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高三数学(文科)一轮复习热身训练(52)《直线与圆锥曲线的位置关系A》人教B版选修1-1

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课时作业(五十二)A [第 52 讲 直线与圆锥曲线的位置关系] [时间:45 分钟 分值:100 分] 基础热身 1.过点 P(-1,0)的直线 l 与抛物线 y2=5x 相切,则直线 l 的斜率为( ) 2 3 5 6 A.± 2 B.± 2 C.± 2 D.± 2 b x2 y2 2.直线 y=ax+3 与双曲线a2-b2=1 的交点个数是( ) A.1 B.2 C.1 或 2 D.0 x2 y2 3.双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x2+1 相切,则双曲线的离心 率是( ) A. 3 B.2 C. 5 D. 6 x2 y2 4. 方程m2+ =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆, 则实数 m 的取值范围是________. ?m-1?2 能力提升 5.直线 y=x+m 与抛物线 x2=2y 相切,则 m=( ) 1 1 1 1 A.- B.- C.- D. 2 3 4 2 |C| x2 y2 6.“ 2 ≤ a ”是“曲线 Ax + By + C = 0 与 ) a + b =1(a>b>0)有公共点”的( A +B2 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 x2 y2 7.抛物线 x2=16y 的准线与双曲线 - =1 的两条渐近线所围成的三角形的面积是 9 3 ( ) A.16 3 B.8 3 C.4 3 D.2 3 x2 y2 8.椭圆a2+b2=1(a>b>0)的半焦距为 c,若直线 y=2x 与椭圆的一个交点的横坐标恰 为 c,则椭圆的离心率为( ) 3 2 A. 2 B. 3-1 C. 2 D. 2-1 x2 y2 9.[2011· 天津卷] 已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线 y2=2px(p>0)的 焦点的距离为 4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双 曲线的焦距为( ) A.2 3 B.2 5 C.4 3 D.4 5 10.已知抛物线 y2=2px(p>0),过点(p,0)作两条互相垂直的直线 l1,l2,若 l1 与抛物线 交于 P、Q 两点,l2 与抛物线交于 M、N 两点,l1 的斜率为 k,某同学已正确求得弦 PQ 的 p p 中点坐标为?k2+p,k ?,则弦 MN 的中点坐标为________. ? ? 11.若直线 y=(a+1)x-1 与 y2=ax 恰有一个公共点,则 a=________. x2 y2 x2 y2 12. [2011· 山东卷] 已知双曲线a2-b2=1(a>0, b>0)和椭圆16+ 9 =1 有相同的焦点, 且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为________________. 13. [2011· 常州模拟] 已知抛物线 C: y2=2px(p>0)的准线为 l, 过 M(1,0)且斜率为 3 → → 的直线与 l 相交于点 A,与 C 的一个交点为 B.若AM=MB,则 p=________.
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1 1 14.(10 分)[2011· 连云港调研] 已知动圆 P 过点 F?0,4?且与直线 y=-4相切.

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(1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 F 作一条直线交轨迹 C 于 A,B 两点,轨迹 C 在 A,B 两点处的切线相交于点 N,M 为线段 AB 的中点,求证:MN⊥x 轴. x2 y2 15.(13 分)双曲线 2- 2=1(a>1,b>0)的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b),且点 a b 4 (1,0)到直线 l 的距离与点(-1,0)到直线 l 的距离之和 s≥5c.求双曲线的离心率 e 的取值范 围. 难点突破 20 x2 y2 16.(12 分)已知圆 C1 的方程为(x-2)2+(y-1)2= 3 ,椭圆 C2 的方程为a2+b2= 2 1(a>b>0),C2 的离心率为 2 ,如果 C1 与 C2 相交于 A、B 两点,且线段 AB 恰为圆 C1 的直 径,求直线 AB 的方程和椭圆 C2 的方程.

课时作业(五十二)A 【基础热身】 1.C [解析] 显然斜率存在不为 0,设直线 l 的方程为 y=k(x+1),代入抛物线方程 5 消去 x 得 ky2-5y+5k=0,由 Δ=(-5)2-4×5k2=0,得 k=± .故选 C. 2 b b 2.A [解析] 因为直线 y=ax+3 与双曲线的渐近线 y=ax 平行,所以它与双曲线只 有 1 个交点.故选 A. y0 3.C [解析] 设切点为 P(x0,y0),则切线斜率为 k=y′=2x0,依题意有 =2x0.又 x0 2 b b y0=x2 1,所以a=2x0=2,b=2a,所以 e= 1+a2= 5.故选 C. 0+1,解得 x0=± 1 4.m< 且 m≠0 [解析] 首先 m≠0,m≠1,根据已知,m2<(m-1)2,即 m2-(m2- 2 2m+1)<0, 1 1 解得 m<2.所以实数 m 的取值范围是 m<2且 m≠0. 【能力提升】5.A [解析] 将直线方程代入抛物线方程,得 x2-2x-2m=0,由 Δ= 1 4+8m=0,得 m=-2.故选 A. |C| 6.B [解析] 如果两曲线有公共点,可得椭圆中心到直线的距离 d= 2 ≤a; A +B2 反之不一定成立.故选 B. 3 7.A [解析] 抛物线的准线为 y=-4,双曲线的两条渐近线为 y=± 3 x,这两条直 线与 y=-4 的交点是 A(-4 3,-4),B(4 3,-4),故围成三角形的面积为 1 1 S=2|AB|×4=2×8 3×4=16 3.故选 A.

