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上海市八校2017届高三3月联考数学试题 Word版含答案


2017 届八校联考调研试卷(数学)
2017.03 一. 填空题 1. 若关于 x 、 y 的二元一次方程组的增广矩阵为 ?

?3 2 1 ? ? ,若 Dx ? 5 ,则实数 m ? ?1 1 m?

2. 我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米 1524 石, 验得米内夹谷,抽样取来一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,则这堆米内夹谷约为 3. 已知复数 z1 ? 1 ? 3i , | z2 |? 2 , z1 z2 是正实数,则复数 z2 ? 石

9 x 9 ) 的二项展开式中, x3 的系数为 ,则实数 a 的值为 4 2 5. 在 Rt ?ABC 中, A ? 90? , AB ? 1 , AC ? 2 , D 是斜边 BC 上一点,且 BD ? 2 DC , ???? ??? ? ??? ? 则 AD ? ( AB ? AC) ?
4. 在 ( ? 6. 已知集合 A ? {x | log 1 ( x ? 2) ? 0} , B ? {x | ( x ? a)( x ? b) ? 0} ,若“ a ? ?3 ”是 “ A ? B ? ? ”的充分条件,则实数 b 的取值范围是 7. 已知 M 是球 O 半径 OP 的中点,过 M 作垂直于 OP 的平面,截球面得圆 O1 ,则以圆 O1 为大圆的球与球 O 的体积的比值是 8. 从集合 { ,
x
2

a x

1 1 , 2, 3} 中任取一个数记为 a ,从集合 {?2, ?1,1, 2} 中任取一个数记为 b ,则函 3 2

数 y ? a ? b 的图像经过第三象限的概率是 9. 已知 m ? 0 , n ? 0 ,若直线 (m ? 1) x ? (n ? 1) y ? 2 ? 0 与圆 ( x ?1)2 ? ( y ?1)2 ? 1 相切, 则 m ? n 的取值范围是 10. 如图,在地上有同样大小的 5 块积木,一堆 2 个, 一堆 3 个,要把积木一块一块地全部放到某个盒子里, 每次只能取其中一堆最上面的一块,则不同的取法有 种(用数字作答) 11. 定义 H n ?

a1 ? 2a2 ? ??? ? 2n ?1 an 为数列 {an } 的“均值” ,已知数列 {bn } 的“均值” n 记数列 {bn ? kn} 的前 n 项和为 Sn , 若 Sn ? S5 对任意正整数 n 恒成立, 则实数 k Hn ? 2n?1 ,

的范围为 12. 已知函数 f ( x) ?| x ? a | ?m | x ? a | ( 0 ? m ? 1 , m, a ? R ) ,若对于任意的实数 x 不 等式 f ( x) ? 2 恒成立时, 实数 a 的取值范围是 {a | a ? ?5 或 a ? 5} , 则所有满足条件的 m 组 成的集合是
1

二. 选择题 13. 已知两点 O (0, 0) , Q (a, b) ,点 P 1 是线段 OQ 的中点,点 P 2 是线段 QP 1 的中点, P 3是 线段 PP 1 2 的中点, ??? , P nP n?1 的中点,则点 P n ? 2 是线段 P n 的极限位置应是( A. ( , ) )

a b 2 2

B. ( , )

a b 3 3

C. (

2 a 2b , ) 3 3

D. (

3a 3b , ) 4 4

14. 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? 的最小值为 A. [?

?
6

)?

?
2

3? ,则函数的单调递增区间为( 4
? 2 k? , ? ? 2 k? ] , k ? Z 5? ? 2 k? ] , k ? Z 2

1 1 1 (? ? 0 ) ,且 f (? ) ? ? , f ( ? ) ? ,若 | ? ? ? | 2 2 2
) B. [?

?
2

? 3k? , ? ? 3k? ] , k ? Z 5? ? 3k? ] , k ? Z 2


C. [? ? 2k? ,

D. [? ? 3k? ,

15. 已知 m 、 n 是两条不同直线, ? 、 ? 、 ? 是三个不同平面,下列命题正确的是( A. 若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ∥ ? B. 若 m ? ? , n ? ? , m ∥ n ,则 ? ∥ ? C. 若 m 、 n 是异面直线, m ? ? , m ∥ ? , n ? ? , n ∥ ? ,则 ? ∥ ? D. 平面 ? 内有不共线的三点到平面 ? 的距离相等,则 ? ∥ ?

