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2016年广东省佛山市高考数学一模试卷(理科)


2016 年广东省佛山市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2016?佛山一模)复数 z 满足 z(l﹣i)=﹣1﹣i,则|z+1|=( ) A.0 B.1 C. D.2 2 2. (5 分) (2016?佛山一模)已知 U=R,函数 y=ln(1﹣x)的定义域为 M,集合 N={x|x ﹣x<0}.则下列结论正确的是( ) A.M∩N=N B.M∩(?UN)=? C.M∪N=U D.M?(?UN) 3. (5 分) (2016?佛山一模)已知 a,b 都是实数,那么“ > ”是“lna>lnb”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

4. (5 分) (2012?辽宁)设变量 x,y 满足

,则 2x+3y 的最大值为(



A.20

B.35

C.45

D.55 是函数 f(x)=sin(2x+φ)的一个极大值点,则 f

5. (5 分) (2016?佛山一模)己知 x0= (x)的一个单调递减区间是( A. ( , ) B. ( , )

) C. (

,π)

D. (

,π)

6. (5 分) (2016?佛山一模)已知 F1,F2 分别是双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的左

右两个焦点,若在双曲线 C 上存在点 P 使∠F1PF2=90°,且满足 2∠PF1F2=∠PF2F1,那么双 曲线 C 的离心率为( ) A. +1 B.2 C. D.

7. (5 分) (2016?佛山一模)某学校 10 位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负 责. 每次献爱心活动均需该组织 4 位同学参加. 假设李老师和张老师分别将各自活动通知的 信息独立、随机地发给 4 位同学,且所发信息都能收到.则甲冋学收到李老师或张老师所发 活动通知信息的概率为( ) A. B. C. D.
2

8. (5 分) (2016?佛山一模)已知 tanx= ,则 sin ( A. B. C. D.

+x)=(



9. (5 分) (2016?佛山一模)执行如图所示的程序框图,输出的 z 值为(



第 1 页(共 19 页)

A.3 B.4 C.5 D.6 10. (5 分) (2016?佛山一模)某一简单几何体的三视图如所示,该几何体的外接球的表面 积是( )

A.13π B.16π C.25π D.27π 11. (5 分) (2016?佛山一模)给出下列函数: ①f(x)=xsinx; x ②f(x)=e +x; ③f(x)=ln( ?a>0,使 ﹣x) ; f(x)dx=0 的函数是( )

A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 2 12. (5 分) (2016?佛山一模)设直线 y=t 与曲线 C:y=x(x﹣3) 的三个交点分别为 A(a, t) ,B(b,t) ,C(c,t) ,且 a<b<c.现给出如下结论: ①abc 的取值范围是(0,4) ; ②a +b +c 为定值; ③c﹣a 有最小值无最大值. 其中正确结论的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.
2 2 2

第 2 页(共 19 页)

13. (5 分) (2016?佛山一模) ( 答) .



) 的展开式的常数项为

5

(用数字作

14. (5 分) (2016?佛山一模)已知向量 =(1,2) , =(1,0) , =(3,4) ,若 λ 为实数, ( +λ )⊥ ,则 λ 的值为 .

15. (5 分) (2016?佛山一模)宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷 中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束,欲令‘落一形’埵(同垛)之.问底子(每层 三角形边茭草束数,等价于层数)几何?”中探讨了“垛枳术”中的落一形垛(“落一形”即是 指顶上 1 束,下一层 3 束,再下一层 6 束,…,成三角锥的堆垛,故也称三角垛,如图,表 示第二层开始的每层茭草束数) ,则本问题中三角垛底层茭草总束数为 .

