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正弦函数、余弦函数的图像和性质(优质课)(1)


正弦函数、余弦函数的图象和性质

教学目标
? 1.理解并掌握作正弦、余弦函数图象 的方法. ? 2.理解并熟练掌握用五点法作正弦函 数简图的方法. ? 3. 培养学生数形转化的能力。 ? 教学重点:用单位圆中的正弦线作正 弦、余弦函数的图象.

4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
1. sinα、cosα、tanα的几何意义. 想一想?

y
1
P
T

正弦线MP 余弦线OM

o

M

1

A

x

正切线AT

三角问题

几何问题

4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
1 函数 y ? sin x, x ? 0,2? 图象的几何作法
y

?

?

作法: (1) 等分 (2) 作正弦线
/ p1

1P 1
?
6

(3) 平移 (4) 连线
? 3
? 2

-

-

-

o1

M1 -1

A

o
-1 -

? 6

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

22? ?

x

4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
2 正弦曲线
y
1-

? 6?
-

? 4?
-

? 2?
-

o-1

2?
-

4?
-

-

6?
-

x

因为终边相同的角的三角函数值相同,所以y=sinx的图象在……, ?? 4? ,?2? ? , ?? 2? ,0?, ?0,2? ?, ?2? ,4? ?, …与y=sinx,x∈[0,2π]的图象相同 3余弦曲线(平移得到) 余弦曲线(几何作法)

4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质

y
1

-

? 6?
-

? 4?
-

? 2?
-

o

-

-1

2?
-

4?
-

6?
-

由于

y ? cos x ? cos(? x) ? sin[

?
2

? ( ? x)] ? sin( x ?

?
2

)

? 是同一个函数;y=sinx图象左移 2 便得到的

所以余弦函数 y ? cos x, x ? R 与函数

y ? sin( x ?
y ? sin( x ?

?
2
2

), x ? R

?

)

图象

余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移 而得到.

?
2

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4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
y
1-

4 关键五点 (五点作图法)

图象的最高点 ( ,1) 2 与x轴的交点
11? 6

?

-1

o
-1 -

? 6

?

?
2

3

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

2?

(0,0) (? ,0) (2? ,0) x 图象的最低点 3?

简图作法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) y (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
-

-

( 2 ,?1)

图象的最高点 与x轴的交点

1-

(0,1) (2? ,1)

-1

o
-1 -

? 6

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

( ? ,0) ( 32? ,0) x 2? 2 图象的最低点 (? ,?1)

-

4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
例1.画出下列函数的简图
(1)y=sinx+1, x∈[0,2π]
(2)y=-cosx , x∈[0,2π] (2) 解: (1) 列表
x
sin x cos x sincos x ? x ?1
0
? ? 2 2

?? ? y (3) ? sin ? x ? ? x∈[0,2π] 3? ? ?? ? (4)y ? sin? x ? ? ? 1 x∈[0,2π] 3? ? 描点作图
yy
2-

10 1 -1

01 02

? 0 -1 11

3? 3? 2 2

2? 2?

? 01 00

1 0 1 -1

1- 1
oo ?1 - ?1
? 2

y ? 1 ? sin x, x ?[0,2? ] y ? cos x, x ?[0,2? ]
? 2

??

3? 3? 2

y ? sin x, x ?[0,2? ]

2

2? ? 2

xx

y ? ? cos x, x ?[0,2? ]

4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
1 -6π
-4π -5π -3π -1
?? ? 2

y π
O

y=sinx
3π 2π 4π 5π x

-2π





?? ? 2
?? ? 2 ?? ? 2

? ? 1 2
O

y

? 2
?? 2

y=cosx
?? 2
?? 2

?? 2

x

??? ? 2

-1

??? 2

问题提出

1.周期函数是怎样定义的? 对于函数f(x),如果存在一个非 零常数T,使得当x取定义域内的每一 个值时,都有f(x +T)=f(x), 那么函 数f(x)就叫做周期函数,非零常数T就 叫做这个函数的周期.

§4.8.3正弦函数余弦函数的图象和性质(三)

3.y=sinx和y=cosx的周期性 1)周期函数的定义 一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T ,使 得当 x 取定义域内的每一个值时,都有f( x+T )=f(x) ,那 么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的 周期。

说明:
(1)T必须是常数,且不为零;
(2)对周期函数来说f ( x ? T ) ? f ( x)必须对定义域 内的任意x都成立。

§4.8.3正弦函数余弦函数的图象和性质(三)

思考:

2? ? ()对于函数y ? sin x, x ? R, 有 sin( ? 1 ) ? sin , 6 3 6 2? 能否说 是y ? sin x的周期。 3

?

