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浙江省杭州地区七校2014届高三上学期期中联考数学文科


2013-2014 学年第一学期期中杭州地区七校联考 高三年级数学(文)试题卷
命题审校:萧山中学 考生须知: 1.本卷满分 150 分,考试时间 120 分钟; 2.答题前,在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名;座位号写在指定位置; 3.所有答案必须写在答题卷上,写在试卷上无效; 4.考试结束后,只需上交答题卷。 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知全集 U ? R , M ? {x ?2 ? x ? 2} , N ? {x x ? 1} ,那么 M ? N ? ( A. {x ?2 ? x ? 1} B. {x ?2 ? x ? 1} C. {x x ? ?2} ) 金涵龙 淳安中学 邵润禾

D. {x | x ? 2} ) D. ?

2.在等比数列 {an } 中, a1 ? a3 ? 10, a4 ? a6 ? A.2 B.

5 ,则公比 q 等于( 4
C.-2 )

1 2

1 2

3.若函数 f ( x) ? ( x ? 1)( x ? a ) 为偶函数,则 a ? ( A. ? 2 B. ? 1 ) C. 1

D. 2

4.“ sin x ? 1 ”是“ cos x ? 0 ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x 5. 已知 0 ? a ? 1 , ? log a
A. x ? y ? z

1 2 ? log a 3 ,y ? log a 5 , ? log a 21 ? log a 3 ,( z 则 2 B. z ? y ? x C. y ? x ? z D. z ? x ? y



6.将函数 y ? sin 2 x 的图像向左平移 式是( )

?
4

个单位,再向上平移 1 个单位,所得图像的函数解析

A. y ? cos 2 x C. y ? 1 ? sin(2 x ?

B. y ? 2 cos x
2

?
4

)

D. y ? 2sin x
2

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a 7.若函数 f ( x) ? x 满足 f (3) ? 9 ,那么函数 g ( x) ? log a ( x ? 1) 的图象大致为(



y

y

y

y

?1

O

x ?1

O

x

?1

O

x

O

1

x

A

B

C

D

8.已知实数 x ? 0, y ? 0 , lg 2 ? lg 8 ? lg 2 ,则
x y

1 1 ? 的最小值是( x y



A. 2 3

B. 4 3

C. 2 ? 3

D. 4 ? 2 3

9 . 已 知 函 数 f ( x) ? ?

?? 4 x 2 ? 4 x ?log 2013 x

(0 ? x ? 1) ( x ? 1)

, 若 a, b, c 互 不 相 等 , 且

f (a ) ? f (b) ? f (c) ,
则 a ? b ? c 的取值范围是( A. (2,2014) ) B. (2,2015) C. (3,2014) D. (3,2015) )

10. 已知数列 ?a n ? 是等差数列, a1 ? ?0,1?, a 2 ? ?1,2?, a3 ? ?2,3? , a 4 的取值范围是 且 则 ( A. ?3,4? B. ? ,

? 8 13 ? ? ?3 3 ?

C. ? , ? 2 2

?5 9? ? ?

D. ?2,5?

二.填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分)

11.化简 (?2) 6

?

?

1 2

? (?1) 0 的结果为



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12. 已知平面向量 a ? (3,1) ,b ? ( x,?3) , a ? b , x 的值为 且 则

?

?

?

?



13.已知 ?an ? 为等差数列, a1 ? a3 ? 22 , a6 ? 7 ,则 a5 ?



14.已知 sin(

?
4

? x) ?

3 ,则 sin 2 x 的值为 5



3 15 . 若 函 数 f ( x) ? x ? 3bx ? b 在 区 间 (0,1) 内 有 极 值 , 则 实 数 b 的 取 值 范 围





16 . 已 知 正 ?ABC 边 长 等 于 是 ;

??? ??? ? ? 3 , 点 P 在 其 外 接 圆 上 运 动 , 则 PA×PB 的 最 大 值

17.函数 f ( x) ? 是

ln x (1 ? x ? e 2 ) 与函数 g ( x) ? kx 恒有两不同的交点,则 k 的取值范围 x



三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18.(本小题满分 14 分) 已知集合 A 为函数 f ( x) = lg( - x + 2 x) 的定义域,集合 B = x x 2 - 2kx + k 2 - 1 (Ⅰ)求集合 A 、 B ; (Ⅱ)若 A 是 B 的真子集,求实数 k 的取值范围。
2

{

0} 。

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19.(本小题满分 14 分)在锐角 ?ABC 中, 2a sin B = 3b , (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)当 BC ? 2 时,求 ?ABC 面积的最大值。

20.(本小题满分 14 分)已知向量 a ? (sin x, ), b ? (cos x,?1) , (Ⅰ)当 a // b 时,求 tan 2 x 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? (a ? b) ? b 在 ??

3 2

? ? ? ,0? 上的值域。 ? 2 ?