16. (5 分) (2016?佛山一模)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,M 是 BC 的中点,BM=2,AM=c﹣b,△ ABC 面积的最大值为 . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 17. (12 分) (2016?佛山一模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an=3Sn﹣2(n∈N ) . (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn. 18. (12 分) (2016?佛山一模)未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D 打印通常是采用 数字技术材料打印机来实现的,常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型,后逐渐用 于一些产品的直接制造,已经有使用这种技术打印而成的零部件.该技术应用十分广泛,可 以预计在未来会有广阔的发展空间.某制造企业向 A 高校 3D 打印实验团队租用一台 3D 打 印设备, 用于打印一批对内径有较高精度要求的零件. 该团队在实验室打印出了一批这样的 零件,从中随机抽取 10 件零件,度量其内径的茎叶图如如图所示(单位:μm) . (Ⅰ) 计算平均值 μ 与标准差 σ; 2 (Ⅱ) 假设这台 3D 打印设备打印出品的零件内径 Z 服从正态分布 N(μ,σ ) ,该团队到 工厂安装调试后,试打了 5 个零件,度量其内径分别为(单位:μm) :86、95、103、109、 118,试问此打印设备是否需要进一步调试,为什么? 参考数据:P(μ﹣2σ<Z<μ+2σ)=0.9544,P(μ﹣3σ<Z<μ+3σ)=0.9974,0.9544 =0.87, 4 2 0.9974 =0.99,0.0456 =0.002.
3 *

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19. (12 分) (2016?佛山一模) 如图, 三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 侧面 AA1C1C 丄侧面 ABB1A1, AC=AA1= AB,∠AA1C1=60°,AB⊥AA1,H 为棱 CC1 的中点,D 在棱 BB1 上,且 A1D 丄平面 AB1H. (Ⅰ)求证:D 为 BB1 的中点; (Ⅱ)求二面角 C1﹣A1D﹣A 的余弦值.

20. (12 分) (2016?佛山一模)已知椭圆:

+

=1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0) ,

且焦距为 2,直线 l 交椭圆于 E、F 两点(E、F 与 A 点不重合) ,且满足 AE⊥AF. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)O 为坐标原点,若点 P 满足 2 = + ,求直线 AP 的斜率的取值范围. ﹣alnx.

21. (12 分) (2016?佛山一模)设常数 λ>0,a>0,函数 f(x)= (1)当 a= λ 时,若 f(x)最小值为 0,求 λ 的值;

(2)对任意给定的正实数 λ,a,证明:存在实数 x0,当 x>x0 时,f(x)>0. 选修 4-1:几何证明选讲 22. (10 分) (2016?佛山一模)如图,四边形 ABCD 是圆内接四边形,BA、CD 的延长线 交于点 P,且 AB=AD,BP=2BC (Ⅰ)求证:PD=2AB; (Ⅱ)当 BC=2,PC=5 时.求 AB 的长.

选修 4-4:坐标系与参数方程选讲 23. (2016?佛山一模)已知直线 l 的方程为 y=x+4,圆 C 的参数方程为 为参数) ,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴.建立极坐标系. (Ⅰ)求直线 l 与圆 C 的交点的极坐标; (Ⅱ)若 P 为圆 C 上的动点.求 P 到直线 l 的距离 d 的最大值. 选修 4-5:不等式选讲 24. (2016?佛山一模)己知函数 f(x)=|x﹣2|+a,g(x)=|x+4|,其中 a∈R.
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(θ

(Ⅰ)解不等式 f(x)<g(x)+a; (Ⅱ)任意 x∈R,f(x)+g(x)>a 恒成立,求 a 的取值范围.
2

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2016 年广东省佛山市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2016?佛山一模)复数 z 满足 z(l﹣i)=﹣1﹣i,则|z+1|=( ) A.0 B.1 C. D.2 【解答】解:∵z(l﹣i)=﹣1﹣i, 2 ∴z(1﹣i) (1+i)=﹣(1+i) , ∴2z=﹣2i, ∴z=﹣i, ∴z+1=1﹣i, 则|z+1|= , 故选:C. 2. (5 分) (2016?佛山一模)已知 U=R,函数 y=ln(1﹣x)的定义域为 M,集合 N={x|x ﹣x<0}.则下列结论正确的是( ) A.M∩N=N B.M∩(?UN)=? C.M∪N=U D.M?(?UN) 【解答】解:由 1﹣x>0,解得:x<1, 故函数 y=ln(1﹣x)的定义域为 M=(﹣∞,1) , 由 x ﹣x<0,解得:0<x<1, 2 故集合 N={x|x ﹣x<0}=(0,1) , ∴M∩N=N, 故选:A. 3. (5 分) (2016?佛山一模)已知 a,b 都是实数,那么“ > A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解答】解:∵lna>lnb?a>b>0? > ,是必要条件, 而 > ,如 a=1,b=0 则 lna>lnb 不成立,不是充分条件, 故选:B. ”是“lna>lnb”的( )
2 2

