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高中数学平面向量试题

三、平面向量(命题人:越秀区教育发展中心 余建炜)

一、平面向量的实际背景与基本概念 1.(人教版 P85 例 2)
如图 1,设 O 是正六边形的中心,分别写出
图中与 OA 、 OB 、 OC 相等的向量。

B C
D

A

O

F

E

变式 1:

如图 1,设 O 是正六边形的中心,分别写出

图中与 OD 、 DC 共线的向量。
解: 变式 2:
如图 2,设 O 是正六边形的中心,分别写出

图1 B

C

O

D

图2

A F
E

图中与 DA 的模相等的向量以及方向相同的向量。
解: 二、平面向量的线性运算 2.(人教版第 96 页例 4)
如图,在平行四边形 ABCD 中, AB ? a , AD ? b ,
你能用 a,b 表示向量 AC , DB 吗?
变式 1:如图,在五边形 ABCDE 中,
AB ? a , BC ? b , CD ? c , EA ? d ,
试用 a ,b , c , d 表示向量 CE 和 DE .
解: CE ? BE ? CB ? BA ? AE ? CB ? ? ( a + b + d )

D A
E A

C B
D C
B

DE ? ?(EA ? AB ? BC ? CD) ? ? ( d + a + b +c )

D

变式 2:如图,在平行四边形 ABCD 中,若, OA ? a , OB ? b

则下列各表述是正确的为( )

A

A. OA ? OB ? AB

B. OC ? OD ? AB

C O
B

C. CD ? ? a + b
正确答案:选 D

D. BC ? ? (a + b)

变式 3:已知 OA =a, OB =b, OC =c, OD =d, 且四边形 ABCD 为平行四边形,则( )

A. a+b+c+d=0

B. a-b+c-d=0

C. a+b-c-d=0

D. a-b-c+d=0

正确答案:选 A

变式 4:在四边形 ABCD 中,若 AB ? ? 1 CD ,则此四边形是( ) 2

A.平行四边形 正确答案:选 C

B.菱形

C.梯形

D.矩形

变式 5:已知 a、b 是非零向量,则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的

()

A.充分但不必要条件

B

C.充要条件 正确答案:选 C

D.既不充分也不必要条件

变式 6:在四边形 ABCD 中,AB =a+2b,BC =-4a-b,CD =-5a-3b,其中 a、b 不共线,

则四边形 ABCD 为( )

A.平行四边形

B.矩形

C.梯形

D.菱形

【解析】 ∵ AD = AB ? BC ? CD =-8a-2b=2 BC ,∴ AD // BC .
∴四边形 ABCD 为梯形. 正确答案:选 C

变式 7:已知菱形 ABCD,点 P 在对角线 AC 上(不包括端点 A、C),则 AP 等于( )

A.λ ( AB + AD ),λ ∈(0,1) C.λ ( AB - AD ),λ ∈(0,1)

B.λ ( AB + BC ),λ ∈(0,

2 )

2

D.λ ( AB ? BC ),λ ∈(0,

2 )

2

【解析】 由向量的运算法则 AC = AB + AD ,而点 P 在对角线 AC 上,所以 AP 与 AC 同向,

且| AP |<| AC |,∴ AP =λ ( AB + AD ),λ ∈(0,1).

正确答案:选 A

变式 8:已知 D、E、F 分别是△ABC 的边 BC、CA、AB 的中点,且 BC = a ,CA = b , AB = c ,

则下列各式: ① EF = 1 c - 1 b
22

③ CF =- 1 a + 1 b 22

其中正确的等式的个数为( )

A.1

B.2

正确答案:选 B

3.(人教版第 98 页例 6)

② BE = a + 1 b 2
④ AD + BE + CF = 0

C.3

D.4

如图,已知任意两个非零向量 a 、b ,试作 OA ? a + b, OB ? a + 2b,

b

a
OC ? a + 3b,你能判断 A、B、C 三点之间的位置关系吗?为什么?