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21.(本小题满分 15 分) 已知数列 {an } 为等比数列,其前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? a4 ? ? 差, (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)已知 bn ? n ( n ? N ? ) ,记 Tn ?

7 ,且 S1 , S3 , S 2 成等 16

b b b1 b2 ? ? 3 ? ? ? n ,若 (n ? 1) 2 ? m(Tn ? n ? 1) a1 a2 a3 an

对于 n ? 2, n ? N ? 恒成立,求实数 m 的取值范围。

22.(本小题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求函数 f (x) 的单调区间;

1 2 x ? (a ? 1) x ? a ln x , 2

(Ⅱ)若函数 f (x) 在区间 ?1,4? 内的最小值为 ? 2 ln 2 ,求 a 的值。 (参考数据 ln 2 ? 0.7 )
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2013-2014 学年第一学期期中杭州地区七校联考 高三年级数学(文科)参考答案 最终定稿人:萧山中学 金涵龙 联系电话:18057153081

1. D

2. B

3. C

4. A

5. C

6. B

7. C

8. D

9. A

10. C

11. 7

12. 1

13. 8

14. -

7 25

15. 0,1

( )

16.

3 2

17. ê

轹 2 1 ÷ , ÷ ê e4 滕 2e

18. (本小题满分 14 分) 已知集合 A 为函数 f ( x) = lg( - x + 2 x) 的定义域,集合 B = x x 2 - 2kx + k 2 - 1 (Ⅰ)求集合 A , B ; (Ⅱ)若 A 是 B 的真子集,求实数 k 的取值范围。
2

{

0} ,

18.解: (Ⅰ)由题意得 - x 2 + 2 x > 0 ,\ 0 < x < 2 ,\ A = 0, 2 ,------------------------------------3

( )



B 中: x - (k +1)][ x - (k - 1)] [
------7 分 (Ⅱ)若 A 是 B 的真子集,则 1 ○ k +1 或○ k - 1 2 综上得 k ?

0 得 x ? k 1 或 x ? k 1 , B = ( - ? , k 1] ? [ k +1, + \

)。

0 ,得 k ? 1 ------------------------------------------------------------10 分 2 得 k ? 3 ,--------------------------------------------------------------13 分

(

? , 1] ? [ 3, +

) --------------------------------------------------------------14 分

19. (本小题满分 14 分)

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在锐角 ?ABC 中, 2a sin B = 3b , (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)当 BC ? 2 时,求 ?ABC 面积的最大值. 19.解: (Ⅰ)? 2a sin B = 3b ,\ 2sin A sin B = 3 sin B ,-----------------2 分

? sin B > 0 , \ 2sin A = 3
故 sin A ?

3 ,------------------------------------------------------------------------5 分 2

因为 ?ABC 为锐角三角形,所以 A ? 60 ? ………………………………7 分 (Ⅱ)解:设角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c . 由题意知 a ? 2 ,由余弦定理得 4 = b 2 + c 2 - 2bc cos 60? = b 2 + c 2 - bc ---------------9 分 又 b 2 + c 2 - bc ? 2bc bc = bc ,?bc ? 4 ------------------------------------------------11 分

? S ?ABC ?

1 3 3 bc sin 60 ? ? bc ? ? 4 ? 3 ,--------------------------------------------13 分 2 4 4

当且且当 ?ABC 为等边三角形时取等号, 所以 ?ABC 面积的最大值为 3 . ………………………14 分

20. (本小题满分 14 分) 已知向量 a ? (sin x, ), b ? (cos x,?1) , (Ⅰ)当 a // b 时,求 tan 2 x 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? (a ? b) ? b 在 ?? 20.解: (Ⅰ)? a / / b ,? sin x ? ( ?1) ? 即 sin x ?

3 2

? ? ? ,0? 上的值域。 ? 2 ?

?

?

3 ? cos x ? 0 ,-----------------------------------2 分 2

3 3 cos x ? 0 ,? tan x ? ? , -----------------------------------------------4 分 2 2 2 tan x 12 ? tan 2 x = = ---------------------------------------------------------------------6 分 2 1 - tan x 5
( Ⅱ )

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? ? ?2 3 1 3 1 1 f ( x) ? (a ? b) ? b = a ?b b = sin x cos x - + cos 2 x +1 = sin 2 x - + cos 2 x + +1 2 2 2 2 2

=

2 p sin(2 x + ) -------------------------------------------------------------------10 分 2 4
p #x 2 0,\ 3p p ? 2x 4 4

?-

p p , - 1 ? sin(2 x ) 4 4

2 -----------------------12 分 2

-

2 2 p ? sin(2 x ) 2 2 4

1 ,即 f ( x) ? 2

轾 2 1 犏 , ----------------------------------------14 分 犏 2 2 臌

21. (本小题满分 15 分) 已知数列 {an } 为等比数列,其前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? a4 ? ? 差; (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)已知 bn ? n ( n ? N ? ) ,记 Tn ? 对于 n ? 2 恒成立,求实数 m 的范围。 21.解: (Ⅰ)设 ?a n ? 的公比为 q ,? S1 , S 3 , S 2 成等差,? 2 S 3 ? S1 ? S 2 ,---------------------1 分

7 ,且有 S1 , S3 , S 2 成等 16

b b b1 b2 ? ? 3 ? ? ? n ,若 (n ? 1) 2 ? m(Tn ? n ? 1) a1 a2 a3 an

1 , ? 2a1 (1 ? q ? q 2 ) ? a1 (2 ? q ) ,得 2q 2 ? q ? 0 , ? q ? ? 或 q ? 0 (舍去) 2
----------3 分 又?