4. (5 分) (2012?辽宁)设变量 x,y 满足

,则 2x+3y 的最大值为(



A.20

B.35

C.45

D.55

【解答】解:满足约束条件

的平面区域如下图所示:

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令 z=2x+3y 可得 y=

,则 为直线 2x+3y﹣z=0 在 y 轴上的截距,截距越大,z 越大

作直线 l:2x+3y=0 把直线向上平移可得过点 D 时 2x+3y 最大, 由 故选 D 可得 x=5,y=15,此时 z=55

5. (5 分) (2016?佛山一模)己知 x0= (x)的一个单调递减区间是( A. ( , ) B. ( , )

是函数 f(x)=sin(2x+φ)的一个极大值点,则 f

) C. (

,π)

D. (

,π)

【解答】解:∵x0= ∴sin(2×

是函数 f(x)=sin(2x+φ)的一个极大值点, +φ=2kπ+ ,解得 φ=2kπ﹣ ) <x<kπ+ ,kπ+ , ,k∈Z,

+φ)=1,∴2×

不妨取 φ=﹣ 令 2kπ+

,此时 f(x)=sin(2x﹣ <2kπ+ 可得 kπ+

<2x﹣

∴函数 f(x)的单调递减区间为(kπ+

)k∈Z, , ) ,

结合选项可知当 k=0 时,函数的一个单调递减区间为( 故选:B.

6. (5 分) (2016?佛山一模)已知 F1,F2 分别是双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的左

右两个焦点,若在双曲线 C 上存在点 P 使∠F1PF2=90°,且满足 2∠PF1F2=∠PF2F1,那么双 曲线 C 的离心率为( )

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A.

+1

B.2

C.

D.

【解答】解:如图,∵∠F1PF2=90°,且满足 2∠PF1F2=∠PF2F1, ∴∠F1PF2=90°,∠PF1F2=30°,∠PF2F1=60°, 设|PF2|=x,则|PF1|= ,|F1F2|=2x, ∴2a= ,2c=2x, = . ∴双曲线 C 的离心率 e= 故选:A.

7. (5 分) (2016?佛山一模)某学校 10 位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负 责. 每次献爱心活动均需该组织 4 位同学参加. 假设李老师和张老师分别将各自活动通知的 信息独立、随机地发给 4 位同学,且所发信息都能收到.则甲冋学收到李老师或张老师所发 活动通知信息的概率为( ) A. B. C. D.

【解答】解:设 A 表示“甲同学收到李老师所发活动信息”,设 B 表示“甲同学收到张老师所 发活动信息”, 由题意 P(A)= = ,P(B)= ,

∴甲冋学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为: p(A+B)=P(A)+P(B)﹣P(A)P(B) = 故选:C. 8. (5 分) (2016?佛山一模)已知 tanx= ,则 sin ( A. B. C. D.
2

=



+x)=(



【解答】解:tanx= ,则 sin (

2

+x)=

=

= +

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= + 故选:D.

= + =



9. (5 分) (2016?佛山一模)执行如图所示的程序框图,输出的 z 值为(



A.3

B.4

C.5

D.6
0 0

【解答】 解: 执行循环体前, S=1, a=0, 不满足退出循环的条件, 执行循环体后, S=1×2 =2 , a=1, 1 1 当 S=2°,a=1,不满足退出循环的条件,执行循环体后,S=1×2 =2 ,a=2 1 1 2 3 当 S=2 ,a=2,不满足退出循环的条件,执行循环体后,S=2 ×2 =2 ,a=3 3 3 3 6 当 S=2 ,a=3,不满足退出循环的条件,执行循环体后,S=2 ×2 =2 ,a=4 6 当 S=2 ,a=4,满足退出循环的条件, 则 z= 故输出结果为 6 故选:D 10. (5 分) (2016?佛山一模)某一简单几何体的三视图如所示,该几何体的外接球的表面 积是( ) =6

A.13π B.16π C.25π D.27π 【解答】解:几何体为底面为正方形的长方体,底面对角线为 4,高为 3,∴长方体底面边 长为 2 .