变式 1:已知 OA ? a + 2b, OB ? 2a + 4b, OC ? 3a + 6b (其中 a 、b 是两个任意非零 向量) ,证明:A、B、C 三点共线. 证明:∵ AB ? OB ? OA ? a + 2b, AC ? OC ? OA ? 2a + 4b,

∴ AC ? 2AB 所以,A、B、C 三点共线. 变式 2:已知点 A、B、C 在同一直线上,并且 OA ? a + b, OB ? (m ? 2) a + 2b,

OC ? (n ?1) a + 3b (其中 a 、b 是两个任意非零向量) ,试求 m、n 之间的关系.

解: AB ? OB ? OA ? (m ? 3) a + b , AC ? OC ? OA ? n a + 2b

由 A、B、C 三点在同一直线上可设 AB ? k AC ,



?(m ? 3) ? kn ??2k ?1

所以 (m ? 3) ? 1 n 2

4.(人教版第 102 页第 13 题)

即 2m ? n ? 6 ? 0 为所求.

已知四边形 ABCD,点 E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点,求证: EF ? HG

变式 1:已知任意四边形 ABCD 的边 AD 和 BC 的中点分别为 E、F,

D

C

求证: AB ? DC ? 2EF . 证明:如图,连接 EB 和 EC ,

E

F

A

B

由 EA ? AB ? EB 和 EF ? FB ? EB 可得, EA ? AB ? EF ? FB (1)

由 ED ? DC ? EC 和 EF ? FC ? EC 可得, ED ? DC ? EF ? FC (2)

(1)+(2)得, EA ? ED ? AB ? DC ? 2EF ? FB ? FC

(3)

∵E、F 分别为 AD 和 BC 的中点,∴ EA ? ED ? 0 , FB ? FC ? 0 ,

代入(3)式得, AB ? DC ? 2EF 三、平面向量的基本定理及坐标表示 2.(人教版第 109 页例 6)
已知 a = (4,2),b = (6,y),且 a // b ,求 y .

变式 1:与向量 a = (12,5) 平行的单位向量为( )

A.

? ??

12,13

5 13

? ??

B.

? ??

?

12,13

5 13

? ??

C.

? ??

12,5 13 13

? ??



? ??

?

12,13

5 13

? ??

D.

? ??

?

12,5 13 13

? ??



? ??

12,13

5 13

? ??

正确答案:选 C

变式 2:已知 a ? (1, 2) ,b ? ? x,1? ,当 a+2b 与 2a-b 共线时, x 值为 ( )

A.1

B.2

正确答案:选 D

C. 1 3

D. 1 2

变式 3:已知 A(0,3) 、B(2,0) 、C(-1,3) 与 AB ? 2 AC 方向相反的单位向量是( )

A.(0,1)

B.(0,-1)

C. (-1,1)

D.(1,-1)

正确答案:选 A
变式 4:已知 a = (1,0),b = (2,1) .试问:当 k 为何实数时, ka-b 与 a+3b 平行, 平行
时它们是同向还是反向?

解:因为 ka-b ? ?k ? 2,?1? ,a+3b ? ?7,3? .

由已知得, 3?k ? 2? ? 7 ? 0 解得 k ? ? 1 ,
3

此时,ka-b

?

? ??

?

7 3

,?

1???

,a+3b

?

?7,3?

,二者方向相反.

2.(人教版第 110 页例 8)

设点 P 是线段 P1P2 上的一点, P1 、 P2 的坐标分别为 ? x1,y1 ? , ? x2,y2 ? .

(1) 当点 P 是线段 P1P2 上的中点时,求点 P 的坐标;

(2) 当点 P 是线段 P1P2 的一个三等分点时,求 P 的坐标

变式 1:已知两点 M ?3, 2? , N ??5, ?5?, MP ? 1 MN ,则 P 点坐标是 (



2

A. ??8,1?

B.

? ??

?1,

?

3 2

? ??

C.

???1,

3 2

? ??

D. ?8,?1?

正确答案:选 B

变式 2:如图,设点 P、Q 是线段 AB 的三等分点, B

Q

若 OA =a, OB =b,则 OP = 2 a ? 1 b , 33

P A

b

a

O

OQ =

1a? 2b 33

四、平面向量的数量积

(用 a、b 表示)

5.(人教版第 116 页例 3)
已知|a|=6,|b| =4 且 a 与 b 的夹角为 60? ,求 (a + 2b)·(a ?3 b) .

