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北京市海淀区2016届高三第二学期期中练习理科数学试题及答案

海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习 数学试卷(理科) 2016.4 本试卷共4 页,150 分.考试时长120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1.函数 f (x) ? 2x ?1 的定义域为 A.[0,+ ? ) B.[1,+ ? ) C.(- ? ,0] D.(- ? ,1] 2.某程序的框图如图所示,若输入的z=i(其中i为虚数单位),则输出的S 值为 A.-1 B.1 C.-i D.i ?x ? y ? 2 ? 0 3.若x,y 满足 ? ? x ? y ? 4 ? 0 ,则 z ?? y ? 0 ? 1 2 x? y 的最大值为 A. 5 2 B.3 C. 7 2 D.4 4.某三棱锥的三视图如图所示,则其体积为 A. 3 3 B. 3 2 C. 2 3 3 D. 2 6 3 5.已知数列?an? 的前n 项和为Sn,则“ ?an? 为常数列”是 “ ?n ? N*, Sn ? nan ”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 6.在极坐标系中,圆C1 : ? ? 2cos? 与圆C2: ? ? 2sin? 相交于 A,B两点,则|AB|= A.1 B. 2 C. 3 D. 2 ·1· 7.已知函数 f (x) ? ?sin(x ? a), x ? 0 ??cos(x ? b), x ? 0 是偶函数,则下列结论可能成立的是 A. a ? ? ,b ? ? ? 4 4 B. a ? 2? ,b ? ? 36 C. a ? ? ,b ? ? 36 D. a ? 5? ,b ? 2? 6 3 8.某生产基地有五台机器,现有五项工作待完成,每台机器完成每项工作后获得的效益值 如表所示.若每台机器只完成一项工作,且完成五项工作后获得的效益值总和最大,则 下列叙述正确的是 A.甲只能承担第四项工作 B.乙不能承担第二项工作 C.丙可以不承担第三项工作 D.丁可以承担第三项工作 二、填空题共6 小题,每小题5 分,共30 分. 9.已知向量 a ? (1,t), b ? (t, 9) ,若 a b ,则t = _______. ? ? 10.在等比数列 an 中,a2=2,且 1 a1 ? 1 a3 ? 5 4 ,则 a1 ? a3 的值为_______. 11.在三个数 1 2 , ? 2 1 2. log3 2 中,最小的数是_______. 12.已知双曲线C: x2 a2 ? y2 b2 ? 1的一条渐近线l 的倾斜角为 ? 3 ,且C 的一个焦点到l 的距离 为 3 ,则C 的方程为_______. 13.如图,在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1,2,3 中的一个. (ⅰ)当每条边上的三个数字之和为4 时,不同的填法有_______种; (ⅱ)当同一条边上的三个数字都不同时,不同的填法有_______种. ·2· 14.已知函数 f (x) ,对于实数t ,若存在a>0,b >0 ,满足: ?x ?[t ? a,t ? b] ,使得 | f (x) ? f (t) |? 2,则记a+b的最大值为H(t ). (ⅰ)当 f (x) =2x时,H(0)= _______. (ⅱ)当 f (x) ? x2 且t?[1, 2] 时,函数H(t)的值域为_______. 三、解答题共6 小题,共80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分13 分) 如图,在△ABC 中,点D在边 AB上,且 AD ? 1 .记∠ACD=? ,∠BCD= ? . DB 3 (Ⅰ)求证: AC ? sin ? ; BC 3sin? (Ⅱ)若? ? ? , ? ? ? , AB ? 19 ,求BC 的长. 62 16.(本小题满分13 分) 2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推 广.2015 年12 月10 日,我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法 上的贡献获得诺贝尔医学奖.目前,国内青蒿人工种植发展迅速. 某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响,在山上和山下的试验田中 分别种植了100 株青蒿进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4 株青蒿作为样本,每株提取的青蒿素产量(单位:克)如下表所示: (Ⅰ)根据样本数据,试估计山下试验田青蒿素的总产量; ·3· (Ⅱ)记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为 s12 , s 2 2 ,根据样本数据, 试估计 s12 与 s 2 2 的大小关系(只需写出结论); (Ⅲ)从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株,记这2 株的产量总和为? ,求 随机变量? 的分布列和数学期望. 17.(本小题满分14 分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,点M ,N 分别为线段PB,PC 上的点,MN⊥PB. (Ⅰ)求证: BC⊥平面PAB ; (Ⅱ)求证:当点M 不与点P ,B 重合时,M ,N ,D , A 四个点在同一个平面内; (Ⅲ)当PA=AB=2,二面角C-AN -D的大小为 ? 时,求PN 的长. 3 18.(本小题满分13 分) 已知函数f (x) =ln x+ 1 -1, g(x) ? x ?1 x ln x (Ⅰ)求函数 f (x)的最小值; (Ⅱ)求函数g(x)的单调区间; (Ⅲ)求证:直线 y=x不是曲线 y =g(x)的切线。 19.(本小题满分14 分) 已知椭

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