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则长方体外接球半径为 r,则 2r= 球的表面积 S=4πr =25π. 故选 C. 11. (5 分) (2016?佛山一模)给出下列函数: ①f(x)=xsinx; ②f(x)=e +x; ③f(x)=ln( ?a>0,使 ﹣x) ; f(x)dx=0 的函数是( ) D.①②③
x 2

=5.∴r= .∴长方体外接

A.①② B.①③ C.②③ 【解答】解:对于①,f(x)=xsinx, ∵(sinx﹣xcosx)′=xsinx, ∴ xsinxdx=(sinx﹣xcosx)

=2sina﹣2acosa,

令 2sina﹣2acosa=0, ∴sina=acosa, 又 cosa≠0,∴tana=a;

画出函数 y=tanx 与 y=x 的部分图象,如图所示; 在(0, )内,两函数的图象有交点, f(x)dx=0 成立,①满足条件;
x

即存在 a>0,使

对于②,f(x)=e +x,
a
﹣a

(e +x)dx=(e + x )

x

x

2

=e ﹣e ;

a

﹣a

令 e ﹣e =0,解得 a=0,不满足条件; 对于③,f(x)=ln( ﹣x)是定义域 R 上的奇函数,

且积分的上下限互为相反数, 所以定积分值为 0,满足条件; 综上,?a>0,使 故选:B. f(x)dx=0 的函数是①③.

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12. (5 分) (2016?佛山一模)设直线 y=t 与曲线 C:y=x(x﹣3) 的三个交点分别为 A(a, t) ,B(b,t) ,C(c,t) ,且 a<b<c.现给出如下结论: ①abc 的取值范围是(0,4) ; 2 2 2 ②a +b +c 为定值; ③c﹣a 有最小值无最大值. 其中正确结论的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解答】解:令 f(x)=x(x﹣3) =x ﹣6x +9x,f′(x)=3x ﹣12x+9,令 f′(x)=0 得 x=1 或 x=3. 当 x<1 或 x>3 时,f′(x)>0,当 1<x<3 时,f′(x)<0. ∴f(x)在(﹣∞,1)上是增函数,在(1,3)上是减函数,在(3,+∞)上是增函数, 当 x=1 时,f(x)取得极大值 f(1)=4,当 x=3 时,f(x)取得极小值 f(3)=0. 作出函数 f(x)的图象如图所示: 2 ∵直线 y=t 与曲线 C:y=x(x﹣3) 有三个交点,∴0<t<4. 2 3 2 令 g(x)=x(x﹣3) ﹣t=x ﹣6x +9x﹣t,则 a,b,c 是 g(x)的三个实根. ∴abc=t,a+b+c=6,ab+bc+ac=9, ∴a +b +c =(a+b+c) ﹣2(ab+bc+ac)=18. 由函数图象可知 f(x)在(0,1)上的变化率逐渐减小,在(3,4)上的变化率逐渐增大, ∴c﹣a 的值先增大后减小,故 c﹣a 存在最大值,不存在最小值. 故①,②正确, 故选:C.
2 2 2 2 2 3 2 2

2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13. (5 分) (2016?佛山一模) ( ﹣ ) 的展开式的常数项为 ﹣10 (用数字作答) .
5

【解答】解:由于(



) 展开式的通项公式为 Tr+1=

5

?(﹣1) ?

r



令 15﹣5r=0,解得 r=3,故展开式的常数项是﹣10, 故答案为:﹣10.

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14. (5 分) (2016?佛山一模)已知向量 =(1,2) , =(1,0) , =(3,4) ,若 λ 为实数, ( +λ )⊥ ,则 λ 的值为 ﹣ .

