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高中数学圆锥曲线与方程试题

九、《圆锥曲线与方程》变式题(命题人:广州市教育局教研室 曾辛

金)

1.(人教 A 版选修 1-1,2-1 第 39 页例 2)

如图,在圆 x2 ? y2 ? 4 上任取一点 P,过点 P 作 X 轴

的垂线段 PD,D 为垂足.当点 P 在圆上运动时,线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么?

变式 1:设点 P 是圆 x2 ? y2 ? 4 上的任一点,定点 D

的坐标为(8,0).当点 P 在圆上运动时,求线段 PD 的中 点 M 的轨迹方程.

解:设点 M 的坐标为 ? x, y? ,点 P 的坐标为 ? x0, y0 ? ,

则x?

x0 ? 8 , y 2

?

y0 2

.即 x0

?

2x ?8,

y0

?

2y .

因为点 P ? x0, y0 ? 在圆 x2 ? y2 ? 4 上,所以

x02 ? y02 ? 4 .

即 ?2x ?8?2 ? ?2y?2 ? 4 ,

Y P

M

OD

X

即 ? x ? 4?2 ? y2 ? 1,这就是动点 M 的轨迹方程.

变式 2:设点 P 是圆 x2 ? y2 ? 4 上的任一点,定点 D 的坐标为(8,0),若点 M 满足

PM ? 2MD .当点 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹方程.

解:设点 M 的坐标为 ? x, y? ,点 P 的坐标为 ? x0, y0 ? ,由 PM ? 2MD ,得 ? x ? x0, y ? y0 ? ? 2?8? x, ?y? ,

即 x0 ? 3x ?16 , y0 ? 3y .

因为点 P ? x0, y0 ? 在圆 x2 ? y2 ? 4 上,所以

x02 ? y02 ? 4 .
即 ?3x ?16?2 ? ?3y?2 ? 4 ,



? ??

x

? 16 3

?2 ??

?

y2

?

4 9

,这就是动点

M

的轨迹方程.

变式 3:设点 P 是曲线 f ? x, y? ? 0 上的任一点,定点 D 的坐标为 ?a,b? ,若点 M 满足

PM ? ? MD (? ? R, ? ? ?1) .当点 P 在曲线 f ? x, y? ? 0 上运动时,求点 M 的轨迹方程.

解:设点 M 的坐标为 ? x, y? ,点 P 的坐标为 ? x0, y0 ? ,由 PM ? ? MD ,得

? x ? x0, y ? y0 ? ? ? ?a ? x,b ? y? ,

即 x0 ? ?? ?1? x ? ?a , y0 ? ?? ?1? y ? ?b .

因为点 P ? x0, y0 ? 在圆 f ? x, y? ? 0 上,所以

f ? x0, y0 ? ? 0 .

即 f ??? ?1? x ? ?a,?? ?1? y ? ?b? ? 0,这就是动点 M 的轨迹方程.

2.(人教 A 版选修 1-1,2-1 第 40 页练习第 3 题)

已知经过椭圆

x2 25

?

y2 16

? 1 的右焦点

F2 作垂直于

x

轴的直线

A

B,交椭圆于

A,B

两点,

F1 是椭圆的左焦点.

(1)求 ?AF1B 的周长;

(2)如果 AB 不垂直于 x 轴, ?AF1B 的周长有变化吗?为什么?
变式 1(2005 年全国卷Ⅲ):设椭圆的两个焦点分别为 F1、、F2,过 F2 作椭圆长轴的垂 线交椭圆于点 P,若△F1PF2 为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是

A. 2 2

B. 2 ?1 2

C. 2 ? 2 D. 2 ?1

解一:设椭圆方程为

x2 a2

?

y2 b2

? 1 ,依题意,显然有

PF2

?