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c2 4c2 8.D [解析] 依题意直线 y=2x 与椭圆的一个交点坐标为(c,2c),所以a2+ b2 =1, 消去 b 整理得 a2-2ac-c2=0,所以 e2+2e-1=0,解得 e=-1± 2.又 e∈(0,1),所以 e = 2-1.故选 D. x2 y2 b 9.B [解析] 双曲线a2-b2=1 的渐近线为 y=± ax,由双曲线的一条渐近线与抛物线 p p 的准线的交点坐标为(-2,-1)得-2=-2,即 p=4.又∵2+a=4,∴a=2,将(-2,- b 1)代入 y= x 得 b=1, a ∴c= a2+b2= 4+1= 5,∴2c=2 5. 1 10.(k2p+p,-kp) [解析] 因为两直线互相垂直,所以直线 l2 的斜率为-k ,只需将 1 弦 PQ 中点坐标中的 k 替换为-k ,就可以得到弦 MN 的中点坐标,于是得弦 MN 的中点 坐标为(k2p+p,-kp).

?y=?a+1?x-1, [解析] 由? 2 得(a+1)y2-ay-a=0.当 a≠-1 时, ?y =ax 4 令 Δ=a2+4a(a+1)=0,解得 a=0 或 a=-5;当 a=-1 时,方程仅有一个根 y=-1, 4 符合要求.所以 a=0 或-1 或-5. x2 y2 x2 y2 12. 4 - 3 =1 [解析] 椭圆方程为16+ 9 =1,则 c2=a2-b2=7,即 c= 7,又双曲线 7 离心率为椭圆离心率的 2 倍,所以双曲线的离心率为 e= 2 ,又 c= 7,所以 a=2,所以 x2 y2 b2=c2-a2=7-4=3,所以双曲线方程为 4 - 3 =1. p 13.2 [解析] 抛物线的准线方程为 x=-2,过点 M 的直线方程为 y= 3(x-1),所 p p → → 1+ ?? 以交点 A?-2,- 3? ? 2??.因为AM=MB,所以点 M 是线段 AB 的中点,由中点公式得 ? p p p p 1+2??.又点 B 在抛物线上,于是 3?1+ ?2=2p×?2+ ?,即 p2+4p-12=0, B?2+2, 3? ? ?? ? 2? ? 2? ? 解得 p=-6(舍去)或 p=2. 1 1 14.[解答] (1)由已知,点 P 到点 F?0,4?的距离等于到直线 y=-4的距离,根据抛物 ? ? 线的定义,可得动圆圆心 P 的轨迹 C 为抛物线,其方程为 x2=y. 2 (2)证明:设 A(x1,x2 1),B(x2,x2). ∵y=x2,∴y′=2x, ∴AN,BN 的斜率分别为 2x1,2x2, 故 AN 的方程为 y-x2 1=2x1(x-x1), 2 BN 的方程为 y-x2=2x2(x-x2), 2 ?y=2x1x-x1, 即? ?y=2x2x-x2 2. x1+x2 两式相减,得 xN= 2 . x1+x2 又 xM= 2 ,
4 11. 0 或-1 或- 5
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所以 M,N 的横坐标相等,于是 MN⊥x 轴. 15.[解答] 直线 l 的方程为 bx+ay-ab=0,由点(1,0)到直线 l 的距离为点(-1,0)到 ab 2ab 直线 l 的距离之和为点(0,0)到直线 l 的距离的 2 倍,∴S=2·2 2= c . a +b 4 2ab 4 由 s≥5c,得 c ≥5c,即 5a c2-a2≥2c2, 于是得 5 e2-1≥2e2,即 4e4-25e2+25≤0. 5 解不等式,得 ≤e2≤5. 4 5 由于 e>1>0,所以 e 的取值范围是 2 ≤e≤ 5. 【难点突破】 2 c 2 16.[解答] 由 e= 2 ,得a= 2 ,得 a2=2c2,b2=c2. x 2 y2 设椭圆 C 方程为2b2+b2=1,A(x1,y1),B(x2,y2). 由圆心为(2,1),得 x1+x2=4,y1+y2=2. 2 x2 y2 x2 y2 1 1 2 又2b2+b2=1,2b2+b2=1, 2 2 x2 y2 1-x2 1-y2 两式相减,得 2 + 2 =0. 2b b y1-y2 x1+x2 所以 =- =-1, x1-x2 2?y1+y2? 所以直线 AB 的方程为 y-1=-(x-2), 即 x+y-3=0. x 2 y2 将上述方程代入2b2+b2=1, 得 3x2-12x+18-2b2=0,(*) 又直线 AB 与椭圆 C2 相交,所以 Δ=24b2-72>0. 且 x1,x2 是方程(*)的两根, 2b2 所以 x1+x2=4,x1x2=6- 3 . 由|AB|= 2|x1-x2|= 2 ?x1+x2?2-4x1x2 20 =2× 3, 8b2-24 20 得 2× 3 =2× 3. x2 y2 解得 b2=8,故所求椭圆方程为16+ 8 =1.

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