? ? ? ? 变式 1:已知 a ? 3, b ? 4, a ? b a ? 2b ? 23, 那么 a 与 b 夹角为

A、 60?

B、 90?

C、120?

D、150?

正确答案:选 C

变式 2:已知向量 a 和 b 的夹角为 60°,| a | = 3,| b | = 4,则(2a – b)·a 等于

(A)15

(B)12

(C)6

(D)3

正确答案:选 B

变式 3:在△ABC 中,已知| AB |=4,| AC |=1,S△ABC= 3 ,则 AB · AC 等于( )

A.-2

B.2

C.±2

D.±4

正确答案:选 C

变式 4:设向量 2te1 ? 7e2 与向量 e1 ? te2 的夹角为钝角,求实数 t 的取值范围.

解:∵ (2te1 ? 7e2 )(e1 ? te2 ) ? 0 ,故 2t 2 ?15t ? 7 ? 0 , 解之 ? 7 ? t ? ? 1 . 2

另有 2t ? ?,7 ? t? ,解之 t ? ? 14 , ? ? ? 14 , 2

∴ t ? (?7,? 14 ) ? (? 14 ,? 1 ) .

2

22

2.(人教版第 116 页例 4)

已知|a|=3,|b| =4 且 a 与 b 不共线,k 为何实数时,向量 a + kb 与 a ?k b 互相垂直?

变式 1:已知 a⊥b ,|a|=2,|b| =3,且向量 3a + 2b 与 ka ? b 互相垂直,则 k 的值为( )

A. ? 3 2

B. 3 2

C. ? 3 2

D.1

正确答案:选 B

变式 2:已知|a|=1,|b| = 2 且(a-b)⊥a,则 a 与 b 夹角的大小为 45o .

解: 2.(人教版第 119 页 第 11 题)
已知 a = (4,2),求与向量 a 垂直的单位向量的坐标.

变式 1:若 i = (1,0), j =(0,1),则与 2i+3j 垂直的向量是 (

)

A.3i+2j

B.-2i+3j

C.-3i+2j

D.2i-3j

正确答案:选 C

变式 2:已知向量 a ? (1 , 1) , b ? (2 , ? 3),若 k a ? 2b 与 a 垂直,则实数 k =( )

A.1 正确答案:选 B

B.-1

C.0

D.2

变式 3:若非零向量 a, b 互相垂直,则下列各式中一定成立的是 ( )

A. a ? b ? a ? b

B.| a ? b |?| a ? b |

C. (a ? b)(a ? b) ? 0

D. (a ? b)2 ? 0

正确答案:选 B

变式 4:已知向量 a=(3,-4),b=(2,x), c=(2,y)且 a∥b,a ? c.求|b-c|的值.

解:∵ a∥b,∴ 3x+8=0. ∴x= ? 8 . 3

∴ b=(2, ? 8 ) . 3

∵ a ? c,

∴ 6-4y=0. ∴ y= 3 . 2

∴ c=(2, 3 ). 2

而 b-c =(2, ? 8 )-(2, 3 )=(0,- 25 ),

3

2

6

∴ |b-c|= 25 . 6

(人教版第 118 页例 5)

已知 A (1,2),B (2,3),C ( ?2 ,5),试判断 ?ABC 的形状,并给出证明.

? ? ? ? 变式 1:O 是 ?ABC 所在的平面内的一点,且满足 OB ? OC ? OC ? OA ? 0 ,则 ?ABC

一定为( ) A.正三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形
正确答案:选 C

D.斜三角形

变式 2:已知 A、B、C 三点不共线,O 是△ ABC 内的一点,若 OA + OB + OC =0,

则 O 是△ ABC 的( )

A. 重心 正确答案:选 A

B. 垂心

C. 内心

2
变式 3:已知 AB? BC ? AB ? 0 ,则△ABC 一定是

A.锐角三角形 正确答案:选 B

B.直角三角形

C.钝角三角形

D. 外心
() D.等腰直角三角形

变式 4:四边形 ABCD中, AB ? (6,1),BC ? (x, y),CD ? (?2,?3)

