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配套K12四川省成都市高中数学 第二章 点线面的位置关系 第9课时 空间几何中的平行和垂直的综合应用

小学+初中+高中+努力=大学
第 9 课时 空间几何中的平行和垂
直的综合应用
基础达标(水平一 ) 1.已知 α ,β 为平面,a,b,c 为直线,则下列命题中正确的是( ).
A.a? α ,若 b∥a,则 b∥α B.α ⊥β ,α ∩β =c,b⊥c,则 b⊥β C.a⊥b,b⊥c,则 a∥c D.a∩b=A,a? α ,b? α ,a∥β ,b∥β ,则 α ∥β 【解析】选项 A 中,b? α 或 b∥α ,故 A 错误.选项 B 中,b 与 β 不一定垂直,故 B 错误.选 项 C 中,a∥c 或 a 与 c 异面或 a 与 c 相交,故 C 错误.利用面面平行的判定定理,可知 D 正确. 【答案】D 2.已知 α ,β 是两个不同的平面,m,n 是两条不重合的直线,则下列命题中正确的是( ). A.若 m∥α ,α ∩β =n,则 m∥n B.若 m⊥α ,n⊥m,则 n∥α C.若 m⊥α ,n⊥β ,α ⊥β ,则 m⊥n D.若 α ⊥β ,α ∩β =n,m⊥n,则 m⊥β 【解析】对于 A,m∥α ,α ∩β =n,则 m∥n 或 m 与 n 异面,故 A 错误;对于 B,若 m⊥α ,n⊥m, 则 n∥α 或 n? α ,故 B 错误;对于 C,若 n⊥β ,α ⊥β ,则 n∥α 或 n? α ,又 m⊥α ,所以 m⊥n, 故 C 正确;对于 D,若 α ⊥β ,α ∩β =n,m⊥n,则 m 可能与 β 相交或与 β 平行或在 β 内,故 D 错误.故选 C. 【答案】C 3.在三棱锥 A-BCD 中,AD 与 BC 互相垂直,且 AB+BD=AC+CD.则下列结论中错误的是( ). A.若分别作△BAD 和△CAD 的边 AD 上的高,则这两条高所在直线异面 B.若分别作△BAD 和△CAD 的边 AD 上的高,则这两条高长度相等 C.AB=AC 且 DB=DC D.∠DAB=∠DAC

【解析】如图,作 BE⊥AD 交 AD 于点 E,连接 CE.因为 AD⊥BC,所以 AD⊥平面 BEC,所以 AD⊥CE.

设 AB+BD=AC+CD=m,则 BE2=AB2-AE2=(m-AB)2-DE2,可得 AB=

.同

理,AC=

,所以 AB=AC.故△ABD≌ACD.

【答案】A

4.若 a,b 为异面直线,则下列结论不正确的是( ).

A.必存在平面 α 使得 a∥α ,b∥α

B.必存在平面 α 使得 a,b 与 α 所成角相等

C.必存在平面 α 使得 a? α ,b⊥α ,

D.必存在平面 α 使得 a,b 与 α 的距离相等

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【解析】选项 C 中,由线面垂直的性质定理知,当 a,b 不垂直时,不存在平面 α 使得 a? α ,b⊥α ,故错误.
【答案】C

5.如图所示,ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M、N 分别是棱 A1B1、B1C1 的中点,P 是棱 AD 上

的一点,AP= .若过点 P、M、N 的平面交上底面于 PQ,点 Q 在 CD 上,则 PQ=

.

【解析】如图所示,连接 AC,易知 MN∥平面 ABCD,∴MN∥PQ. 又 MN∥AC,∴PQ∥AC.
∵AP= ,∴ = = = ,
∴PQ= AC= a.
【答案】 a 6.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,EF 与异面直线 AC,A1D 都垂直相交. 求证:EF∥BD1.

