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2012高一数学期末考试试题及答案


高一期末考试试题
1.已知集合 M ? ?x ? N / x ? 8 ? m, m ? N? ,则集合 M 中的元素的个数为( A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 ) )

2.已知点 A( x,1, 2) 和点 B(2,3, 4) ,且 AB ? 2 6 ,则实数 x 的值是( A. ?3 或 4 B. 6 或 2 C. 3 或 ?4 D. 6 或 ?2 3.已知两个球的表面积之比为 1 : 9 ,则这两个球的半径之比为( ) A. 1 : 3 B. 1: 3 C. 1 : 9 D. 1: 81

4.圆 x 2 ? y 2 ? 1上的动点 P 到直线 3x ? 4 y ? 10 ? 0 的距离的最小值为( A. 2 B.1 C.3 D.4 )



5.直线 x ? y ? 4 ? 0 被圆 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 6 ? 0 截得的弦长等于( A. 12 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 4 2

6.已知直线 l1 : ax ? y ? 2a ? 0 , l2 : (2a ?1) x ? ay ? a ? 0 互相垂直,则 a 的值是( A. 0 B. 1 C. 0 或 1 D. 0 或 ?1 7.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )
3 A. y ? ? x ( x ? R) B. y ? ? x ? x( x ? R) C. y ? ( ) ( x ? R ) D. y ? ?
x

)

1 2

1 ( x ? R, 且x ? 0) x
主视图 左视图

8.如图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形, 俯视图是一个圆,那么这个几何体的侧面积为( ) A.

? 4

C. ?

5? 4 3? D. 2
B.

俯视图

9.设 m, n 是不同的直线, ? , ? , ? 是不同的平面,有以下四个命题:



? // ? ? ? ? ?? ? ? ? // ? ② ??m? ? ? // ? ? m // ? ?
)A.①④



m ??? ? ?? ? ? m // ? ?
C. ①③ )



m // n ? ? ? m // ? n ???

其中,真命题是( 10.函数 f ( x) ? ln x ? A. ?1, 2?

B.②③

D.②④

2 的零点所在的大致区间是( x
C. ?1, ?

B. ? 2,3?

? 1? ? e?

D. ? e, ???

1

一、填空题(本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分) 11.设映射 f : x ? x3 ? x ? 1 ,则在 f 下,象 1 的原象所成的集合为 12.已知 f ( x) ? 4 x 2 ? mx ? 1 在 ? ??, ?2? 上递减,在 ? ?2, ?? ? 上递增,则 f (1) ? 13.过点 A(3, 2) 且垂直于直线 4 x ? 5 y ? 8 ? 0 的直线方程为

14.已知 x ? y ? 12, xy ? 9 ,且 x ? y ,则

x2 ? y2 x ?y
1 2
1 2

1

1

?

15(12 分)已知二次函数 f ( x) ? ? x2 ? 4 x ? 3 (1) 指出其图像对称轴,顶点坐标; (2) 说明其图像由 y ? ? x2 的图像经过怎样的平移得来; (3) 若 x ??1, 4? ,求函数 f ( x ) 的最大值和最小值。

16(12 分)求过点 P(2,3) ,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。

2

17 ( 14 分 ) 如 图 , 已 知 在 侧 棱 垂 直 于 底 面 三 棱 柱 ABC ? A 1B 1C1 中 ,

3 A C? 3 , A B ? 5, c? o s C A? B , AA1 ? 4, 点 D 是 AB 的中点。 5
(1)求证: AC ? BC1 (II)求证: AC1 // 平面CDB1 (III)求三棱锥 A1 ? B1CD 的体积。

C1

B1
A1
C
B

18(14 分)求经过 A(0, ?1) 和直线 x ? y ? 1 相切,且圆心在直线 y ? ?2 x 上的圆的方程。 D

3

19(14 分) 对于函数 f ( x) = a -

2 (a ? R) ,(1)判断并证明函数的单调性; 2 +1
x

(2)是否存在实数 a,使函数 f ( x) 为奇函数?证明你的结论

20、已知函数 f ( x) ? 2(m ? 1) x2 ? 4mx ? 2m ?1 (1) 当 m 取何值时,函数的图象与 x 轴有两个零点; (2) 如果函数至少有一个零点在原点的右侧,求 m 的值。

4

参考答案
CDABB CBCCB 12.21 13. 4 y ? 5x ? 7 ? 0 14. ? 2分 4分 11. ??1,0,1?

3 3

15. f ( x) ? ? x2 ? 4x ? 3 ? ?( x ? 2)2 ? 7 (1)对称轴 x ? 2 ,顶点坐标 (2, 7)

(2) f ( x) ? ? x2 ? 4 x ? 3 图象可由 y ? ? x2 向右平移两个单位再向上平移 7 个单位可得。 (3) f (1) ? 6, f (4) ? 3, f (2) ? 7 ,由图可知在 x ??1, 4? ,函数 f ( x ) 的最大值为 7,最小 值为 3 16.法一:(截距式) 当直线过原点时,过点 (2,3) 的直线为 y ? 当直线不过原点时,设直线方程为 所以直线方程为

3 x ------------------------(5 分) 2

x y ? ? 1 ( a ? 0 ),直线过点 (2,3) ,代入解得 a ? 5 a a

x y ? ?1 5 5
3 x y x和 ? ?1. 2 5 5

所以 P(2,3) ,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 y ? 法二(斜截式)依题意知直线显然存在斜率,

--------------------(2 分)

设直线方程为 y ? kx ? b ,直线过点 P(2,3) ,代入方程有

3 ? 2k ? b



直线在 x 轴和 y 轴的截距分别为 ? 依题意有 ?

b 和b , k
----6 分

b ?b k



3 ? ?k ? ?1 ?k ? 由① ②解得 ? 2 或? ? b?5 ? ?b ? 0
所以直线的方程为 y ?

