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工程硕士复习_图文

工程硕士复习
上海交通大学应用数学系 张忆
1

第一讲 函数极限

§1 函数 一、定义 P183

例1

y ? e x ? e ? x 与 x ? e y ? e ? y , 为相同的函数。

2

2

例2 设f(x)在(-∞,+∞)有定义,且满足2f(x)+f(1-x)=x2

试求 f(x)的表达式。

证:令 即: 从

1? x ? u ? 2 f ?1? u?? f ?u? ? ?1? u?2

2 f ?1? x?? f ?x? ? ?1? x?2

? 2 f ?x?? f ?1 ? x? ? x 2

? ?2

f

?1 ?

x??

f

?x? ?

?1 ?

x ?2

得:

f ?x?? 1 x2 ? 2 x ? 1
3 33

2

第一讲 函数极限

例3 已知: f ?x? ? e x2 f [? ( x)] ? 1 ? x ,且 ??x? ? 0
求: ? ?x?且写出它的定义域
解: ∵ f ( x) ? e x2 ∴ f [?( x)] ? e? 2 ( x)
据题意有 e? 2 ( x ) ? 1 ? x
又 :  ??x? ? 0 从而有 ?( x) ? ln(1 ? x)

定义域:

?ln(1 ? x) ? 0 ??1 ? x ? 0

即 x≤0

3

第一讲 函数极限

例4 如f(x)的定义域为[0,1],则f(x+a)+f(x-a)

(0<a<

1 2

)

定义域[a,1-a]

? ? 例5 求: 函数 y ? ln x ? x2 ? 1 的反函数

解:

x ? x2 ?1 ? ey



e?y ? ?x ? x2 ?1



①-②

? ? x ? 1 e y ? e ? y

2

∴ 反函数

? ? y ? 1 e x ? e ?x 2

4

第一讲 函数极限
二、函数的几种特性(P183)
1、单调性:f(x)区间I上有定义,x1、x2 为I上任意两点。
设 x1 ? x2 , 如恒有 f ?x1 ? ? f ?x2 ? ? f ?x1 ? ? f ?x2 ??
则 称f(x)在I上单调增加(减少) 例 P536 考题 6 2、有界性
设 函数y=f(x)在区间I上有定义。如存在M>0,使得
f ?x? ? M , x ? I
则称f(x)在区间I上有界,否则称f(x)在I上无界。
例 P184 练习一:3、4
5

第一讲 函数极限
3、奇偶性:设f(x)的定义域Z关于原点对称,如恒有: f(-x)=f(x) x∈Z,称f(x)为偶函数,图形对称y轴 f(-x)=-f(x) x∈Z,称f(x)为奇函数,图形对称原点

例1:证明:f (x) ? ln( x ? 1 ? x2 ) 为奇函数

f (? x) ? ln(? x ? 1 ? x 2 ) ? ln

1

? ? ln( x ? 1 ? x 2 )

x ? 1? x2

? ? f ( x), ? f ( x) ? ln( x ? 1 ? x 2 ) 为奇函数

例2:已知: f ( x)为奇函数,且当 x ? 0 时,f ( x) ? x(1 ? x)
求: f ( x)在 x ? 0 时的表达式 解: x ? 0, ? x ? 0 f (? x) ? ? x(1 ? x)

f ( x) ? ? f (? x) ? x(1 ? x)
6

第一讲 函数极限
4、周期性 设函数f(x)的定义域为X,如存在常数T≠0,使得x∈Z时,
必有x±T∈Z,且恒有f(x )=f(x+T), x∈X,则称f(x)为周期函数, 使上式成立的最小正数T为该函数的周期。
7

第一讲 函数极限

三、初等函数 1、基本初等函数 (P183) (1) 常函数y=c(-∞,+∞)偶函数;
(2) 幂函数 y ? x u 定义域随u不同而不同,
y ? x2, y ? x3, y ? x, y ? 1 x
(3) 指数函数 y ? a x ?a ? 0,a ? 1? ?? ?,??? a x ? 0