【解析】如图,连接 AB1,B1D1,B1C,BD. ∵DD1⊥平面 ABCD,AC? 平面 ABCD,∴DD1⊥AC. 又 AC⊥BD,DD1∩BD=D, ∴AC⊥平面 BDD1B1. 又 BD1? 平面 BDD1B1,∴AC⊥BD1. 同理可证 BD1⊥B1C.又 B1C∩AC=C,∴BD1⊥平面 AB1C. ∵EF⊥AC,EF⊥A1D,又 A1D∥B1C,∴EF⊥B1C. 又 AC∩B1C=C,∴EF⊥平面 AB1C,∴EF∥BD1.
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7.如图,△ABC 是正三角形,AE 与 CD 均垂直于平面 ABC,且 AE=AB=2a,CD=a,F 是 BE 的中点.求证: (1)DF∥平面 ABC; (2)AF⊥BD.
【解析】(1)如图,取 AB 的中点 G,连接 FG,CG,
则 FG AE. ∵CD⊥平面 ABC,AE⊥平面 ABC,
∴CD∥AE.又 CD= AE.∴FGCD. ∵FG⊥平面 ABC,∴四边形 CDFG 是矩形,DF∥CG. 又 CG? 平面 ABC,DF?平面 ABC,∴DF∥平面 ABC. (2)在 Rt△ABE 中,AE=2a,AB=2a,F 为 BE 的中点, ∴AF⊥BE. ∵△ABC 是正三角形,∴CG⊥AB,∴DF⊥AB. 又 DF⊥FG,FG∩AB=G,∴DF⊥平面 ABE. ∵AF? 平面 ABE,∴DF⊥AF. ∵BE∩DF=F,∴AF⊥平面 BDF. 又 BD? 平面 BDF,∴AF⊥BD.
拓展提升(水平二) 8.如图所示,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ADB 沿 BD 折起, 使平面 ABD⊥平面 BCD,构成三棱锥 A-BCD.则在三棱锥 A-BCD 中,下列命题正确的是( ).
A.AD⊥平面 BCD B.AB⊥平面 BCD C.平面 BCD⊥平面 ABC D.平面 ADC⊥平面 ABC 【解析】在四边形 ABCD 中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,所以 BD⊥CD. 又平面 ABD⊥平面 BCD,且平面 ABD∩平面 BCD=BD, 所以 CD⊥平面 ABD,所以 CD⊥AB, 又 AD⊥AB,AD∩CD=D, 所以 AB⊥平面 ADC,所以平面 ABC⊥平面 ADC.
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【答案】D 9.设 m,n,l 是三条不同的直线,α 是一个平面,l⊥m,则下列说法正确的是( ).
A.若 m?α ,l⊥α ,则 m∥α B.若 l⊥n,则 m⊥n C.若 l⊥n,则 m∥n D.若 m∥n,n? α ,则 l⊥α 【解析】若 l⊥m,l⊥n,则 m 与 n 可能平行,也可能相交或异面,故 B,C 都不正确;由 l⊥m,m∥n,可得 l⊥n,但不一定有 l⊥α ,故 D 不正确;A 正确.故选 A. 【答案】A

10.如图,在边长为 4 cm 的正方形 ABCD 中,E,F 分别为 BC,CD 的中点,M,N 分别为 AB,CF 的中点,

现沿 AE,AF,EF 折叠,使 B,C,D 三点重合,重合后的点记为 B,构成一个三棱锥,则 MN 与平面 AEF

的位置关系是

.

【解析】如图,由题意可知,点 M,N 在折叠后分别是 AB,BF 的中点(折叠后 B,C 两点重合), 所以 MN∥AF.因为 MN?平面 AEF,AF? 平面 AEF,所以 MN∥平面 AEF.
【答案】平行

11.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面 PAD⊥底面 ABCD,PA⊥AD,E 和 F 分 别是 CD 和 PC 的中点,求证: (1)PA⊥底面 ABCD; (2)BE∥平面 PAD; (3)平面 BEF⊥平面 PCD.
【解析】(1)∵平面 PAD⊥底面 ABCD, 且 PA 垂直于这两个平面的交线 AD,PA? 平面 PAD, ∴PA⊥底面 ABCD. (2)∵AB∥CD,CD=2AB,E 为 CD 的中点, ∴AB∥DE,且 AB=DE, ∴四边形 ABED 为平行四边形,∴BE∥AD. 又∵BE?平面 PAD,AD? 平面 PAD, ∴BE∥平面 PAD.
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小学+初中+高中+努力=大学 (3)∵AB⊥AD,且四边形 ABED 为平行四边形, ∴BE⊥CD,AD⊥CD. 由(1)知 PA⊥底面 ABCD. ∴PA⊥CD,且 PA∩AD=A,PA? 平面 PAD,AD? 平面 PAD, ∴CD⊥平面 PAD. 又 PD? 平面 PAD,∴CD⊥PD. ∵E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点,∴PD∥EF,∴CD⊥EF. 又 BE⊥CD 且 EF∩BE=E,∴CD⊥平面 BEF. 又 CD? 平面 PCD,∴平面 BEF⊥平面 PCD.
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