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高中数学 《正切函数的图像与性质》课件_图文

1.4.3正切函数的性质与图像

曹县一中

邢春霞

一.复习旧知探究新知
问题1:正切函数的定义是什么?定义域用区间 如何表示? ? ? ( ? ? k???? ? k?? ? k ? ? ? 2 ? 问题2:根据相关诱导公式,你能判断正切函数是周 期函数吗?其最小正周期为多少?

因为 f (x ? ?) ? tan(x ? ?)

? tan x ? f (x),
所以y=tanx是周期函数, 周期是π.

问题3:根据相关诱导公式,你能判断正切函数的
奇偶性吗?
? 由诱导公式 tan(? x) ? ? tan x, x ? R, x ? ? k?, k ? ? 2

知 正切函数是奇函数,图象关于原点对称.

y

T2

问题4:观察图中的正切线,当 角在
(? ? ? , ) 2 2

内增加时,正切
O

函数值发生什么变化?由此反 映出一个什么性质?

A
T1

x

函数值先由-∞→0再由0→+∞;正切函数在(- ? , ? )
2 2

内是增函数.

问题5:结合正切函数的周期性,思考正切函数的 单调性如何?
? ? 正切函数在开区间 ( ? ? k???? ? k?? ? k ? ? ?内都是增函数 2 ?

? ? 问题6:当x大于 ? 且无限接近 ? 时,正切值如何变化? 2 2 ? ? 当x小于 且无限接近 2 时, 正切值又如何变化? 2 由此分析,正切函数的值域是什么?
y T2

tan x

? ? 在( ? , )内可以取任意实数, 2 2

O

O

A
T1

x

但没有最大值、最小值. 正切函数的值域是R

二.探究新知

(一)正切函数

y ? tan x
y

的图象
类比用正弦线作 正弦函数的图象

问题7.如何利用正切线画出函数

? ? ?? ? , ?的图象? ? tan x ,x ? ? ? 2 2?

角 的终边 3 T

?

Y

(? , tan ? )
3 3

A

0

? 3

X

? ? ?? y ? tan x x ? 1.利用正切线画出函数 , ? ? , ? 的图像: ? 2 2? 把单位圆右半圆分成8等份; 作法: (1) 等分: ? ? ? 3? 3? ? (2) 作正切线; ? , , , ? ? , , 8 8 4 8 8 4 (3) 平移; (4) 连线.

o

? 3? ? ? 0 ? ? ? ? 2 8 4 8

? 8

? 4

3? 8

? 2

2.根据正切函数的周期性,将图象左、右拓展到 整个定义域R内:

y
1

3? ? 2

??

?

?
2
-1

0

? 2

?

3? 2

x

正切曲线是由被相互平行的直线 x ? ? k? 2 所隔开的无穷多支形状相同曲线组成的。

y ? tan x

?

(k ? Z )

(二)正切函数 y ? tan x的性质
1.定义域:
? ? ? ? x | x ? ? k?, k ? ? ? . 2 ? ?

2.值域:

R

3.周期性: 正切函数是周期函数,周期为 ?. 4.奇偶性:正切函数是奇函数,图象关于原点对称. 5.单调性: 正切函数在开区间 (? ? ? k?, ? ? k?), k ? ? 内都是增函数. k? 6.对称中心: ( ,0)
2
2 2

思考:正切函数是整个定义域上的增函数吗?为什么?

A
B

π π (- + kπ, + kπ) ,k ? Z 2 2

在每一个开区间 内都是增函数。

三.典例分析:
? ? 例1.求函数 y ? tan( x ? ) 的定义域、周期和单调区间. 2 3

解:函数的自变量x应满足:
? ? ? x ? ? k? ? , k ? ?, 2 3 2


1 x ? 2k ? , k ? ?. 3

所以,函数的定义域是:
1 ? ? x | x ? 2k ? , k ? ? ? ?. 3 ? ?

? ? y ? tan( x ? ) 的周期: 2 3

由于

? ? ? ? f (x) ? tan( x ? ) ? tan( x ? ? ?) 2 3 2 3

?? ?? ? tan ? ? x ? 2 ? ? ? ? f ? x ? 2? , 3? ?2

因此函数的周期为2.

? ? y ? tan( x ? ) 的单调区间: 2 3
? ? ? ? 由 ? ? k? ? x ? ? ? k?, k ? ?? 2 2 3 2

5 1 解得 ? ? 2k ? x ? ? 2k, k ? ?. 3 3

因此,函数的单调递增区间是

掌握正切函 数的性质是 解决此类问 题的关键

5 1 (? ? 2k, ? 2k), k ? ?. 3 3

?? ? y ? tan ? 3 x ? ? 练习:求函数 3? ? 调 性、周期性;
答案:

的定义域、值域,并指出它的单

1、定义域 2、值域

1 5? ? ? x ? ? x | x ? R且x ? k? ? ,k ? Z ? 3 18 ? ? y?R

3、单调性

? 1 5? ? ?1 在x ? ? k? ? , k? ? ? 上是增函数; 18 3 18 ? ?3
最小正周期是

5、周期性

?
3

例2. . 比较 tan (?

6? 13? )与 tan()的大小 . 5 7

6? 6? ? 解: . ? t an (? ) ? t an( ? ? ? ) ? t an( ? ) 5 5 5 13? ? ? 13? ? t an() ? t an? ? 2? ? ? t an 7 7 7 ? ?
而?

?
2

??

?
5

?

?
7

?

?
2

6? 13? ? tan (? ) ? tan() 5 7

五.课堂达标:
1.求函数

?? ? y ? log 1 ? ? x ? 的定义域是( 4 ? 2?

).

? ? ? A.? x x ? k? ? , k ? Z ? 4 ? ? ? ? ? ? B.? x k? ? ? x ? k? ? , k ? Z ? 4 4 ? ? ? ? ? C .? x x ? k? ? , k ? Z ? 4 ? ? ? ? ? D.? x x ? k? ? , k ? Z ? 4 ? ?

? ? ?? 2.函数y ? tan(x ? ),x ? ? ? , ?的值域是 6 ? 6 6?

?

___________.

3.函数y ? 3x ? tan2 x ? 2 x 4 奇偶性是 ___________.
___________. 4.函数y ? t an3x的周期是

5. 比较 t an3与t an4 的大小 .
6..求函数 y ? 3 tan(

?
4

- 2 x)的单调区间 .

四.课堂小结:正切函数的性质与图像 1.正切函数 y ? tan x 的性质
1.定义域: 2.值域:
? ? ? x | x ? ? k ? , k ? ? ? ?. 2 ? ?

R

3.周期性: 正切函数是周期函数,周期为 ?. 4.奇偶性:正切函数是奇函数,图象关于原点对称.
? ? 5.单调性: 正切函数在开区间 (? ? k?, ? k?), k ? ? 2 2

k? 6.对称中心: ( ,0) 2

内都是增函数.

2.正切函数 y ? tan x 的图像

3.思想方法: 数形结合,换元(整体代换), 化归.

六.作业布置:
必做:教材 46 页
2

6 题,

9 题.

?? ? 选作:求函数y ? tan (3x ? ) ? tan? 3x ? ? ? 1的定义域与值域 . 3 3? ?

?

谢谢大家!


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