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由比例线段建立函数解析式(6页)

由比例线段建立函数解析式专项 本专题探究在图形的运动变化过程中, 存在平行或相似的三角形, 利用比例式来建立函 数关系式. 难一些的题目其中的一个变量是比例式, 一个变量是线段, 也是利用相似或平行 来构造比例式, 从而写出函数的解析式. 作为最后的一道压轴题, 一般情况下写出解析式后 还会有一个证等腰或相似或相切的题目,可以二次函数专题中的解题思想进行处理. 1 由平行得到比例式,从而建立函数关系式. 例题:如图,在△ABC 中,AB=AC=4,BC= 1 1 AB,点 P 是边 AC 上的一个点,AP= PD,∠APD= 2 2 ∠ABC,连结 DC 并延长交边 AB 的延长线于点 E (1) 求证:AD//BC (2) 设 AP=x,BE=y,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出它的定义域 (3) 连结 BP,当△CDP 与△CBE 相似时,试判断 BP 与 DE 的位置关系,并说明理由 2 由三角形相似得到比例式,建立函数关系式 例题:如图,在正方形 ABCD 中,AB=2,E 为线段 CD 上一点(点 E 与点 C、D 不重合) ,FG 垂直平分 AE,且交 AE 于 F,交 AB 延长线于 G,交 BC 于 H. (1) 证明:△ADE∽△GFA (2) 设 DE=x,BG=y,求 y 关于 x 的函数解析式及定义域 (3) 当 BH= 1 时,求 DE 的长 4 3 在学习利用相似比建立函数的解析式的时候,初中阶段的知识已经学了不少,对最后的 压轴题的综合性的要求已经很高了. 一般会在写解析式前有一些证明或计算,写好解析式 后再来一个证明等腰三角形或圆的位置关系等. 如果能够把一道复杂的压轴题拆分成几道 小的题目,各个击破,难题也就变简单了. 例题:如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,sinB= 4 5 ,AC=4;D 是 BC 的延长线上一个动点, ∠EDA=∠B,AE//BC. (1) 找出图中的相似三角形,并加以证明 (2) 设 CD=x,AE=y,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出函数的定义域 (3) 当△ADE 为等腰三角形时,求 AE 的长 4 刚才研究的写函数解析式都是在几何图形中进行的,下面来看在平面直角坐标系中怎样 写解析式. 例题:如图,在直角坐标系中的等腰梯形 AOCD 中,AD//x 轴,AO=CD=5, a= AD 2 = ,cos OC 5 3 ,P 是线段 OC 上的一个动点,∠APQ=∠a,PQ 交射线 AD 于点 Q,设 P 点坐标为(x, 5 0) ,点 Q 到 D 的距离为 y (1) 求过 A、O、C 三点的抛物线解析式 (2) 用含 x 的代数式表示 AP 的长 (3) 求 y 与 x 的函数解析式及定义域 (4) △CPQ 与△AOP 能否相似?若能,请求出 x 的值,若不能,请说明理由 5 当一个变量是比例式,另一个变量是一条线段,怎样来写函数的解析式呢?可以根据题 目的要求,由相似三角形面积的比等于相似比的平方,或相似三角形周长的比等于相似比 等建立函数解析式. 例题:如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(1,0) ,点 B、C 的坐标分别为(-1,0) , C(0,b) ,且 0<b<3,m 是经过点 B、C 的直线,当点 C 在线段 OC 上移动时,过点 A 作 AD ⊥m 于点 D. (1) 求点 D、O 之间的距离 (2) 如果 S △ BDA =ɑ,试求:ɑ与 b 的函数关系式及ɑ的取值范围 S△ BOC (3) 当∠ADO 的余切值为 2 时,求直线 m 的解析式 (4) 求此时△ABD 与△BOC 重叠部分的面积 6 当我们学习到利用相似三角形的相似比来建立函数解析式的时候,初中阶段的知识已经 学得差不多了,对于一些貌似很复杂的图形,只要能够分层求解,就能化繁为简. 例题:如图,在边长为 6 的正方形 ABCD 的两侧如图作正方形 BEFG、正方形 DMNK,恰好使得 N、A、F 三点在一直线上,连结 MF 交线段 AD 于点 P,连结 NP,设正方形 BEFG 的边长为 x, 正方形 DMNK 的边长为 y. (1) 求 y 关于 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围 (2) 当△NPF 的面积为 32 时,求 x 的值 (3) 以 P 为圆心,AP 为半径的圆能够与以 G 为圆心,GF 为半径的圆相切,若能请求 x 的值,若不能,请说明理由 练习: 1 如图,在三角形中,AB=AC=8,BC=10,点 D、E 分别在 BC、AC 上(点 D 不与 B、C 重合) , 且∠ADE=∠B,设 BD=x,AE=y. (1) 求 y 与 x 之间的函数解析式,并写出函数的定义域 (2) 点 D 在 BC 上的运动过程中, △ADE 是否有可能成为一个等腰三角形?如有可能, 请求出当△ADE 为等腰三角形时 x 的值;如不可能,请说明理由. 2 在△ABC 中,AB=4,AC=5,cosA= 3 ,点 D 是边 AC 上的点,点 E 是边 AB 上的点,且满 5 足∠AED=∠A,DE 的延长线交射线 CB 于点 F,设 AD=x,EF=y. (1) 如图 1,用含 x 的代数式表示线段 AE 的长 (2) 如图 1,求 y 关于 x 的函数解析式及函数的定义域 (3) 连结 EC,如图 2,求档 x 为何值时,△AEC 与△BEF 相似. 3 如图,在矩形 ABCD 中,AB=m(m 是大于 0 的常数) ,BC=8,E 为线段 BC 上的动点(不与 B、C 重合).连结 DE,作 EF⊥DE,EF 与射线 BA 交于点 F,设 CE=x,BF=y. (1) 求 y 关于 x 的函数关系式 (2) 若 m=8,求 x 为何值时,y 的值最大,最大值是多少? (3) 若 y= 12 ,要使△DEF 为等腰三角形,m 的值应为多少? m 4 已知在梯形 ABCD

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