【解答】解: +λ =(1+λ,2λ) ,∵( +λ )⊥ ,∴( +λ )? =0,即 3(1+λ)+8λ=0, 解得 λ=﹣ 故答案为﹣ . .

15. (5 分) (2016?佛山一模)宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》卷 中“茭草形段”第一个问题“今有茭草六百八十束,欲令‘落一形’埵(同垛)之.问底子(每层 三角形边茭草束数,等价于层数)几何?”中探讨了“垛枳术”中的落一形垛(“落一形”即是 指顶上 1 束,下一层 3 束,再下一层 6 束,…,成三角锥的堆垛,故也称三角垛,如图,表 示第二层开始的每层茭草束数) ,则本问题中三角垛底层茭草总束数为 120 .

【解答】解:由题意,第 n 层茭草束数为 1+2+…+n= ∴1+3+6+…+ =680,



即为 [ n(n+1) (2n+1)+ n(n+1)]= n(n+1) (n+2)=680, 即有 n(n+1) (n+2)=15×16×17, ∴n=15,∴ 故答案为:120 16. (5 分) (2016?佛山一模)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,M 是 BC 的中点,BM=2,AM=c﹣b,△ ABC 面积的最大值为 2 . 【解答】解:在△ ABM 中,由余弦定理得: cosB= = . =120.

在△ ABC 中,由余弦定理得: cosB= = .



=



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即 b +c =4bc﹣8. ∵cosA= ∴S= sinA= bc . = ,∴sinA= = = . .

2

2

∴当 bc=8 时,S 取得最大值 2 故答案为 2 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 17. (12 分) (2016?佛山一模)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an=3Sn﹣2(n∈N ) . (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn. 【解答】解: (1)∵an=3Sn﹣2, ∴an﹣1=3Sn﹣1﹣2(n≥2) , 两式相减得:an﹣an﹣1=3an, 整理得:an=﹣ an﹣1(n≥2) , 又∵a1=3S1﹣2,即 a1=1, ∴数列{an}是首项为 1、公比为﹣ 的等比数列, ∴其通项公式 an=(﹣1)
n﹣1 *

?
n﹣1

; ?
n﹣2

(2)由(1)可知 nan=(﹣1)

, ?(n﹣1)?
n﹣1

∴Tn=1?1+(﹣1)?2? +…+(﹣1) ∴﹣ Tn=1?(﹣1)? +2? 错位相减得: Tn=1+[﹣ +

+(﹣1)

n﹣1

?
n

, ,

+…+(﹣1) ﹣

?(n﹣1)?
n﹣1

+(﹣1) ?n? ]﹣(﹣1) ?n?
n

+…+(﹣1)

?

=1+
n﹣1

﹣(﹣1) ?n?

n

= +(﹣1)

?

?
n﹣1

, ? ]= +(﹣1)
n﹣1

∴Tn= [ +(﹣1)

?

?

?



18. (12 分) (2016?佛山一模)未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D 打印通常是采用 数字技术材料打印机来实现的,常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型,后逐渐用 于一些产品的直接制造,已经有使用这种技术打印而成的零部件.该技术应用十分广泛,可
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以预计在未来会有广阔的发展空间.某制造企业向 A 高校 3D 打印实验团队租用一台 3D 打 印设备, 用于打印一批对内径有较高精度要求的零件. 该团队在实验室打印出了一批这样的 零件,从中随机抽取 10 件零件,度量其内径的茎叶图如如图所示(单位:μm) . (Ⅰ) 计算平均值 μ 与标准差 σ; 2 (Ⅱ) 假设这台 3D 打印设备打印出品的零件内径 Z 服从正态分布 N(μ,σ ) ,该团队到 工厂安装调试后,试打了 5 个零件,度量其内径分别为(单位:μm) :86、95、103、109、 118,试问此打印设备是否需要进一步调试,为什么? 参考数据:P(μ﹣2σ<Z<μ+2σ)=0.9544,P(μ﹣3σ<Z<μ+3σ)=0.9974,0.9544 =0.87, 4 2 0.9974 =0.99,0.0456 =0.002.
3

