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高考数学数列大题训练(答案版)


高考数学数列大题训练
1. 已知等比数列 {an } 中, a2 , a3 , a4 分别是某等差数列的第 5 项、第 3 项、第 2 项,且

a1 ? 64, 公比q ? 1
(Ⅰ)求 an ; (Ⅱ)设 bn ? log2 an ,求数列 {|b n |}的前n项和Tn . 解析:

(1) 设该等差数列为 {cn } ,则 a2 ? c5 , a3 ? c3 , a4 ? c2

c5 ? c3 ? 2d ? 2(c3 ? c2 )

? (a2 ? a3 ) ? 2(a3 ? a4 ) 即: a1q ? a1q2 ? 2a1q2 ? 2a1q3 ?1 ? q ? 2q(1 ? q) ,
(2) bn ? log 2 [64 ( q ? 1,

? 2q ? 1,

q?

1 1 n ?1 ,? a ? 64 ( ) 2 2
n(13 ? n) 2
(8 分)

1 2

n ?1

)] ? 6 ? (n ? 1) ? 7 ? n , {bn } 的前 n 项和 S n ?
n(13 ? n) 2

?当 1 ? n ? 7 时, bn ? 0 ,?Tn ? Sn ?
当 n ? 8 时, bn ? 0 , Tn ? b1 ? b2 ?

? b7 ? b8 ? b9 ?

? bn
n(13 ? n) 2

? S7 ? (b8 ? b9 ?

? bn ) ? S7 ? (Sn ? S7 ) ? 2S7 ? Sn ? 42 ?
(1 ? n ? 7, n ? N * ) (n ? 8, n ? N * )

? n(13 ? n) ? 2 ?Tn ? ? ? ?42 ? n(13 ? n) ? ? 2

2.已知数列 {an } 满足递推式 an ? 2an?1 ? 1(n ? 2) ,其中 a4 ? 15. (Ⅰ)求 a1 , a2 , a3 ; (Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅲ)求数列 {an } 的前 n 项和 S n 解: (1)由 an ? 2an?1 ? 1及a4 ? 15 知 a4 ? 2a3 ? 1, 解得: a3 ? 7, 同理得 a2 ? 3, a1 ? 1. (2)由 an ? 2an?1 ? 1知 an ? 1 ? 2an?1 ? 2

an ? 1 ? 2(an?1 ? 1) ??an ? 1?构成以 a1 ? 1 ? 2 为首项以 2 为公比的等比数列;

? an ? 1(a1 ? 1) ? 2n?1 ;? an ? 1 ? 2 n , ? an ? 2 n ? 1. 为所求通项公式
(3)? an ? 2 n ? 1

? Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ...... ? an ? (21 ?1) ? (22 ?1) ? (23 ?1) ? ...... ? (2n ?1) ? (21 ? 22 ? 23 ? ...... ? 2n ) ? n ?
2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n?1 ? 2 ? n. 1? 2

3.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且有 a1 ? 2 , 3Sn ? 5an ? an?1 ? 3Sn?1 (n ? 2) (1)求数列 an 的通项公式; (2)若 bn ? (2n ?1) an ,求数列 an 的前 n 项的和 Tn 。 解:由 3Sn ? 3Sn?1 ? 5an ? an?1 (n ? 2) ,? 2an ? an?1 ,又

a1 ? 2 ,

an 1 ? , an ?1 2

1 1 1 ?{an } 是以 2 为首项, 为公比的等比数列,? an ? 2 ? ( ) n ?1 ? ( ) n ?2 ? 22? n 2 2 2

bn ? (2n ?1)22?n ,?Tn ? 1? 21 ? 3? 20 ? 5 ? 2?1 ?
1 Tn ? 1? 20 ? 3 ? 2?1 ? 2
(1)—(2)得 Tn ? 2 ? 2(2 ? 2 ?
0

? (2n ?1) ? 22?n (1)
(2)

? (2n ? 3) ? 22? n ? (2n ? 1) ? 21? n ? 22? n ) ? (2n ? 1) ? 21? n

1 2

?1

即: Tn ? 2 ?

1 2

2[1 ? (2?1 ) n?1 ] ? (2n ? 1) ? 21?n ? 6 ? (2n ? 3) ? 21?n , ?Tn ? 12 ? (2n ? 3) ? 22?n 1 ? 2?1

n * 4.已知数列{ an }满足 a1 ? 1 ,且 an ? 2an?1 ? 2 (n ? 2, 且n ? N ) .