F1F2

,则 b2 a

? 2c ,即

a2 ? c2 ? 2c ,即 e2 ? 2e ?1 ? 0 ,解得 e ? 2 ?1.选 D. a

解二:∵△F1PF2 为等腰直角三角形,∴ PF2 ? F1F2 ? 2c, PF1 ? 2 2c .

∵ PF1 ? PF2

? 2a ,∴ 2

2c ? c ? 2a ,∴ c ? a

1? 2 ?1

2 ?1.故选 D.

变式

2:已知双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1, (a

?

0, b

?

0) 的左,右焦点分别为 F1, F2 ,点

P

在双

曲线的右支上,且| PF1 |? 4 | PF2 |,则此双曲线的离心率 e 的最大值为



解 一 : 由 定 义知 | PF1 | ? | PF2

|? 2a

, 又 已知 | PF1 |? 4 | PF2

| ,解得

PF1

?

8a 3



PF2

?

2 3

a

,在

?PF1

F2

中,由余弦定理,得

c

os

?F1

P

F2

?

64 a 2 ? 4 a 2 ? 4c 2 99
2? 8a? 2 a

? 17 ? 9 e2 , 88

33

要求 e

的最大值,即求 cos ?F1PF2 的最小值,当 cos ?F1PF2

?

?1时,解得 e

?

5 .即 e 3



最大值为 5 . 3

解二:设 P(x, y) ,由焦半径公式得 PF1 ? ex ? a, PF2 ? ex ? a ,∵ PF1 ? 4 PF2 ,

∴ (ex ? a) ? 4(ex ? a) ,∴ e ? 5a ,∵ x ? a ,∴ e ? 5 ,∴ e 的最大值为 5 .

3x

3

3

变式 3(2005 年全国卷Ⅰ):已知椭圆的中心为坐标原点 O,焦点在 x 轴上,斜率为 1

且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点, OA ? OB 与 a ? (3, ?1) 共线.

(Ⅰ)求椭圆的离心率;

(Ⅱ)设 M 为椭圆上任意一点,且 OM ? ?OA ? ?OB (?, ? ? R) ,证明 ?2 ? ? 2 为

定值.

解:(Ⅰ)设椭圆方程为 x2 ? y 2 ? 1(a ? b ? 0), F (c,0) , a2 b2

则直线

AB

的方程为

y

?

x

?

c

,代入

x a

2 2

?

y2 b2

? 1,化简得

(a 2 ? b2 )x 2 ? 2a 2cx ? a 2c 2 ? a 2b2 ? 0 .



A(

x1 ,

y1 ),B (x2 ,

y2

),则

x1

?

x2

?

2a2c a2 ? b2

,

x1x2

?

a2c2 a2

? a2b2 ? b2

.

由 OA? OB ? (x1 ? x2, y1 ? y2), a ? (3, ?1),OA ? OB 与 a 共线,得

3( y1 ? y2 ) ? (x1 ? x2 ) ? 0, 又 y1 ? x1 ? c, y2 ? x2 ? c ,

即 2a2c a2 ? b2

?

3c ,所以 a 2 2

? 3b2 .

?c ? a2 ? b2 ? 6a , 3

故离心率 e ? c ? 6 . a3

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知 a 2

?

3b 2

,所以椭圆

x a

2 2

?

y2 b2

? 1可化为 x 2

? 3y2

? 3b2 .

设 OM ? (x, y) ,由已知得 (x, y) ? ?(x1, y1) ? ?(x2 , y2 ),

?

? ? ?

x y

? ?

? ?

x1 y1

? ?

? ?

x2 , y2.

? M (x, y) 在椭圆上,? (?x1 ? ?x2 )2 ? 3(?y1 ? ?y2 )2

? 3b2 .

即 ?2 (x12 ? 3y12 ) ? ? 2 (x22 ? 3y22 ) ? 2?? (x1x2 ? 3y1 y2 ) ? 3b2 . ①

由(Ⅰ)知 x1

?

x2

?

3c , a2 2

?

3 c2,b2 2

?