【解答】解: (I)平均值 μ=100+ 标准差 σ=

=105. =6.
2

(II)假设这台 3D 打印设备打印出品的零件内径 Z 服从正态分布 N(105,6 ) , ∴P(μ﹣2σ<Z<μ+2σ)=P(93<Z<117)=0.9544,可知:落在区间(93,117)的数据有 3 个:95、103、109,因此满足 2σ 的概率为: 3 2 0.9544 ×0.0456 ≈0.0017. P(μ﹣3σ<Z<μ+3σ)=P(87<Z<123)=0.9974,可知:落在区间(87,123)的数据有 4 个:95、103、109、118,因此满足 3σ 的概率为: 0.9974 ×0.0026≈0.0026. 由以上可知:此打印设备不需要进一步调试. 19. (12 分) (2016?佛山一模) 如图, 三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 侧面 AA1C1C 丄侧面 ABB1A1, AC=AA1= AB,∠AA1C1=60°,AB⊥AA1,H 为棱 CC1 的中点,D 在棱 BB1 上,且 A1D 丄平面 AB1H. (Ⅰ)求证:D 为 BB1 的中点; (Ⅱ)求二面角 C1﹣A1D﹣A 的余弦值.
4

【解答】 (Ⅰ)证明:连接 AC1, ∵AC=AA1,∠AA1C1=60°, ∴三角形 ACC1 是正三角形, ∵H 是 CC1 的中点, ∴AH⊥CC1,从而 AH⊥AA1, ∵侧面 AA1C1C 丄侧面 ABB1A1,面 AA1C1C∩侧面 ABB1A1=AA1,AH?平面 AA1C1C,
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∴AH⊥ABB1A1, 以 A 为原点,建立空间直角坐标系如图, 设 AB= ,则 AA1=2, 则 A(0,2,0) ,B1( ,2,0) ,D( 则 =( ,2,0) , =( ,t,0) ,

,t﹣2,0) ,

∵A1D 丄平面 AB1H.AB1?丄平面 AB1H. ∴A1D 丄 AB1, 则 ? =( ,2,0)?( ,t﹣2,0)=2+2(t﹣2)=2t﹣2=0,得 t=1,

即 D( ,1,0) , ∴D 为 BB1 的中点; (2)C1(0,1, ) , =( ,﹣1,0) , =(0,﹣1, ) ,

设平面 C1A1D 的法向量为 =(x,y,z) , 则由 ? = x﹣y=0) , ? =﹣y+ z=0,得 ,

令 x=3,则 y=3

,z=

, =(3,3



) , ) , ,

显然平面 A1DA 的法向量为 = 则 cos< , >= =

=(0,0, =

即二面角 C1﹣A1D﹣A 的余弦值是



20. (12 分) (2016?佛山一模)已知椭圆:

+

=1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0) ,

且焦距为 2,直线 l 交椭圆于 E、F 两点(E、F 与 A 点不重合) ,且满足 AE⊥AF. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)O 为坐标原点,若点 P 满足 2 = + ,求直线 AP 的斜率的取值范围.

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【解答】解: (Ⅰ)由题意可得 a=2,2c=2,即 c=1, b= = ,

则椭圆的标准方程为

+

=1;

(Ⅱ)设直线 AE 的方程为 y=k(x﹣2) , 代入椭圆方程,可得(3+4k )x ﹣16k x+16k ﹣12=0, 由 2+xE= ,可得 xE= ,
2 2 2 2

yE=k(xE﹣2)=



由于 AE⊥AF,只要将上式的 k 换为﹣ ,

可得 xF=

,yF=



由2

=

+

,可得 P 为 EF 的中点, , ) ,

即有 P(

则直线 AP 的斜率为 t= 当 k=0 时,t=0;

=



当 k≠0 时,t=



再令 s= ﹣k,可得 t=

, = ,

当 s=0 时,t=0;当 s>0 时,t=



当且仅当 4s= 当 s<0 时,t=

时,取得最大值; ≥﹣ ,

综上可得直线 AP 的斜率的取值范围是[﹣



].

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21. (12 分) (2016?佛山一模)设常数 λ>0,a>0,函数 f(x)= (1)当 a= λ 时,若 f(x)最小值为 0,求 λ 的值;

﹣alnx.

