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配套K12广东省蕉岭县蕉岭中学2017-2018学年高二数学上学期第一次质量检测试题 理

小学+初中+高中+努力=大学

蕉岭中学 2018-2019 学年第一学期高二级第一次质检理科数学试题
第一部分 选择题(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.
1.已知集合 A ? ?x|x ?1 ? 0 ?, B ? {x | x2 ? 2x ? 3 ? 0}, 则 A? B ? ( )

A. ??1,3? B. ??1,1? C. ??1, ??? D. ??3,1?

2.在△ABC 中,已知内角 A, B, C 成等差数列,则角 B 为: ( )

A. 30?

B. 60?

C. 90?

D.120?

3.某学校高一年级共有 480 名学生,为了调查高一学生的数学成绩,计划 用系统抽样的方法

抽取 30 名学生作为调查对象:将 480 名学生随机从 1~480 编号,按编号顺序平均分成 30 组

(1~16 号,17~32 号,…,465~480 号),若从第 1 组中用抽签法确定的号码为 5,则第 8

组中被抽中学生的号码是 (

)

A. 25 B. 133 C. 117 D. 88

4.在三角形 ABC 中,如果 (a ? b)(a ? b) ? c(b ? c) ,那么 A 等于( )

A. 300

B. 600

C.1200

D.1500

5.《张丘建算经》是我国北魏时期数学家张丘建所著,现传本有 92 问,比较突出的成就有最

大公约数与最小公倍数的计算,各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题求解等。“《张

丘建算经》卷上第 22 题为:“今有女善织,日益功疾(注:从第二天起,每天比前一天多织

相同量的布),第一天织 5 尺布,现有一月(按 30 天计),共织 390 尺布”,则从第二起每天

比前一天多织( )尺布。

A. 1 2

B. 8 15

C. 16 31

D. 16 29

6. 已知向量 a ? (1,1),b ? (1, ?1), c ? (?1, ?2) ,若 c ? xa ? yb ,那么 x ? y =:( )

A. —2

B. —1

C. 1

D.2

7.已知直线 l 过点 P(3,4) 且与点 A(?2,2) , B(4,?2) 等距离,则直线 l 的方程为( )

A. 2x ? 3y ?18 ? 0

B. 2x ? y ? 2 ? 0

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学

C. 3x ? 2y ?18 ? 0 或 x ? 2y ? 2 ? 0

D. 2x ? 3y ?18 ? 0 或 2x ? y ? 2 ? 0

8.涂老师将 5 个不同颜色的球分给甲、乙、丙、丁、戊五位同学,每人分得 1 个,则事件“甲 分得红色球”与“乙分得红色球”是 ( ) A. 对立事件 B. 不可能事件 C. 互斥但不对立事件 D. 不是互斥事件 9.有如下四个游戏盘,撒一粒黄豆,若落在阴影部分,则可以中奖,小明希望中奖,则他应 该选择的游戏是( )

10.如图所示的程序框图,若输出的 ,则判断框内实数 的取值范围为( )

A.

B.

C.

D.

11.已知直三棱柱

中,







则异面直线 与 所成角的余弦值为( )

A.

B.

C.

D.

12.设 x、y、z 为正数,且 2x ? 3y ? 5z ,则( )

A.2x<3y<5z

B.5z<2x<3y

C.3y<5z<2x

D.3y<2x<5z

第二部分 非选择题(共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷相应题号的位置上.
13.若 cos α =15,且 α 是第四象限角,则 cos???α +52π ???=________.

14. 已知?an? 为等差数列,若 a1 ? a2 ? 4 , a2 ? a3 ? 8 ,则 a3 ? a4 ? ________:

15.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 2 3,它的三视图中的俯视图如 右图所示,左 视图是一个矩形,则这个矩形的面积是________.

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学

16. 已 知 O 是 锐 角 三 角 形 ?ABC 的 外 接 圆 的 圆 心 , 且 tan A ? 2 , 若 2

cos B AB ? cos C AC ? k AO ,则 k ?

.

sin C

sin B

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算过程,把答

案填在答卷相应题号的位置上.

17.(本题满分 10 分)

已知等差数列?an ?的 前 n 项和为 S n , a2 ? 2, S5 ? 0 .

(1)求数列?an ?的通项公式;

(2)当 n 为何值时, S n 取得最大值.