(2)函数y ? f ( x)的周期为T,则kT (k ? Z ) 也是y ? f ( x)的周期吗?为什么?

§4.8.3正弦函数余弦函数的图象和性质(三)

思考:

(3)函数y ? sin x, x ? R, 是不是周期函数? 如果是,周期是多少?
由sin(x+2kπ)=sinx , cos(x+2kπ)=cosx (k∈Z) 知: 函数y=sinx和y=cosx都是周期函数,2kπ(k∈Z 且k≠0)都是它的周期,最小正周期是T= 2π。

§4.8.3正弦函数余弦函数的图象和性质(三)

2.y=sinx和y=cosx的周期性

2)最小正周期的定义
对于一个周期函数f(x) ,如果在它所有的周期中 存在一个最小的正数T ,那么这个最小正数T就叫做 f(x)的最小正周期。 说明: 我们现在谈到三角函数周期时,如果不加特别 说明,一般都是指的它的最小正周期。

思考:是不是所有的周期函数都有最小正周期?

§4.8.3正弦函数余弦函数的图象和性质(三)

二、讲解范例: 例1. 求下列函数的周期:
解:(1)∵y=cosx的周期是2π

(1)y=3cosx,x∈R

∴只有x增到x+2π时,
函数值才重复出现

∴y=3cosx,x∈R的周期是2π

§4.8.3正弦函数余弦函数的图象和性质(三)

二、讲解范例: 例1.求下列函数的周期: (2)y=sin2x,x∈R;
解:(2)令Z=2x,那么x∈R必须并且只需Z∈R,

且函数y=sinZ,Z∈R的周期是2π
即Z+2π=2x+2π=2(x+π).

只有当x至少增加到x+π,
函数值才能重复出现 ∴y=sin2x的周期是π

二、讲解范例: 1 ? 例1.求下列函数的周期:(3) y ? 2sin( x ? ) x?R 2 6 1 ? 解:(3)令 Z ? x ? ,那么x∈R必须并且只需Z∈R 2 6 且函数y=2sinZ,Z∈R的周期是2π,
1 ? 1 ? 由于Z ? 2? ? ( x ? ) ? 2? ? ( x ? 4? ) ? 2 6 2 6

所以只有x至少要增加到x+4π,函数值才重复取得 1 ? 1 ? 2sin[ ( x ? 4? ) ? ] ? 2sin ( x ? ) 即T=4π是能使等式:成 2 6 2 6 立的最小正数。 1 ? 从而 ( y ? 2sin( x ? ) x ? R 的周期是4π。 2 6

1.一般地,函数y=Asin(ωx+ ?),x∈R及函数 y=Acos(ωx+ ?),x∈R(其中A、ω、 ? 为常数,且

A≠0,ω>0)的周期T=

2.一般地,函数y=Asin(ωx+ ?),x∈R及函数
y=Acos(ωx+ ?),x∈R(其中A、ω、 ? 为常数,且

2? ?

A≠0)的周期T=

2?

?
? 2?

根据这个结论,我们可以由这类函数的解析式 直接写出函数的周期: T

?

注意:最小正周期是指能使函数值重复 出现的 自变量x要加上的那个最小的正 数,这个最小的正数是对x而言的。 一般地,函数y ? A sin( ?x ? ? ).x ? R 及函数y ? A cos(?x ? ? ).x ? R (其中A、?、?为常数,A ? 0,? ? 0) 2? 的周期为T ? . ?

4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
y
1P 1
/ p1

y

余弦函数 y ? cos x, x ? ?0,2? ? 的图象
y
1-

-

o1

-

-

-

o1

M1

-1A

o
-1 -

? 6

?
3

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

-1

-

o
-1 -

? 6

?

?
2

3

2? 3

5? 6

?

-

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
y
1P 1
/ p1

y

(1) 作法: 等分 (2) 作余弦线 (3) 竖立、平移 (4) 连线
?
3

-

-

-

o1

M1

-1A

o
-1 -

? 6

?
2

2? 3

5? 6

?

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

y

y
Q1

1-

Q2

-

-

o1

M 2 M 1-1

o
-1 -

? 6

?

?
2

3

2? 3

5? 6

?

-

7? 6

4? 3

3? 2

5? 3

11? 6

2?

x

x

l

4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
余弦曲线
y
1
? 6?
-

? 4?
-

? 2?
-

-1 -

o

2?
-

4?
-

6?
-

因为终边相同的角的三角函数值相同,所以y=cosx的图象在……, ?? 4? ,?2? ? , ?? 2? ,0?, ?0,2? ?, ?2? ,4? ?, …与y=cosx,x∈[0,2π]的图象相同

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-

x


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