1 c2. 2



x

2 1

?3

y12

? 3b2 , x22

?

3

y

2 2

? 3b2 ,代入①得 ?2

? ?2

? 1.

故 ?2 ? ? 2 为定值,定值为 1.

3.(人教 A 版选修 1-1,2-1 第 47 页习题 2.1A 组第 6 题)

已知点

P

是椭圆

x2 5

?

y2 4

? 1上的一点,且以点

P

及焦点 F1 , F2 为顶点的三角形的面

积等于 1,求点 P 的坐标.

变式 1(2004 年湖北卷理):已知椭圆 x 2 16

?

y2 9

? 1的左、右焦点分别为 F1、F2,点 P

在椭圆上,若 P、F1、F2 是一个直角三角形的三个顶点,则点 P 到 x 轴的距离为

A. 9 5

B.3

C. 9 7 7

D. 9 4

解:依题意,可知当以

F1



F2

为三角形的直角顶点时,点

P

的坐标为

? ??

?

7

,

?

9 4

? ??



则点 P 到 x 轴的距离为 9 ,故选 D.(可以证明不存在以点 P 为直角顶点的三角形) 4

变式2(2006年全国卷Ⅱ):已知 ?ABC 的顶点B、C在椭圆 x2 ? y2 ? 1上,顶点A是椭 3
圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则 ?ABC 的周长是

A. 2 3

B.6

C. 4 3

D.12

解:由于椭圆 x2 ? y2 ? 1的长半轴长 a ? 3 ,而根据椭圆的定义可知 ?ABC 的周长为 3

4a ? 4 3 ,故选 C.

4.(人教 A 版选修 1-1,2-1 第 47 页习题 2.1B 组第 3 题)

如图,矩形 ABCD 中, AB ? 2a , BC ? 2b , D

E,F,G,H 分别是矩形四条边的中点,R,S,T 是

线段 OF 的四等分点, R? , S? ,T ? 是线段 CF 的四 H

等分点.请证明直线 ER 与 GR? 、ES 与 GS? 、ET 与

GT? 的交点 L,M,N 在同一个椭圆上.

A

变 式 1 : 直 线 l : y ? kx ?1 与 双 曲 线

GL O RS

C

M

R/ S/

N T/

TF

E

B

C : 2x2 ? y2 ? 1的右支交于不同的两点 A、B.若双曲线 C 的右焦点 F 在以 AB 为直径的圆上

时,则实数 k ?



解:将直线 l : y ? kx ?1代入双曲线 C 的方程 2x2 ? y2 ? 1整理,得

(k 2 ? 2)x2 ? 2kx ? 2 ? 0.

……①

依题意,直线 L 与双曲线 C 的右支交于不同两点,故

?k 2 ? 2 ? 0,

? ??

?

(2k

)2

?

8(k

2

?

2)

?

0,

? ?? ?

k

2k 2?

2

?

0,

解得 ? 2 ? k ? ? 2 .

? ? ?

2 k2 ?

2

?

0.

设 A、B 两点的坐标分别为 (x1, y1 ) 、 (x2 , y2 ) ,则由①式得

? ??

x1

?

x2

?

2k 2?k2

,

?

? ??

x2

?

x2

?

2 k2 ?

. 2

……②

∵双曲线 C 的右焦点 F ?c, 0?在以 AB 为直径的圆上,则由 FA⊥FB 得:

整理,得 (k 2 ? 1)x1x2 ? (k ? c)( x1 ? x2 ) ? c2 ? 1 ? 0. ……③

把②式及 c ? 6 代入③式化简,得 5k 2 ? 2 6k ? 6 ? 0. 2

解得 k ? ? 6 ? 6 或k ? 6 ? 6 ? (?2,? 2)(舍去) ,故 k ? ? 6 ? 6 .