10 分

3 x 和 y ? ? x ? 5 ----------------------------12 分 2 17.证明(1)在 ? ABC 中,由余弦定理得 BC ? 4 ,?? ABC 为直角三角形,? AC ? BC
又?CC1 ? 面ABC ?CC1 ? AC , CC1 ? BC ? C

5

? AC ? 面BCC1 ? AC ? BC1 ----------6 分
(2) 连结 B1C 交 BC1 于点 E, 则 E 为 BC1 的中点, 连结 DE, 则在 ? ABC1 中,DE // AC1 , 又 DE ? 面CDB1 ,则 AC1 // 面B1CD -----------------------------10 分 (3) 在 ? ABC中过C作CF ? AB垂足为F ,由面ABB1 A 1 ? 面ABC 知 CF ? 面ABB 1A 1

?VA1 ?B1CD ? VC ? A1DB1
AC ?BC 3 ? 4 12 ? ? AB 5 5 1 12 ?VA1 ? B1CD ? ? 10 ? ? 8 3 5 CF ?

而 S? DA1B1 ?

1 1 A1 B1 ?AA1 ? 5 ? 4 ? ? 10 又 2 2

-----------------------------------------14 分 18.解:因为圆心在直线 y ? ?2 x 上,设圆心坐标为 (a, ?2a) 设圆的方程为 ( x ? a)2 ? ( y ? 2a)2 ? r 2 圆经过点 A(0, ?1) 和直线 x ? y ? 1 相切 1分 2分

? a 2 ? (2a ? 1) 2 ? r 2 ? 所以有 ? 0 ?1 ?1 ?r ? 2 ?
解得 r ?

8分

2 , a ? 1或 a ? ?

1 5

12 分

所以圆的方程为

1 2 ( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 或 ( x ? ) 2 ? ( y ? ) 2 ? 2 5 5

14 分

19、(1)函数 f ( x) 为 R 上的增函数.证明如下:函数 f ( x) 的定义域为 R,对任意
x1 , x2 ? R , 且x1 < x2,有f ( x1 ) - f ( x2 ) = (a -

2 2 ) - (a - x2 ) 2 +1 2 +1
x1

=

2 2 2(2 x1 - 2 x2 ) = . 2 x2 + 1 2 x1 + 1 (2 x2 + 1)(2 x1 + 1)

因为 y = 2x 是 R 上的增函数, x1 < x2 ,所以 2 x1 - 2 x2 <0,所以 f ( x1 ) - f ( x2 ) <0即
f ( x1 ) < f ( x2 ) ,函数 f ( x) 为 R 上的增函数.

……………8 分

6

(2)存在实数 a=1,使函数 f ( x) 为奇函数. 证明如下:当 a=1 时, f ( x) = 1对任意 x ? R , f (- x) =
2x - 1 2 = . x 2x + 1 2 + 1

………………………10 分

2- x - 1 1 - 2 x 2x - 1 = =- x =- f ( x) ,即 f ( x) 为奇函数. - x x 2 + 1 1+ 2 2 +1

20.(1)函数 f ( x ) 的图象与 x 轴有两个零点,即方程 2(m ? 1) x2 ? 4mx ? 2m ?1 ? 0 有两个

?? ? 16m2 ? 8(m ? 1)(2m ? 1) ? 0 不相等的实根,? ? 2(m ? 1) ? 0 ?

得 m ? 1 且 m ? ?1

? 当 m ? 1 时,函数 f ( x) 的图象与 x 轴有两个零点。
m ? ?1 时,则 f ( x) ? ?4 x ? 3 从而由 ?4 x ? 3 ? 0 得 x ? ?

?

3 ?0 4
----------------6 分

函数的零点不在原点的右侧,帮 m ? ?1 当 m ? ?1 时,有两种情况: ①原点的两侧各有一个,则

?? ? 16m 2 ? 8(m ? 1)(2m ? 1) ? 0 ? 2m ? 1 ? x1 x2 ? ?0 ? 2(m ? 1) ?
解得 ?1 ? m ?

1 2

-------------10 分

② 都在原点的右侧,则

?? ? 16m 2 ? 8(m ? 1)(2m ? 1) ? 0 ? 4m ? x1 ? x2 ? ? ? 2(m ? 1) ? 0 解得 m ?? ? 2m ? 1 ? x1 x2 ? ? 2(m ? 1) ? 0 ? ? 1 综 ①②可得 m ? (?1, ? ) 2
-------14 分

7


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