过(0,1)

(4) 对数函数 y ? loga x ? a ? 0,a ? 0?   ?0,??? 是指数函数

反函数 常用性质

loga xy ? loga x ? loga y  x ? 0, y ? 0,a ? 0

 loga

y x

? loga

y ? loga

x

 loga x u ? u loga x

x ? elnx

8

第一讲 函数极限

(5)三角函数 y=sinx, y=cosx, y=tanx, y=cotx,

y=secx, y=cscx

常用公式:

s e cx

?

1 cos

x,cs c x

?

1 s in

,s e c2
x

x

?

tan 2

x, ?

1

sin2 x ? cos2 x ? 1 sin2x ? 2sinxcos x
cos2x ? cos2 x ? sin2 x ? 2cos2 x ? 1

? 1 ? 2sin2 x

降幂公式:sin2 x ? 1 ?1 ? cos2x? cos2 x ? 1 ?1 ? cos2x?

2

2



cos2

x

?

1 2

?1

?

cos?2 x

?

2?

??

?

1 2

?1

?

cos2?x

??

??



∴ cos2 x 的周期为π。

9

第一讲 函数极限

(6) 反三角函数 y=arcsinx y=arccosx y=arctanx y=arccotx

(-1≤x≤1,

-

?

?
≤y≤

)

2

2

(-1≤x≤1, 0≤y≤π)

(-∞<

x<

+∞,

-

? <y< ?
22

)

(-∞< x< +∞, 0< y< π)

都有界

10

第一讲 函数极限

2、 复合函数
定义:y=f(u) u∈s u =? ?x? x∈X X *
当x∈, X *? X, u∈s,
则 y ? f ?? ?x??称为由y=f(u),u ? ? ?x? 复合而成的函数。

例1 y ? ln u u ∈(0,+∞),u =2 x +3, x∈(-∞,+ ∞)

则 复合函数
y ? ln?2x ? 3?

x∈?? 3 ,???? ?2 ?

11

第一讲 函数极限

例2 设

? 1   ,  x ? 1

f

?x?

?

? ?

0   ,  x

?

1

    g?x?

?

e

x

??? 1   ,  x ? 1

求: f ?g?x?? ;g? f ?x??

解:

?- 1 , e x ? 1 ? 1 , e x ? 1 ?1  , x ? 0

f ?g?x?? ?

f

?e

x

?

?

? ?

0 , e x

?1

 ?

? ?

0 , e x

?1

 ? ??0  , x ? 0

??? 1 , e x ? 1 ??? 1 , e x ? 1 ?? ? 1 , x ? 0

? ? e1 , x ? 1

? ? e , x ? 1

g? f

?x?? ?

e f ?x?

?

? ?

e

0

 

  , x

?1

  ? ?? 1 , x

?1

??e ?1 , x ? 1 ?

? ??

1 e

  , x

?1

12

第一讲 函数极限

? ? 例3

函数

y ? ln3 x2 ? 1 ,  y ? lg lg lg

x

,

 y

?

sin21
2x

由那些函数复合而成

解:  (1) y ? u3 ,  u ? ln v ,  v ? x 2 ? 1

 (2) y ? ln u ,  u ? ln v ,  v ? 1 ln x 2

 (3) y ? 2u  ,  u ? v 2 ,  v ? sinw ,  w ? 1

3、 初等函数

x

定义:由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复

合而成的并能用一个分析式子表示的函数。

13

第一讲 函数极限

§2 极限与连续

一、数列的极限

P185

1,2,3,4



设:

xn ? a ? yn ,且

lim(
n??

yn

?

xn

)

?

0

则 xn 与 yn

A、都收敛于a,

B、都收敛,不一定收敛于a,

C、可能收敛,可能发散, D、都发散。

选A:

0

?

a

?

xn

?

yn

?

xn

?

lim a
n??