5

5

5

变式 2(2002 年广东卷):A、B 是双曲线 x2 ? y2 ? 1上的两点,点 N(1,2)是线段 2
AB 的中点. (Ⅰ)求直线 AB 的方程; (Ⅱ)如果线段 AB 的垂直平分线与双曲线相交于 C、D 两点,那么 A、B、C、D 四点
是否共圆?为什么?

解:(Ⅰ)直线 AB 的方程为 y ? x ?1.(求解过程略)

? y ? x ?1,

(Ⅱ)联立方程组

? ? ??

x2

?

y2 2


? 1.

A??1,0?、 B?3, 4? .

由 CD 垂直平分 AB,得 CD 方程为 y ? 3 ? x .

代入双曲线方程 x2 ? y2 ? 1整理,得 x2 ? 6x ?11 ? 0 . 2
记 C ? x1, y1 ? , D? x2, y2 ? 以及 CD 的中点为 M ? x0, y0 ? ,

则有

? ? ?

x1 ? x1x2

x2 ?

? ?6, ?11.

从而

M

?

?3,

6?



∵ CD ? 2 x1 ? x2 ? 2 ? x1 ? x2 ?2 ? 4x1x2 ? 4 10 .

∴ MC ? MD ? 2 10 .

又 MA ? MB ? ??3 ?1?2 ? ?6 ? 0?2 ? 2 10 .
即 A、B、C、D 四点到点 M 的距离相等. 故 A、B、C、D 四点共圆.
变式 3(2005 年湖北卷):设 A、B 是椭圆 3x2 ? y 2 ? ? 上的两点,点 N(1,3)是线
段 AB 的中点,线段 AB 的垂直平分线与椭圆相交于 C、D 两点.
(Ⅰ)确定 ? 的取值范围,并求直线 AB 的方程; (Ⅱ)试判断是否存在这样的 ? ,使得 A、B、C、D 四点在同一个圆上?并说明理由.
(Ⅰ)解法 1:依题意,可设直线 AB 的方程为 y ? k(x ?1) ? 3, 代入3x 2 ? y 2 ? ? 整

理,得 (k 2 ? 3)x2 ? 2k(k ? 3)x ? (k ? 3)2 ? ? ? 0. ①

设 A(x1, y1), B(x2 , y2 ), 则x1, x2是方程 ①的两个不同的根,

? ? ? 4[?(k 2 ? 3) ? 3(k ? 3)2 ] ? 0 ②

且x1

?

x2

?

2k(k ? 3) k2 ?3

.由N

(1,3)

是线段

AB

的中点,得

解得 k =-1,代入②得, ? >12,即 ? 的取值范围是(12,+ ? ).

于是,直线 AB 的方程为 y ? 3 ? ?(x ?1),即x ? y ? 4 ? 0.

解法 2:设 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ), 则有

依题意, x1

?

x2 ,? k AB

?

? 3(x1 ? x2 ) . y1 ? y2

(Ⅱ)解法 1:?CD垂直平分AB,?直线CD的方程为y ? 3 ? x ?1,即x ? y ? 2 ? 0.

代入椭圆方程,整理得

4x2 ? 4x ? 4 ? ? ? 0.



又设C(x3 , y3 ), D(x4 , y4 ), CD的中点为 M (x0 , y0 ), 则x3 , x4是方程 ③的两根,

于是由弦长公式可得| CD |?

1?

(?

1)2 k

?

|

x3

?

x4

|?

2(? ? 3).



