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河北省唐山市开滦第二中学高中数学 4.1数学归纳法学案 新人教A版选修4-5


河北省唐山市开滦第二中学高中数学 4.1 数学归纳法学案 新人教 A 版选修 4-5
【学习目标】 1、掌握 数学归纳法及其证明思路。 2、理解数学归纳法的步骤。 【重点难点】 数学归纳法的应用 【学习过程】 一、问题情景导入 通过下面的式子: -1+3= -1+3-5= -1+3-5+7= -1+3-5+7- 9= 猜想出-1+3-5+7+ ? + (?1) (2n ?1) 的结果 a1 ? 0, ? 3, an?1
n

二、自学探究: (阅读课本第 46-48 页,完成下面 知识点的梳理 ) 一般地,要证明一个命题对 于不小于某正整数 n0 的所有正整数 n 都成立时,可以用以 下两个步骤: (1 ) (2) 完成这两个步骤后,就可以判定命题对于不小于 n0 的所有正整数都成立,这种证明方法 称为数学归纳法 三、例题演练: 例1、 证明: n ? 5n (n∈ N ? )能够被 6 整除。
3

1

例2、 平面上有 n(n∈ N ? ,n≥3 )个点,其中任何三点都 不在同一条直线上 。过这些点 中任意两点作直线,这样的直线共有多少条?证明你的结论。

例3、 用数学归纳法证明:

1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? ??? 1? 2 3 ? 4 (2n ? 1) ? 2n n ? 1 n ? 2 n?n

【课堂小结与反思】

【课后作业与练习】

(n ? n) a) 用数学归纳法证明不等式(n+1)(n+2) ?

2

= 2n ? 1? 3? ?? (2n ?1)(n ∈ N ? )时,从“n=k 到 n=k+1”左端需乘以的代数式为 A.2k+1 C. B.2(2k+1) C.

( )

2k ? 1 k ?1

2k ? 3 k ?1

b) 用数学归纳法证明时:设 f (k ) ? 1? 4 ? 2 ? 7 ? ? ? k (3k ? 1) ? k (k ? 1)2 , 求 f (k ? 1)

3、用数学归纳法证明: (3n+1) ? 7 ? 1 能被 9 整除(n∈ N ? )
n

4、证明 凸 n 边形的对 角线的 条数 f (n) ?

1 n(n ? 3)(n ? 4) 2

3

5、已知 ?an ? 是由非负整数组成的数列 ,满足 a1 ? 0, a2 ? 3, an?1an ? (an?1 ? 2)(an?2 ? 2), n=3, 4,5 ? (1)求 a3 ; (2)证明: an ? an?2 +2, n=3,4,5 ?

6、平面内有 n 个圆,任意两个 圆都相交于两点,任意三个圆不相交于同一点,求证:这 n 个圆将平面分成 f ? n ? =

n2 ? n ? 2 个部分(n∈ N ? )

4

5


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