(1)若 BC // DA ,试求 x 与 y 满足的关系式;

(2)满足(1)的同时又有 AC ? BD ,求 x, y 的值及四边形 ABCD的面积。

解: BC ? (x, y) DA ? ?AD ? ?(AB ? BC ? CD) ? ?(x ? 4, y ? 2) ? (?x ? 4,?y ? 2)

(1)? BC// DA 则有 x ? (? y ? 2) ? y ? (?x ? 4) ? 0 化简得: x ? 2 y ? 0

(2) AC ? AB ? BC ? (x ? 6, y ?1)

又 AC ? BD 则 (x ? 6) ? (x ? 2) ? ( y ?1) ? ( y ? 3) ? 0

化简有: x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ?15 ? 0

联立

?x ??x

?2 2?

y y

?0 2 ?4

x

?

2

y

?

15

?

0

解得

?x ? ?6

? ?

y

?

3



? ? ?

x y

?2 ? ?1

? BC // DA AC ? BD 则四边形 ABCD为对角线互相垂直的梯形



?x ? ?6

? ?

y

?

3

AC ? (0,4) BD ? (?8,0)

此时 S ABCD

?

1? 2

AC

?

BD

? 16



? ? ?

x ?2 y ? ?1

AC ? (8,0) BD ? (0,?4)

此时 S ABCD

?

1? 2

AC

?

BD

? 16

五、平面向量应用举例

(人教版第 121 页 例 1)

题目意图:用平面向量的方法证明平面几何命题:平行四边形两条对角线的平方和等于其两

条邻边的平方和的两倍

变式 1:如图,矩形 ABCD 内接于半径为 r 的圆 O,点 P 是圆周上任意一点,

求证:PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.

证明: PA2 ? OA2 ? OP2 ? 2OA? OP ,

PB2 ? OB2 ? OP2 ? 2OB2 ? OP ,

PC2 ? OC2 ? OP2 ? 2OC2 ? OP ,

PD2 ? OD2 ? OP2 ? 2OD2 ? OP , 以上各式相加可证.
变式 2:已知△ABC 中, BC ? a,CA ? b, AB ? c ,若 a ? b ? b ? c ? c ? a ,求证:△ABC

为正三角形.
证明:? b ? c ? c ? a , ∴ c(b ? a) ? 0 , 又∵ a ? b ? c ? 0 , c ? ?(a ? b) , 故 ? (a ? b)(b ? a) ? 0 , 知 a=b, 同理可知 b=c , 故 a=b=c , 得证.
变式 3:已知平行四边形 ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 交于 E,O 是任意一点,求证 OA ? OB ? OC ? OD ? 4OE .
【证明】 ∵E 是对角线 AC 与 BD 的交点,∴ AE ? EC ? ?CE, BE ? ED ? ?DE . 在△OAC 中, OA ? AE ? OE ,
同理有 OB ? BE ? OE, OC ? CE ? OE, OD ? DE ? OE . 四式相加可得: OA ? OB ? OC ? OD ? 4OE . 变式 4:四边形 ABCD 的边 AD 和 BC 的中点分别为 E、F, 求证: EF ? 1 (AB ? DC)
2 【证法一】 ∵E、F 分别为 DA、BC 的中点. ∴ DE ? EA, FC ? BF 又∵ EF ? FC ? CD ? DE =0① EF ? FB ? BA ? AE =0② ①+②,得 2 EF ? (FC ? FB) ? (CD ? BA) ? (DE ? AE ) =0 ∴2 EF ? ?CD ? (?BA) ? DC ? AB ∴ EF ? 1 (AB ? DC)
2 【证法二】 连结 EC,EB ∵ EF ? FC ? EC ,① EF ? FB ? EB ②

①+②,得 2 EF +0= EC ? EB , ∴ EF ? 1 (EC ? EB)
2 又∵ EC ? ED ? DC ③
EB ? EA ? AB ④ ③+④,得 EF ? 1 (ED ? DC ? EA ? AB)
2 又∵ ED ? EA =0, ∴ EF ? 1 (AB ? DC) .
2


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