?

xn

?

0

?

lim
n??

xn

?

a,

lim
n??

yn

?

lim(
n??

yn

?

xn ) ?

xn

?

a

14

第一讲 函数极限

二、函数极限

P186

1 极限定义

?x ? ??

(1)

x

?

?? ?

x

?

??

f (x) ? A

lim f ( x) ? A ? lim f ( x) ? lim f ( x) ? A

x??

x?? ?

x?? ?

(2) x ? x0

?x ? ?x

? ?

x0? x0?

f (x) ? A

lim f ?x? ? A ? lim f ?x?

x? x0

x? x0?

? lim f ?x? ? A

x? x0?

先看例

lim?x ? 1?? 2 lim x2 ? 1 ? 2

x?1

x?1 x ? 1

15

第一讲 函数极限

说明函数在 x ? x0 有元极限与函数在 x ? x0 是否

有定义没有关系,因此 极限定义中 x ? x0 而

x ? x0 时 f ? x? 的变化趋势。

Y

2

0

例 lim x ? 2x ? 3  ?0  lim?x ? 1? ? 4

x?3 x ? 3

x?3

0

1X

16

第一讲 函数极限

2.函数极限性质 (同数列) 3.函数极限运算
(1)四则运算 (2)存在准则 同数列 (3)复合函数

lim
x? x0

?

(

x)

?

u0

,

lim f (u) ? A
u?u0

? lim f [?( x)] ? lim f (u) ? A

x? x0

u?u0

(4) 两个重要极限

4.无穷小量与无穷大量 P187

17

第一讲 函数极限

例1 f

?x

?

?

? ?? ?

2x ? 0  

1 ? 1  x        x

? ?

0 0

问 f( x)在x=0极限是否存在?

? ??

2     x ? 0 x?1

? ? 解: lim f ?x? ? lim 2 ? 2  lim f ?x? ? lim 2x ? 1 ? 1 ? 0

x?0?

x?0? x ? 1

x?0?

x?0?

∵ lim f ?x? ? lim f ?x?

x?0?

x?0?

∴ f ?x?在x ? 0极限不存在。

例2

f

?x

?

?

?? ?

x

2

?x? x?2

2

 x

?

2

 

问f(x)在x=2极限是否存在?

??1     x ? 2

解: ∵lim
x?2

f

?x?

?

lim
x?2

x2 ? x ? x?2

2

?

lim?x
x?2

?

1? ?

3

∴ 存在

18

第一讲 函数极限

1

例3 lim e x 不存在

x?0 1

1

解: lim e x ? ? lim e x ? 0

x?0?

x?0?

例4 lim arctan x 不存在

x??

解: lim arctan ? ? ?

x?? ?

2

lim arctan ? ?

x?? ?

2

? ? 0

例5 lim

s in 2 x

0
?

lim

s

in2

x

x?2?

2 ?4 2

x?0 x ? 2 ? 2 x?0

x

例6

lim??1 ?

2

?x ?

?

lim??1 ?

2

? x?2 2
?

?

e2

x??? x ? x??? x ?

 lim??1 ?

2

? x?3 ?

?

lim??1 ?

2

?x ?

?

e2

x??? x ?

x??? x ?

19

第一讲 函数极限

例7

1
lim(1 ? 2x)x

? 1 ?(?2)
? lim(1 ? 2x) 2x

? e?2

例8

x?0

x?0

lim ( 2x ? 3)x ? lim(1 ?

2x?1? 2x
2 ) ? e ? e 2 2x?1

2x lim x?? 2x?1

x?? 2x ? 1 x?? 2x ? 1

例9 lim e2x ? e? 3x ? lim e? 3x (e5x ? 1) ? lim 5x ? ?10

x ?0 1? x ?1 x ?0

?x

x?0? x

2

2

1

例10

x

1

?

x

?x

lim

(3e x ? 1 ? 2) x ?

lim

? ?1 ?