18. (本题满分 12 分)
已知 a,b, c 是 ?ABC 三内角 A, B,C 的对边,且 2bcosC ? c ? 2a
(1)求角 B 的大小
(2)若 b ? 2 ,且 ?ABC 的面积为 3 ,求 2
(i) ?ABC 周长;(ii)AC 边的中线 BD 的长度。

19.(本题满分 12 分) 已知圆 M 的方程为 x2+(y-2)2=1,直线 l 的方程为 x-2y=0,点 P 在直线 l 上,过 P 点作 圆 M 的切线 PA,PB,切点为 A,B.
(1)若∠APB=60°,试求点 P 的坐标; (2)若点 P 的坐标为(2,1),过 P 作直线与圆 M 交于 C,D 两点,当 CD= 2时,求直线 CD 的方程.
20.(本题满分 12 分) 在“魅力红谷滩”才艺展示评比中,参赛选手成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同
程度的损坏,可见部分如图所示.
小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学 (1)根据图中信息,将图乙中的频率分布直方图补充完整; (2)根据频率分布直方图估计 选手成绩的平均值(同一组数据用该区间的中点值作代表); (3)从成绩在[80,100]的选手中任选 2 人进行 PK,求至少有 1 人成绩在[90,100]的概率.
21.(本题满分 12 分) 在如右图所示的几何体中,四边形 ABCD 是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,FC⊥平面
ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF.
1! ! (1)求证:BD⊥平面 AED; (2)求二面角 F?BD?C 的余弦值. 22.(本题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? loga x , g(x) ? 2 loga (2x ? t ? 2) ,其中 a ? 0 且 a ?1, t ? R . (I)若 t ? 4 ,且 x ?[1 , 2] 时, F(x) ? g(x) ? f (x) 的最小值是-2,求实数 a 的值;
4 (II)若 0 ? a ?1,且 x ?[1 , 2] 时,有 f (x) ? g(x) 恒成立,求实数 t 的取值范围.
4
小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学

蕉岭中学高二年级第一次质检理科数学试题参考答案

一选择题

BBCCD BDCAC CD

二填空题

13、2 5 6

14. 12.

15.2 3

16. 3 6

三、解答题(共 6 个小题,共 70 分)

17.解: (1)?

a2

?

2,

S5

?

?

0

,?

? ?

a1 ? d ? 2, 5? 4d

??5a1 ? 2 ?

0.

…… 3分

解得 a1 ? 4, d ? ?2 . …………4分
? an ? 4 ? ?n ?1?? ?? 2? ? 6 ? 2n .……5分

(2) Sn

? na1

?

n?n ?1?d
2

? 4n ? n?n ?1?

? ?n2

? 5n

……………7分

?

?

? ??

n

?

5 2

2
? ? ?

?

25 4

.……9分

? n ?N* ,

?当 n ? 2 或 n ? 3时, S n 取得最大值 6. …10分

(2)解法二:由

? an ? 0 ??an?1 ? 0

………8 分

解得: 2 ? n ? 3 …………9 分

? n ?N * ?当 n ? 2 或 n ? 3 时, S n 取得最大值 6. …………10 分

18.解:(1)由正弦定理: 2sin BcosC ? sinC ? 2sin A

…………1 分

∵ sin A ? sin(? ? A) ? sin(B ? C) ? sin B cosC ? cosCsinB

∴ sinC ? 2cos BsinC …………3 分又 ∵ C ?(0,? ) , sinC ? 0

∴ cos B ? 1 又∵ B ?(0,? ) ,所以 B ? ?

2

3

…………5 分

(2)由余弦定理: b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos B ? a2 ? c2 ? ac ? 4 (1) …………7 分

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学

由三角形面积公式: S ? 1 ac sin B ? 3 ac ? 3

2

4

2

…………8 分

即 ac ? 2 (2)由(1)(2) a2 ? c2 ? ac ? (a ? c)2 ? 3ac ? (a ? c)2 ? 6 ? 4

所以 a ? c ? 10 三角形周长为: 2 ? 10 在 ?ABD, ?BCD 中分 别使用余弦定理:

…9 分

c2 ? BD2 ? b 2 ? 2BD ? b ? cos ? ADB (3)

4

2

a2 ? BD2 ? b 2 ? 2BD ? b ? cos ?C DB (4)