将直线 AB 的方程 x ? y ? 4 ? 0, 代入椭圆方程得 4x2 ? 8x ?16 ? ? ? 0. ⑤

同理可得| AB |? 1? k 2 ? | x1 ? x2 |? 2(? ?12). ⑥ 假设在在 ? >12,使得 A、B、C、D 四点共圆,则 CD 必为圆的直径,点 M 为圆心.点

13

M 到直线 AB 的距离为 d ? | x0 ? y0 ? 4 | ? | ? 2 ? 2 ? 4 | ? 3 2 . ⑦

2

2

2

于是,由④、⑥、⑦式和勾股定理可得
故当 ? ? 12时,A、B、C、D 四点均在以 M 为圆心, | CD | 为半径的圆上.
2
(注:上述解法中最后一步可按如下解法获得:

A、B、C、D 共圆 ? △ACD 为直角三角形,A 为直角 ?| AN |2 ?| CN | ? | DN |,即

(| AB |)2 ? (| CD | ? d )(| CD | ? d ). ⑧

2

2

2

由⑥式知,⑧式左边= ? ? 12 . 2

由④和⑦知,⑧式右边= ( 2(? ? 3) ? 3 2 )( 2(? ? 3) ? 3 2 )

2

2

2

2

∴⑧式成立,即 A、B、C、D 四点共圆
解法 2:由(Ⅱ)解法 1 及 ? ? 12.

?CD垂直平分AB,?直线CD方程为y ? 3 ? x ?1, 代入椭圆方程,整理得

4x2 ? 4x ? 4 ? ? ? 0. ③

解得 x3,4

?

?1?

? 2

?3

.

将直线 AB 的方程 x ? y ? 4 ? 0, 代入椭圆方程,整理得

4x2 ? 8x ?16 ? ? ? 0. ⑤

解得 x1,2 ? 2 ?

? ?12
.
2

不妨设 A(1 ? 1 ? ?12 ,3 ? 1 ? ?12 ), C( ?1 ? ? ? 3 , 3 ? ? ? 3 ), D( ?1 ? ? ? 3 , 3 ? ? ? 3 )

2

2

2

2

2

2

∴ CA ? (3 ? ? ?12 ? ? ? 3 , 3 ? ? ? 3 ? ? ?12 )

2

2

计算可得 CA ? DA ? 0 ,∴A 在以 CD 为直径的圆上.
又点 A 与 B 关于 CD 对称,∴A、B、C、D 四点共圆. (注:也可用勾股定理证明 AC⊥AD) 5.(人教 A 版选修 1-1,2-1 第 59 页习题 2.2B 组第 1 题)

求与椭圆 x2 ? y2 ? 1 有公共焦点,且离心率 e ? 5 的双曲线的方程.

49 24

4

变式

1(2002

年北京卷文):已知椭圆

x2 3m

2

? y2 5n 2

? 1和双曲线 x 2 2m 2

? y2 3n 2

? 1有公共

的焦点,那么双曲线的渐近线方程是

A. x ? ? 15 y B. y ? ? 15 x C. x ? ? 3 y

2

2

4

D. y ? ? 3 x 4

解:依题意,有 3m2

? 5n2

? 2m2

? 3n2 ,即 m2

?

8n2

,即双曲线方程为

x2 16n2

?

y2 3n2

?1,

故双曲线的渐近线方程是 x2 16n2

?

y2 3n2

? 0 ,即 y ? ?

3 x ,选 D. 4

变式 2(2004 年全国卷Ⅳ理):已知椭圆的中心在原点,离心率 e ? 1 ,且它的一个焦 2
点与抛物线 y 2 ? ?4x 的焦点重合, 则此椭圆方程为( )

A. x 2 ? y 2 ? 1 43

B. x 2 ? y 2 ? 1 86

C. x 2 ? y 2 ? 1 2

D. x 2 ? y 2 ? 1 4

解:∵抛物线 y 2 ? ?4x 的焦点坐标为(-1,0),则椭圆的 c ?1,又 e ? 1 ,则 a ? 2 , 2

进而 b2 ? 3 ,所以椭圆方程为 x 2 ? y 2 ? 1,选 A. 43

6.(人教 A 版选修 1-1,2-1 第 66 页例 4)

斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y2 ? 4x 的焦点,且与抛物线相交于 A,B 两点,求线段

AB 的长.