(31e

x

?1

? ? 1)?

x?0

x ? 0?

?

?

?

x

x

lim 3(e x ? 1 ? 1) 3 lim x ? 1

? ex ? 0

x

? e x ? 0 x ? e? 3

20

第一讲 函数极限

例11

1

lim cos x ? 1

lim x cos x ? lim (1 ? cos x ? 1) x ? e x ? 0?

x

x?0

x ? 0?

?x

lim ? e x ? 0?

2 x

?1 ?e 2

例12

lim(1 ?
n??

x n

?

x2 2n2

)?n

?

lim(1 ?
n??

2nx ? x2 2n2

)-n

lim 2nx?x2 ?(-n)

lim -2n2x?nx2

? en?? 2n2

? e ? e n?? 2n2

-x

21

第一讲 函数极限

例13 lim 3ln x ? 3lim ln (1 ? (x - 1)) ? 1 ? 3 lim x - 1 ? 3

x?1 x2 ? 1

x?1

x-1

x ? 1 2 x?1 x ? 1 2

例14

lim ln (x2 ? e x ) ? x (0) ? lim ln (x2 ? e x ) - ln ex x?0 ln (x2 ? e 2x ) ? 2x 0 x?0 ln (x2 ? e2x ) - ln e2x

例15

ln (1 ?
? lim x?0 ln (1 ?

x2

ex x2

) ? )

lim
x?0

x2 / ex x2 / e2x

?1

e2x

lim
x??

(2x

? 3)20(3x (2x ? 1)50

?

2)

30

?

lim?? x???

2x 2x

? ?

3 ??20?? 1? ?

3x 2x

? ?

2 ??30 1?

?

120

? ??

3

30
? ?

?

??

3 ?30 ?

?2? ?2?

22

第一讲 函数极限

例16 已知

? lxi?m????

x2 ?1 x?1

?

(ax

?

b)????

?

0

求 a,b

?

解:原式 ?

lim
x??

(1 ?

a)x2

?

(a ? b)x x?1

?

(1 ?

b)

?
?0

?

?1 ? a ??a ? b

? ?

0 0

a ?1 ? ?b ? ?1??

例18

? ?0 ?

必须分子次数 < 分母次数

x2

lim 1 ? cos x? lim 1 ? cos x ? x?0? x(1 ? cos x )x?0? x ? x 1 ?

1 ? lim 2 ? cos x x?0? x 2 1 ?

1

?1

cos x 2

2

2

例19

2n?1 ? 3n?1

lim
n??

2n ? 3n?1

1 ? ?? 2 ??n?1

?

lim
n??

1

?

? ??

3 2

? ??

n?1

?1

? 3?

23

第一讲 函数极限

例20 已知 lim (3x ? ax2 ? bx ? 1) ? 2,求 a,b 之值

x?? ?

解一:

3? a? b ? 1

原式 ? lim x(3 ? a ? b ? 1 ) ? lim

x x2 ? 2

x?? ?

x x2

x?? ?

1

x

? 分母 ? 0

∴ 当 lim (3 ? a ? b ? 1 ) ? 0

x?? ?

x x2

即 a?9

将 a ? 9 代入原式并有理化得

lim

? bx ? 1

? lim

?b? 1
x ??b?2

x??? 3 x ? 9 x 2 ? bx ? 1

x?? ?

b1

3? 9? ?

6

x x2



b ? 12

24

第一讲 函数极限

解二: 原式? lim (9 ? a)x 2 ? bx ? 1 ? 2 x??? 3 x ? ax2 ? bx ? 1

?为

? 型,
?

? 9?a ?0



??

? ?

?

?? 3 ?

b a

?