(Ⅰ)求 a2 , a3 ; (Ⅱ)证明数列{ (Ⅲ)求数列{ an }的前 n 项之和 S n

an }是等差数列; 2n

解: (Ⅰ) a2 ? 2a1 ? 22 ? 6 , a3 ? 2a2 ? 23 ? 20 . (Ⅱ)? a n ? 2a n ?1 ? 2 (n ? 2, 且n ? N ) ,
n *



a n a n ?1 a a ?1 ? n ?1 ? 1(n ? 2, 且n ? N * ) , 即 n ? n ? 1(n ? 2, 且n ? N * ) . n n 2 2 2 2 n ?1 an a 1 ? ,公差为 d ? 1 的等差数列. } 是首项为 1 1 n 2 2 2 an 1 1 1 1 ? ? (n ? 1)d ? ? (n ? 1) ? 1 ? n ? , ∴ a n ? ( n ? ) ? 2 n . n 2 2 2 2 2

∴数列 {

(Ⅲ)由(Ⅱ)得

? Sn ?

1 1 3 2 5 3 1 ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? (n ? ) ? 2n (1) 2 2 2 2 1 3 5 1 1 2Sn ? ? 22 ? ? 23 ? ? 24 ? ? ? (n ? 1 ? ) ? 2n ? (n ? ) ? 2n ?1 (2) 2 2 2 2 2

(1) ? (2)得

1 ? 2 ? 2 2 ? 2 3 ? ? ? 2 n ? (n ? ) ? 2 n ?1 ? 1 1 n ?1 2 ? S n ? 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? (n ? ) ? 2 2
2 3 n

?

2(1 ? 2 n ) 1 ? (n ? ) ? 2 n?1 ? 1 ? (3 ? 2n) ? 2 n ? 3 . ∴ S n ? (2n ? 3) ? 2 n ? 3 . 1? 2 2

5.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 3 , an an?1 ? 2an?1 ? 1 . (1)求 a2 , a3 , a4 ; (2)求证:数列 ? 解: (1) a 2 ?

? 1 ? ? 是等差数列,并写出 ?an ? 的一个通项。 ? an ? 1 ?

5 7 9 , a3 ? , a 4 ? 3 5 7

(2)证明:由题设可知 an ? 0且an ? 1, n ? N

? an an?1 ? 2an?1 ? 1 ? ?an?1 ? 1? ? ?an ? 1? ? ?an?1 ? 1??an ? 1?
? 1 1 ? ?1 a n ? 1 a n ?1 ? 1

? 1 ? 1 ?? ? 是以 为首项, 1 为公差的等差数列 2 ? a n ? 1?


2 2n ? 1 1 1 1 ?1 ? ? ? n ? 1 ? n ? ? an ? 2n ? 1 2n ? 1 an ? 1 2 2

6.数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , an?1 ? 2Sn (n ? N* ) (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项 an ; (Ⅱ)求数列 ?nan ? 的前 n 项和 Tn 解: (Ⅰ)

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an?1 ? 2Sn ,? Sn?1 ? Sn ? 2Sn ,?

Sn ?1 ?3 Sn

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S1 ? a1 ? 1 ,? 数列 ?Sn ? 是首项为1 ,公比为 3 的等比数列, Sn ? 3n?1 (n ? N* )

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当 n ≥ 2 时, an ? 2Sn?1 ? 2 3n?2 (n ≥ 2) ,

n ? 1, ?1, ? an ? ? n ?2 ?? 3 ,n ≥ 2.
(Ⅱ) Tn ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 当 n ? 1 时, T1 ? 1; 当 n ≥ 2 时, Tn ? 1 ? 4 30 ? 6 31 ?

? nan ,

? 2n 3n?2 ,…………①

3Tn ? 3 ? 4 31 ? 6 32 ?

? 2n 3n?1 ,………………………②
? 3n?2 ) ? 2n 3n?1 ? 2 ? 2
3(1 ? 3n ? 2 ) ? 2n 3n ?1 1? 3

① ? ② 得: ?2Tn ? ?2 ? 4 ? 2(31 ? 32 ?

? ?1 ? (1 ? 2n) 3n?1
?Tn ?

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1 ? 1? ? ? n ? ? 3n?1 (n ≥ 2) 2 ? 2? 1 ? 1? ? ? n ? ? 3n?1 (n ≥ 2) 2 ? 2?

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又 T1 ? a1 ? 1 也满足上式,

?Tn ?

7. a1 ? 2, a2 ? 4, bn ? an?1 ? an , bn?1 ? 2bn ? 2 . 求证: ⑴数列{bn+2}是公比为 2 的等比数列; ⑵ an ? 2 n?1 ? 2n ; ⑶ a1 ? a2 ? ? ? an ? 2 n?2 ? n(n ? 1) ? 4 . 解: ⑴ bn?1 ? 2 ? 2(bn ? 2) ?