(2)对任意给定的正实数 λ,a,证明:存在实数 x0,当 x>x0 时,f(x)>0. 【解答】 (1)解:当 a= λ 时,函数 f(x)= f′(x)=
2

﹣alnx=



(x>0) . ,



=
2 2

∵λ>0,x>0,∴4x +9λx+3λ >0,4x(λ+x) >0. ∴当 x>λ 时,f′(x)>0,此时函数 f(x)单调递增; 当 0<x<λ 时,f′(x)<0,此时函数 f(x)单调递减. ∴当 x=λ 时,函数 f(x)取得极小值,即最小值, ∴f( (λ)= =0,解得 λ= .

(2)证明:函数 f(x)= alnx. 令 u(x)=x﹣λ﹣alnx. u′(x)=1﹣ =

﹣alnx=

﹣alnx=x﹣

﹣alnx>x﹣λ﹣

,可知:当 x>a 时,u′(x)>0,函数 u(x)单调递增,x→+∞,u(x)

→+∞. 一定存在 x0>0,使得当 x>x0 时,u(x0)>0, ∴存在实数 x0,当 x>x0 时,f(x)>u(x)>u(x0)>0. 选修 4-1:几何证明选讲 22. (10 分) (2016?佛山一模)如图,四边形 ABCD 是圆内接四边形,BA、CD 的延长线 交于点 P,且 AB=AD,BP=2BC (Ⅰ)求证:PD=2AB; (Ⅱ)当 BC=2,PC=5 时.求 AB 的长.

【解答】 (Ⅰ)证明:∵四边形 ABCD 是圆内接四边形, ∴∠PAD=∠PCB, ∴∠APD=∠CPB, ∴△APD∽△CPB,

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=



∵BP=2BC ∴PD=2AD, ∴AB=AD, ∴PD=2AB; (Ⅱ)解:由题意,BP=2BC=4,设 AB=t,由割线定理得 PD?PC=PA?PB, ∴2t×5=(4﹣t)×4 ∴t= ,即 AB= .

选修 4-4:坐标系与参数方程选讲 23. (2016?佛山一模)已知直线 l 的方程为 y=x+4,圆 C 的参数方程为 为参数) ,以原点为极点,x 轴正半轴为极轴.建立极坐标系. (Ⅰ)求直线 l 与圆 C 的交点的极坐标; (Ⅱ)若 P 为圆 C 上的动点.求 P 到直线 l 的距离 d 的最大值. 【解答】解: (I)由圆 C 的参数方程为
2 2

(θ

(θ 为参数) ,利用 cos θ+sin θ=1 化

2

2

为:x +(y﹣2) =4,联立

,解得





可得极坐标分别为: (II)圆心(0,2)到直线 l 的距离 ∴P 到直线 l 的距离 d 的最大值为

, = +r= +2. ,



选修 4-5:不等式选讲 24. (2016?佛山一模)己知函数 f(x)=|x﹣2|+a,g(x)=|x+4|,其中 a∈R. (Ⅰ)解不等式 f(x)<g(x)+a; 2 (Ⅱ)任意 x∈R,f(x)+g(x)>a 恒成立,求 a 的取值范围. 【解答】解: (Ⅰ)不等式 f(x)<g(x)+a 即|x﹣2|<|x+4|, 2 2 两边平方得:x ﹣4x+4<x +8x+16,解得:x>﹣1, ∴原不等式的解集是(﹣1,+∞) ; (Ⅱ)f(x)+g(x)>a 可化为 a ﹣a<|x﹣2|+|x+4|, 又|x﹣2|+|x+4|≥|(x﹣2)﹣(x+4)|=6, 2 ∴a ﹣a<6,解得:﹣2<a<3, ∴a 的范围是(﹣2,3) .
2 2

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参与本试卷答题和审题的老师有: 1619495736; 吕静; lincy; zlzhan; caoqz; 翔宇老师; zhczcb; 742048;刘长柏;cst;孙佑中;maths;双曲线(排名不分先后) 菁优网 2016 年 4 月 21 日

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