2

?a ? 9 得 ??b ? 12

ln(1 ? f ( x) )

例21 已知 lim

sin2x ? 5

x?0

3x ?1

求 lim f ( x)

x x?0

2


?3x ?1? 0

ln(1 ? f ( x) )

lim

sin2x ? 5

x?0

3x ?1

?lim ln(1 ? f ( x) ) ? 0

x?0

s in 2 x

可得

f (x)

lim sin2x ? 5 即 x?0 x ln 3

lim
x?0

2

f x

(x) 2 ln 3

?

5

? lim x?0

f (x) x2

? 10ln 3

25

第一讲 函数极限

三、连续

y ? f ?x? 在 x ? x0 处的连续性

1、定义

(1) Δ x ? 0 Δ y ? 0

(2)

lim
x?x0

f

?x

?

?

f

?x

0

?

y

y

y=f(x)

}Δ y

0 x0 x0+Δ x

x

0

即满足:

I f ?x0 ? 存在

ii lim f ?x? 存在 x?x0

x0 x0+Δ x

x

iii

lim
x?x0

f

?x?

?

f

?x0

?

存在

26

第一讲 函数极限

2、基本结论 (1) 连续函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为连续函数; (2) 连续函数复合函数仍连续; (3) 初等函数在其有定义的区间内是连续的。 (4) 单调连续函数的反函数也连续。

例1



f ?x? ?

?? ?

e2x ? 1 x

??acosx? x2

,

x ? 0 在(-∞,+∞)连续,则a=2
x?0

例2


f

?x?

?

?x2 ? ? ?

? 3x ? x?2

10

,

x?2  

则当A=7时f(x)在x=2连续

? ??

A

x?2

27

第一讲 函数极限

例3

f

(

x)

?

?? ?

3

s

in(x ? x ?1

1)

??e 2ax ? eax ? 1

在 (??, ? ?) 连续,则 a = ______

x ?1 x ?1
________

A.、ln 2 B、0

C、2

D、任意实数

例4
f ( x)在x ? 1连续,且 lim f ( x) ? 2 ? 1 ,则f (1) =_______
x?1 x ? 1

A、1

B、2

C、3

D、0

28

第一讲 函数极限

例5 讨论 f ( x) ? lim ln(en ? xn ) x ? 0在定义域内是否连续

n??

n

解:当
0? x?e

f

( x)

?

lim

ln en (1 ?

xn en

)

?

lim

n?

ln(1 ? (

x)n ) e

?

1

n??

n

n??

n

ln x n (1 ? e )n

n ? ln x ? ln(1 ? ( e )n )

x ? e f ( x) ? lim

x ? lim

x ? ln x

n??

n

n??

n

x?e

f ( x) ? lim ln 2en ? lim ln 2 ? n ? 1

n?? n

n?? n

?

f

(

x)

?

?1 ?

?ln x

0?x?e x?e

? f ( x)在(??,??)连续

lim f ( x) ? lim f ( x) ? f (e) ? 1

x?e

x?e?

29

第一讲 函数极限
3、间断点

? 左极限右极限 跳跃间断点跳跃间断点,不

间 断

? 第一类间断点 ?(左,右极限都 ? 存在) ??

? ?

可去

??

?

?

?

?

?? 右极限=右极限

? ? ? ?? ?

不存在 f ?x0 ? 补充定义

使

f

?x0 ? ?

lim
x? x0

f ?x?

可去

点? ? ?

? ? ? ??

f ?x0
使f

? ? lim f ( x),改变定义

x? x0

?x0 ? ?

lim
x? x0

f

?x? ,可去

? ?? 第二类间断点:左,右极限至少有一个不存在(无穷、振荡等)

30

第一讲 函数极限

例1

x=0是 f(x) ?

2 ? sinx 1x

的(B)间断点

1? ex

A、跳跃 B、可去 C、无穷 D、振荡

∵ lim f(x) ? lim 2 ? sinx ? 2 ? 1 ? 1

x?0?

x?0?