变式 1:如果 P1 ,P2 ,…,P8 是抛物线 y2 ? 4x 上的点,它们的横坐标依次为 x1 ,x2 ,…,

x8 ,F 是抛物线的焦点,若 x1 ? x2 ? ? x8 ? 10 ,则 P1F ? P2F ? ? P8F ? ___.

解:根据抛物线的定义,可知

Pi F

? xi ?

p 2

? xi ?1( i ? 1,2,……,8),

∴ P1F ? P2F ? ? P8F ? ? x1 ? x2 ? ? x8 ? ? 8?1?18.

变式 2(2004 年湖南卷理):设 F 是椭圆 x 2 ? y 2 ? 1的右焦点,且椭圆上至少有 21 76

个不同的点 Pi (i ? 1, 2, 3 ), 使 FP1 , FP2 , FP3 , ,组成公差为 d 的等差数列,则 d 的取

值范围为



解 : 设 FP1 ? a1 , 则 F Pn ? 1a ?? n?1? ,d 于 是 F Pn ? F1 P?? n?1? ,d 即

d?

FPn ? FP1 n ?1

,由于 n ? 21,

FPn

? FP1

? ?a ? c? ? ?a ? c? ? 2c ? 2 ,故 d

?1, 10



d

?

0 ,故 d

?

????

1 10

,

0

? ??

? ??

0,

1 10

? ??



变式 3(2006 年重庆卷文):如图,对每个正整数 n , An (xn , yn ) 是抛物线 x2 ? 4 y 上

的点,过焦点 F 的直线 FAn 交抛物线于另一点

Y

Bn (sn , tn ) .

(Ⅰ)试证: xnsn ? ?4(n ? 1) ;

AN

(Ⅱ)取 xn ? 2n ,并记 Cn 为抛物线上分别以

An 与 Bn 为切点的两条切线的交点.试证:

F

FC1 ? FC2 ? ? FCn ? 2n ? 2?n?1 ?1 . 证 明 :( Ⅰ ) 对任 意 固定 的 n ?1 , 因 为 焦点

BN O CN

X

F(0,1) ,所以可设直线 AnBn 的方程为 y ?1 ? kn x ,

将它与抛物线方程 x2 ? 4 y 联立,

得 x2 ? 4kn x ? 4 ? 0 ,由一元二次方程根与系数的关系得 xnsn ? ?4 .

(Ⅱ)对任意固定的 n ?1,利用导数知识易得抛物线 x2 ? 4 y 在 An 处的切线的斜率

k An

?

xn 2

,故 x2

?

4y 在

An 处的切线方程为

y?

yn

?

xn 2

(x ? xn ) ,



类似地,可求得 x2

?

4 y 在 Bn 处的切线方程为

y

? tn

?

sn 2

(x ? sn ) ,



由②减去①得

yn

? tn

?

?

xn

? sn 2

x?

xn2

? sn2 2



从而 xn2 ? sn2 ? ? xn ? sn x ? xn2 ? sn2 , xn ? sn x ? xn2 ? sn2 , x ? xn ? sn , ③

44

2

2

2

4

2

将③代入①并注意到

xn sn

?

?4

得交点 Cn

的坐标为 ( xn

? 2

sn

,?1)

.

由两点间距离公式,得 |

FCn

|2 ?

( xn

? 2

sn

)2

?4

?

xn2 4

?

sn2 4

?2

=

xn2 4

?

4 xn2

?2?

( xn 2

?

2 xn2

)

2

.从而

|

FCn

|?

|

xn 2

|? |

2 xn

.
|

现在 xn ? 2n ,利用上述已证结论并由等比数列求和公式得,

|

FC1

|

?

|

FC2

|

?…+|FCn|

?

1 2

(|

x1

|

?

|

x2

|

?…+|xn|)

?

2( |

1 x1

|

?

|

1 x2

|

?



+

|

1 xn

) |

?

1 2

(2

?

22

? …+2n

)

?