7 1 1 ? a1 ? a 4 ? a1 (1 ? q 3 ) ,? a1 ? ? ,? a n ? (? ) n ,---------------------5 分 16 2 2
1 2 bn an ? n ? 2n ,---------------------------------------------------------6 分

(Ⅱ)? bn ? n, an ? (? ) n ,?

?Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n 2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? ?( n ? 1) ? 2 n ? n ? 2 n ?1 ??Tn ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? n ? 2n ?1
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?Tn ? ?(
2

2 ? 2n ?1 ? n ? 2n ?1 ) ? (n ? 1) ? 2n ?1 ? 2 1? 2 ---------------------------------------------10 分

2 n ?1 若 (n ? 1) ? m(Tn ? n ? 1) 对于 n ? 2 恒成立,则 (n ? 1) ? m[(n ? 1) ? 2 ? 2 ? n ? 1] ,

(n ? 1) 2 ? m(n ? 1) ? (2n ?1 ? 1) ,? m ?

n ?1 对 n ? 2 恒成立---------------------------------12 分 2n ?1 ? 1

n ?1 n n ?1 (2 ? n) ? 2n ?1 ? 1 令 f (n) ? n ?1 , f (n ? 1) ? f (n) ? n ? 2 ? ? ?0 2 ?1 2 ? 1 2n ?1 ? 1 (2n ? 2 ? 1)(2n ?1 ? 1)
所以当 n ? 2 时, f (n ? 1) ? f (n) , f (n) 为减函数,? f (n) ? f (2) ?

1 7 -------------------14 分

?m ?

1 7

-------------------------- ----------------------15 分

22. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? (a ? 1) x ? a ln x , 2

(Ⅰ)求函数 f (x) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 f (x) 在区间 ?1,4? 内的最小值为 ? 2 ln 2 ,求 a 的值。 (参考数据 ln 2 ? 0.7 ) 22.解: (Ⅰ)由 f ( x) ?

1 2 x ? (a ? 1) x ? a ln x 得 2

f ?( x) ? x ? (a ? 1) ?


a x 2 ? (a ? 1) x ? a ( x ? a )( x ? 1) ? ? ( x ? 0) --------------------------------2 x x x

1 ○ 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立, f (x) 的单调递增区间是 (0,??) ;---------------------------------4 分 2 ○ 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ? x ? a , f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? a , 可得 f (x) 在 (0, a ) 单调递减, (a,??) 单调递增。------------------------------------------------------------6 分

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(Ⅱ)结合(Ⅰ)可知: 1 ○ 当 a ? 0 时, f (x) 在区间 ?1,4? 内单调递增,

? f ( x)?min


? f (1) ?

3 3 ? a ? ?2 ln 2 ? a ? ? 2 ln 2 ? 0 , 2 2

与 a ? 0 矛盾,舍去;----------------------------------------------------------------------------------------8

2 ○ 当 0 ? a ? 1 时, f (x) 在区间 ?1,4? 内单调递增,

? f ( x)?min
分 3 ○ 当

? f (1) ?

3 3 舍去; ----------10 ? a ? ?2 ln 2 ? a ? ? 2 ln 2 ? 1 , 与 0 ? a ? 1 矛盾, 2 2

a?4





f (x)







?1,4?













? f ( x)?min
得到 a ?

? f (4) ? 8 ? 4a ? 4 ? a ln 4 ? ?2 ln 2 ,
6 ? ln 2 ? 4 ,舍去;----------------------------------------------------------------------------12 分 2 ? ln 2

4 ○ 当 1 ? a ? 4 时, f (x) 在 ?1, a ? 单调递减, ?a,4? 单调递增,

1 ? f (a ) ? ? a 2 ? a ? a ln a ? ?2 ln 2 , 2 1 令 h(a ) ? ? a 2 ? a ? a ln a ,则 h ?(a ) ? ? a ? 1 ? (1 ? ln a ) ? ? a ? ln a ? 0 ,故 h(a ) 在 (1,4) 2
内为减函数, 又 h(a ) ? ?2 ln 2 ,? a ? 2 ---------------------------------------------------------14 分 综上得 a ? 2 ----------------------------------------------------------------------------15 分 (其它解法酌情给分)

? f ( x)?min

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