1x

1? ex

1 sinx

lim f(x) ? lim

? ?0?1?1

x?0?

x?0?

1x

1? ex

∴ lim f(x) ? 0 x?0

x=0为第一类可去间断点。

例2 P50 例1.36

指出函数的间断点并讨论间断点类型,如有可去间断点,

指出如何补充或改函数的定义使它连续。
31

第一讲 函数极限

例3

f(x) ?

x2 - x x (x2 ? 1)

解: f(x)的间断点为x=0,x=-1,x=1

∵ lim f(x) ? lim x2 ? x ? lim 1 ? ?1

x?0?

x?0? - x(x2 - 1) x?0? - (x ? 1)

lim f(x) ? lim x2 ? x ? lim 1 ? 1

x?0?

x?0? x(x2 - 1) x?0? x ? 1



x=0 为f(x)的跳跃间断点,不可去。



lim f(x)
x?1

?

lim
x?1

x2 ? x x(x2 - 1)

?

lim
x?1

1 x?1

?

1 2



x=1是f(x)的第一类

可去间断点,若补充定义f(1)=1/2 ,就使f(x)在x=1连续。



? ? ? ? lim f
x??1

x

?

lim
x??1

?

x2 ? x x2

x ?

1

?

lim
x??1

?

1
?x ?

1?

?

?

∴ x= -1是f (x)的第二类间断点。
32

第一讲 函数极限
例4 f ( x) ? ln x x2 ? 3x ? 2
解: x = 0, x = 2 为第二类间断点 x = 1 为 第一类可去间断点,补充定义使 f(1) = ?1
33

第一讲 函数极限

例5

设函数f

(

x

)

?

lim
n??

1? x 1 ? x2n

,讨论函数间断点其结论为

A、不存在间断点

B、存在第一类间断点

C、存在间断点x = 0 D、存在间断点 x = ?1

解:选 B

?0

f

(

x

)

?

lim
n??

1? x 1 ? x2n

?

??1 ??1

?

x

x ? ?1 -1? x ?1 x ?1

??0

x ?1

lim f ( x) ? 0 lim f ( x) ? 0

x ??1

x?-1?

f(-1) ? 0

?x ? -1 为连续点

lim f ( x) ? 2 lim f ( x) ? 0

x?1?

x?1?

x = 0 为第一类跳跃间断点,不可去。

34

第一讲 函数极限

4 闭区间上连续函数性质:

<有界性定理> 闭区间上连续函数必有界。

<最值存在定理> 闭区间上连续函数必有最小值、最大值。

<介值定理>

闭区间上连续函数一定能取得介于最小值和

最大值之间的任何值。

<零点存在定理> 设f (x)∈C[a,b],且f (a) f (b)<0,

则存在ξ∈(a,b),使得f (ξ)=0

例1 证明方程X 2? =1 至少有一个小于1的正根 证: 设 f (x)=X2? –1,则f (x) 在 [0,1] 连续
∵ f ?0? ? ?1 ? 0, f ?1? ? 1 ? 0 ∴ 存在ξ∈(0,1)使f(ξ)=0
即方程 X2? =1至少有一个小于1的正根。
35

第一讲 函数极限

例2 设 f(x) 在 [0,2a] 上连续,且 f(0) = f (2a), 则在 [0,a] 上至少存在一点?,使f (?) = f (?+a)
解:设 F ( x) ? f ( x) ? f ( x ? a),则 F(x) 在 [0,a] 连续。 F(0) ? f (0) ? f (a) F(a) ? f (a) ? f (2a) ? f (a) ? f (0)

当 f (0) ? f (a) F (0)F (a) ? 0 ?? ? (0,1)

使 f (? ) ? f (? ? a) 当 f (0) ? f (a) 即

F(0) ? 0 F(a) ? 0

? ?0 ? ?a

??? ?[0,a] 使 f (? ) ? f (? ? a)

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