一半 4

厂商二 a?c 古诺产量 3

垄断产量的一半
2 2

a?c 4
2

?a ? c?
9

2


2

?a ? c?
9

5?a ? c? 5?a ? c? , 36 48
2 2 2

5?a ? c? 5?a ? c? ?a ? c? , ?a ? c? , 48 36 8 8 双方都有投机的行为,直至达到古诺产量,达到均衡。

5.企业甲和企业乙都是彩电制造商,都可以选择生产低档产品或高档产品, 每个企业在四种不同的情况下的利润如以下得益矩阵所示。 如果企业甲先于企业 乙进行产品选择并投入生产, 即企业乙在决定产品时已经知道企业甲的选择,而 且这一点双方都清楚。 (1)用扩展型表示这一博弈。 (2)这一博弈的子博弈完美纳什均衡是什么? 企业乙 企业甲 参考答案: (1)扩展型表示的博弈 高档 低档 高档 500,500 700,1000 低档 1000,700 600,600

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甲 高 乙 高 低 高 (700, 1000) 低

乙 低

(500,500) (2)

(1000, 700)

(600,600)

若甲选择高档,乙选择低档,甲得 1000 元,乙得 700 元; 若甲选择低档,乙选择高档,那么甲得 700 元,乙得 1000 元, 所以:甲的策略为:选择生产高档产品; 乙的策略是:若甲选择高档,乙选择低档;若甲选择低档,乙选择高档。 本博弈的子博弈 Nash 均衡是: 甲选择生产高档彩电, 乙选择生产低档彩电。

6.有限次重复博弈和无限次重复博弈有什么区别?这些区别对我们有什么 启发?为什么消费者偏好去大商店买东西而不太信赖走街穿巷的小商贩? 参考答案: 略 7. 寡头的古诺产量博弈中,如果市场需求 P ? 130 ? Q ,边际成本 C ? 30 且没 有固定成本,贴现因子 ? ? 0.9。如果该市场有长期稳定性,问两个厂商能否维持 垄断产量?

( 130 ? q1 ? q2 )q1 ? 30q1 ? ?1 ? ? ( 130 ? q1 ? q2 )q2 ? 30q2 解: ?? 2 ?
古诺产量
* q1* ? q2 ?

100 10000 * ? 1* ? ? 2 ? 3 ,利润为: 9

( 130 ? q )q ? 30q , ? qm ? 50,? m ? 2500 垄断产量 ? ?

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?m
市场长期稳定的, 2

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? 1250

1250 ( 1 ? ? ? ? 2 ? ?) ?

1250 ? 12500 1?? , ? ? 0.9
**

( 130 ? 25 ? q1 )q1 ? 30q1 ,? q1 ? 37.5 ,? 1 ? 1406.25 如果一厂商偏离:? 1 ?

那么:

1406.25 ?

10000 10000? (? ? ? 2 ? ?) ? 1406.25 ? 9 ( 9 1 ? ?)

? 1406 .25 ? 10000 ? 11406 .25 ? 12500

因此,坚持垄断产量是明智的。

8.假设在一价二手车模型中V ? 5000 元,W ? 1000 元, P ? 3000 元,差车的概 率是 0.6。再假设政府可以控制厂商的伪装成本 C ,但每一单位 C 政府自己有 0.5 单位成本, 而政府的效用是交易中买方的利益减去政府自己的成本。问该博弈的 完美贝叶斯均衡是什么? 1 好 1 不 卖 卖 差 1 不 卖



不 买 (3000, 2000) 参考答案:

不 买

不 买

不 买

(0, 0)

(0, 0)

(0, 0) (3000-C, -2000)

(0, 0)

假设 C<3000,市场均衡是失常失败型或完全失败型。

(? 2000) ? ?400<0 买的期望收益: 0.4 ? 2000 ? 0.6 ?

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C>3000 刚好如 C=3000,是完全成功型: 好车卖,差车不卖,买方选买 因此把 C 提高到 3000 以上,构成市场完全成功型的完美 Bayes 均衡。

9.有一厂商准备进入某行业经营。该行业在该地区己有一个在位者,并即将 投产。 进入者不知道在位者生产成本情况,只知道在位者的生产成本有高成本和 低成本两种类型,其摡率分别为 0.6 和 0.4。进入者有两个策略:进入和不进入。 在位者有两个策略:高价和低价。进入者和在位者同时选定策略。巳知不同情况 下双方的收益見下表:

从上情况均为共同知识,求该博弈的全部贝叶斯纳什均衡。 参考答案:根据题意有 p(高成本)=3//5,p(低成本)=2/5。下面我们来分析在 位者和进入者的策略: 设在位者在高成本时选择高价的概率为 x1,选择低价的概率则为 1-x1,x1 ∈ [0,1]。在低成本时选择高价的概率为 x2,选择低价的概率则为 1-x2,x2∈ [0,1] 进入者选择进入的概率为 y,选 择不进入的概率为 1-y, y ∈ [0,1]。 在位者是高成本时,其高价是占优策略,因此 x1=1 。在位者是低成本时低 价是占优策略,因此 x2 = 0,则进入者的收益为:

当 y 为 0 的时候取得最大值 0。所以进入者会选择不进入,在位者在高成本 时会选择进入,低成本时选择不进入。则高成本时均衡为(高价,不进入) ,结 果为(8,0) 。低成本时均衡为(低价,不进入) ,结果为(11,0) 。

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