4

2

又因为 ?ADB? ?C DB ? ? , cos?ADB? cos?C DB ? 0

(3)+(4)得 2BD2 ? a2 ? c2 ? b 2 ? 6 ? 2 ? 4 2

所以 BD ? 2 …………12 分
19.解:(1)设 P(2m,m),由题可知 MP=2,所以(2m)2+(m-2)2=4,解得 m=0 或 m=45,故 所求点 P 的坐标为 P(0,0)或 P???85,45???.…………6 分
(2)由题意易知 k 存在,设直线 CD 的方程为 y-1=k(x-2),由题知圆心 M 到直线 CD 的

距离为

2 2 ,所以

2 |-2k-1| 2 = 1+k2 ,解得

k=-1



k=-17,故所求直线

CD

的方程为:x+y-3

=0 或 x+7y-9=0. …………12 分

20.(1)由题图甲的茎叶图知,成绩在

的人数为 1,设参赛选手总人数为 n,





………2 分

由题图乙的频率分 布直方图知,成绩在[90,100]的人数为

可得频率分布表如下所示.

成绩分组

频数

1

3

7

8

4

2

小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学

频率

0 .04

0.12

0.28

所以,补全后的频率分布直方图如图所示.

0.32

0.16

0.08

(2)平均值=

………5 分

(3)成绩在[80,100]的选手共有 6 人,记成绩在

成绩在

的 2 位选手为



则任选 2 人的所有可能情况为

的 4 位选手为

.…8 分 ,

共 15

种可能,其中至少有 1 人成绩在[90,100]有 9 种可能,故所求概率为

. 12 分

21.解:(1)证明:因为四边形 ABCD 是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,所以∠ADC=∠BCD =120°.又 CB=CD,所以∠CDB=30°,因此∠ADB=90°,即 AD⊥BD.
又 AE⊥BD,且 AE∩AD=A,AE,AD? 平面 AED,所以 BD⊥平面 AED. ………6 分 (2)如图,取 BD 的中点 G,连接 CG,FG,由于 CB=CD,因此 CG⊥BD,

又 FC⊥平面 ABCD,BD? 平面 ABCD,所以 FC⊥BD.由于 FC∩CG=C, FC,CG? 平面 FCG,所以 BD⊥平面 FCG,故 BD⊥FG , 所以∠FGC 为二面角 F?BD?C 的平面角.
小学+初中+高中+努力=大学

小学+初中+高中+努力=大学

在等腰三角形 BCD 中,由于∠BCD=120°,因此 CG=12CB.

又 CB=CF,所以 GF= CG2+CF2= 5CG,

故 cos

∠FGC=

5 5 ,因此二面角

F?BD?C

的余弦值为

5 5 .…………12 分

22.【解析】(I)∵ t

?

4 ,∴

F ( x)

?

g(x)

?

f

(x)

?

2 loga (2x

?

2)

? loga

x

?

log a

4(x ?1)2 x

? loga

4(x ?

1 x

? 2)


..............2 分

易证

h(

x)

?

4(

x

?

1 x

?

2)

[


1 4

,1]

上单调递减,在

[1,

2]

上单调递增,且

h(

1 4

)

?

h(2)



∴ h(x)min

?

h(1)

? 16 , h(x)max

?

h( 1 ) 4

?

25

,..............4



∴当 a

?1时, F (x)min

?

loga 16 ,由 loga 16

?

?2 ,解得 a

?

1 4

(舍去)

1 当 0 ? a ?1时, F (x)min ? loga 25 ,由 loga 25 ? ?2 ,解得 a ? 5 . ..........6 分

1 综上知实数 a 的值是 5 . .... ..........7 分

(II)∵ f (x) ? g(x) 恒成立,即 loga x ? 2 loga (2x ? t ? 2) 恒成立,



1 2

log

a

x ? loga (2x ? t ? 2) .

x ?[1 , 2] 又∵ 0 ? a ?1, 4 ,∴

x ? 2x ?t ? 2,

t ? ?2x ? x ? 2 ∴恒成立,∴ t ? (?2x ? x ? 2)max ...............10 分

y ? ?2x ?


x ? 2 ? ?2(

x

?

1)2 4

? 17 8

(x ?[1 , 2]) 4

,∴

ymax

?

2

.

故实数 t 的取值范围为[2, ??) ...............12 分

小学+初中+高中+努力=大学


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