b1 ? a2 ? a1 ? 2

bn ?1 ? 2 ?2 bn ? 2 b2 ? 2b2 ? 2 ? 6

数列{bn+2}是首项为 4 公比为 2 的等比数列; ⑵由⑴知 bn ? 2 ? 4 ? 2 n?1 ? 2 n?1

?bn ? 2n?1 ? 2
? a2 ? a1 ? 2 2 ? 2 a3 ? a2 ? 23 ? 2
……

an?1 ? an ? 2 n?1 ? 2

an ? an?1 ? 2 n ? 2
上列(n-1)式子累加: an ? 2 ? (2 2 ? 23 ? ? ? 2n ) ? 2n

? an ? 2n?1 ? 2n
⑶ a1 ? a 2 ? ? ? a n ? (2 ? 2 ? ? ? 2
2 3 n ?1

)?2

n(n ? 1) . 2

? a1 ? a2 ? ? ? an ? 2n?2 ? n(n ? 1) ? 4

8.已知各项都不相等的等差数列 {an } 的前六项和为 60,且 a6为a1和a21 的等比中项. (1)求数列 {an } 的通项公式 an 及前n项和S n ; (2)若数列 {bn }满足bn ?1 ? bn ? a n (n ? N ? ),且b1 ? 3, 求数列 { 解: (1)设等差数列 {an } 的公差为 d ,则

1 } 的前 n 项和 Tn. bn

?6a1 ? 15d ? 60, ?d ? 2, 解得 ? ? 2 ?a1 ? 5. ?a1 (a1 ? 20d ) ? (a1 ? 5d )
? an ? 2n ? 3 .
Sn ? n(5 ? 2n ? 3) ? n(n ? 4) 2

(2)由 bn?1 ? bn ? an ,

?bn ? bn?1 ? an?1 (n ? 2, n ? N ? ).

当n ? 2时, bn ? (bn ? bn ?1 ) ? (bn ?1 ? bn ? 2 ) ? ? an ?1 ? an ? 2 ? ? n(n ? 2).对b1 ? 3也适合,

? (b2 ? b1 ) ? b1

? a1 ? b1 ? (n ? 1)(n ? 1 ? 4) ? 3

?bn ? n(n ? 2)(n ? N ? ) ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ). bn n(n ? 2) 2 n n ? 2

Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ? )? ( ? ? ) 2 3 2 4 n n?2 2 2 n ?1 n ? 2

?

3n 2 ? 5n 4(n ? 1)(n ? 2)
3 2

9. 已 知 Sn 是 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 , a1 ? , a2 ? 2 , 且 Sn?1 ? 3Sn ? 2Sn?1 ? 1 ? 0 , 其 中

n ? 2, n ? N * .
① 求证数列 ?an ? 1? 是等比数列; ② 求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn . 解:①

Sn?1 ? 3Sn ? 2Sn?1 ? 1 ? 0 ? Sn?1 ? Sn ? 2(Sn ? Sn?1 ) ? 1

? an?1 ? 2an ? 1(n ? 2)
又 a1 ? , a2 ? 2 也满足上式,? an?1 ? 2an ? 1(n ? N * )

3 2

? an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ( n ? N * )
1 ?数列 ?an ? 1? 是公比为 2,首项为 a1 ? 1 ? 的等比数列 2 1 n?1 (2)由①, an ? 1 ? ? 2 ? 2n?2 ? an ? 2n?2 ? 1 2
于是 Sn ? a1 ? a2 ? ... ? an ? 2?1 ? 1 ? 20 ? 1 ? 21 ? 1 ? ... ? 2n?2 ? 1

?

? ?

? ?

?

?

?

? ? 2?1 ? 20 ? 21 ? ...2n?2 ? ? n ?

2n ? 1 ?n 2

10. 已知 S n 是数列{ an }的前 n 项和,并且 a1 =1,对任意正整数 n, S n?1 ? 4an ? 2 ;设

bn ? an?1 ? 2an (n ? 1,2,3,?).

(I)证明数列 {bn } 是等比数列,并求 {bn } 的通项公式; (II)设 Cn ?

bn 1 , Tn为数列 { } 的前 n 项和,求 Tn . 3 log2 Cn?1 ? log2 Cn? 2

解析: (I)? S n?1 ? 4an ? 2,? S n ? 4an?1 ? 2(n ? 2), 两式相减: an?1 ? 4an ? 4an?1 (n ? 2),
? a n ? 1 ? 4(a n ? a n ? 1 )(n ? 2),? b n ? a n ? 1 ? 2a n , ? b n ? 1 ? a n ? 2 ? 2a n ? 1 ? 4(a n ? 1 ? a n ) ? 2a n ? 1 , b n ? 1 ? 2(a n ? 1 ? 2a n ) ? 2b n (n ? N *),

?

bn ?1 ? 2, bn

?{bn } 是以 2 为公比的等比数列,

? b1 ? a2 ? 2a1 , 而a1 ? a2 ? 4a1 ? 2,? a2 ? 3a1 ? 2 ? 5, b1 ? 5 ? 2 ? 3,

?bn ? 3 ? 2 n?1 (n ? N*)
(II) C n ? 而

bn 1 1 1 ? 2 n ?1 , ? ? ? , n n ?1 3 log2 C n?1 ? log2 C n? 2 log2 2 ? log2 2 n(n ? 1)

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ? 1? . ? ? , ? Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?1 n(n ? 1) n n ? 1


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