?C ? 120? , 16. 若点 P 是 ?ABC 的外心, 且 PA ? PB ? ? PC ? 0 , 则实数 ? 的值为 (
A.

??? ? ??? ?

??? ?

?



1 2

B. ?

1 2

C. ?1

D. 1

三. 解答题 17. 如图所示为一名曰“堑堵”的几何体,已知 AE ? 底面 BCFE , DF ∥ AE ,

DF ? AE ? 1 , CE ? 7 ,四边形 ABCD 是正方形;
(1) 《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,判断四面体 EABC 是否 为鳖臑,若是,写出其每一面的直角,并证明:若不是,说明理由; (2)求四面体 EABC 的体积;

2

18. 一幢高楼上安放了一块高约 10 米的 LED 广告屏, 一测量爱好者在与高楼底部同一水平 线上的 C 处测得广告屏顶端 A 处的仰角为 31.80°,再向大楼前进 20 米到 D 处,测得广告 屏顶端 A 处的仰角为 37.78°(人的高度忽略不计) ; (1)求大楼的高度(从地面到广告屏顶端) (精确到 1 米) ; (2)若大楼的前方是一片公园空地,空地上可以安放一些长椅,为使坐在其中一个长椅上 观看广告最清晰(长椅的高度忽略不计) ,长椅需安置在距大楼底部 E 处多远?已知视角

?AMB ( M 为观测者的位置, B 为广告屏底部)越大,观看得越清晰;

19. 已知双曲线 C 经过点 (2,3) ,它的渐近线方程为 y ? ? 3x ,椭圆 C1 与双曲线 C 有相同 的焦点,椭圆 C1 的短轴长与双曲线 C 的实轴长相等; (1)求双曲线 C 和椭圆 C1 的方程; (2)经过椭圆 C1 左焦点 F 的直线 l 与椭圆 C1 交于 A 、 B 两点,是否存在定点 D ,使得无 论 AB 怎样运动,都有 ?ADF ? ?BDF ?若存在,求出 D 坐标,若不存在,请说明理由;

20. 已知函数 F ( x) ? e 满足 F ( x) ? g ( x) ? h( x) ,且 g ( x) 、 h( x) 分别是定义在 R 上的偶
x

函数和奇函数; (1)求函数 h( x) 的反函数; (2)已知 ? ( x) ? g ( x ? 1) ,若函数 ? ( x) 在 [?1,3] 上满足 ? (2a ? 1) ? ? (? ) ,求实数 a 的 取值范围; (3)若对于任意 x ? (0, 2] 不等式 g (2 x) ? ah( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围;

a 2

* 21. 若存在常数 k ( k ? N , k ? 2 ) , d 、 t ( d,t ? R ) ,使得无穷数列 {an } 满足

? a ?d ? ? n an ?1 ? ? ? ta n ? ?

n ? N* k ,则称数列 {an } 为“段差比数列” ,其中常数 k 、 d 、 t 分别叫做 n * ?N k

段长、段差、段比,设数列 {bn } 为“段差比数列” ; (1)已知 {bn } 的首项、段长、段差、段比分别为 1、2、 d 、 t ,若 {bn } 是等比数列,求 d 、

t 的值;
(2)已知 {bn } 的首项、段长、段差、段比分别为 1、3、3、3、1,其前 3n 项和为 S3n ,若 不等式 S3n ? ? ? 3n?1 对 n ? N 恒成立,求实数 ? 的取值范围;
*

(3)是否存在首项为 b ,段差为 d ( d ? 0 )的“段差比数列” {bn } ,对任意正整数 n 都
3

有 bn?6 ? bn ,若存在,写出所有满足条件的 {bn } 的段长 k 和段比 t 组成的有序数组 (k , t ) , 若不存在,说明理由;

4

5

6

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8


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