2( 1 2

?

1 22

?



+

1 2n

)

= (2n ?1) ? (2 ? 2?n?1) ? 2n ? 2?n?1 ?1 .

7.(人教 A 版选修 2-1 第 67 页例 5)
过抛物线焦点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,通过点 A 和抛物线顶点的直线交抛物线 的准线于点 D,求证:直线 DB 平行于抛物线的对称轴.

变式(2001 年全国卷):设抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0 )

的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点.点

Y

A

C 在抛物线的准线上,且 BC∥X 轴.证明直线 AC 经过原

点 O.

证明 1:因为抛物线 y2 ? 2 px ( p ? 0 )的焦点为

O

F

X

F

? ??

p 2

,

0

? ??

,所以经过点

F

的直线

AB

的方程可设为

C

B

x ? my ? p ,代人抛物线方程得 2

y2 ? 2 pmy ? p2 ? 0 .

若记 A? x1, y1 ? , B? x2, y2 ? ,则 y1, y2 是该方程的两个根,所以
y1 y2 ? ? p2 .

因为

BC∥X

轴,且点

C

在准线

x

?

?

p 2

上,所以点

C

的坐标为

? ??

?

p 2

,

y2

? ??



故直线 CO 的斜率为 k ? y2 ? 2 p ? y1 .

? p y1 x1

2

Y

A

即 k 也是直线 OA 的斜率,所以直线 AC 经过原点 O.

D

证明 2:如图,记 X 轴与抛物线准线 L 的交点为 E,

过 A 作 AD⊥L,D 是垂足.则

AD∥FE∥BC.

连结 AC,与 EF 相交于点 N,则

F

X

| EN | ? | CN | ? | BF | , | NF | ? | AF | . | AD | | AC | | AB | | BC | | AB |

O EN

根据抛物线的几何性质,|AF|=|AD|,|BF|=|BC| ,

C

B

即点 N 是 EF 的中点,与抛物线的顶点 O 重合,所以直线 AC 经过原点 O.

8.(人教 A 版选修 1-1 第 74 页,2-1 第 85 页复习参考题 A 组第 8 题)

斜率为 2 的直线 l 与双曲线 x2 ? y2 ? 1 交于 A,B 两点,且 AB ? 4 ,求直线的方程. 32
? ? ? ? 变式 1(2002 年上海卷):已知点 A ? 3, 0 和 B 3, 0 ,动点 C 到 A、B 两点的距
离之差的绝对值为 2,点 C 的轨迹与直线 y ? x ? 2 交于 D、E 两点,求线段 DE 的长.
解:根据双曲线的定义,可知 C 的轨迹方程为 x2 ? y2 ? 1. 2

? y ? x ? 2,

联立

? ? ??

x

2

?

y2 2

得 x2 ? 1.

? 4x ?6 ? 0 .

设 D? x1, y1 ? , E ? x2, y2 ? ,则 x1 ? x2 ? ?4, x1x2 ? ?6 .

所以 DE ? 2 x1 ? x2 ? 2 ? x1 ? ?x2 2 ? 4x1x2 ? 4 5 .

故线段 DE 的长为 4 5 .

变式 2:直线 y ? kx ? 2 与椭圆 x2 ? y2 ? 1交于不同两点 A 和 B,且 OA ?OB ? 1(其 3
中 O 为坐标原点),求 k 的值.

解:将 y ? kx ? 2 代入 x2 ? y2 ? 1,得 (1? 3k 2 )x2 ? 6 2kx ? 3 ? 0 . 3

由直线与椭圆交于不同的两点,得

??1? 3k 2 ? ??? ? (6

? 0, 2k )2

? 12(1 ?

3k 2 )

? 12(3k 2

?1)

?

0.



k2

?

1 3





A(xA ,

yA ),

B(xB ,

yB ) ,则 xA

?

xB

?

? 6 2k 1? 3k 2

, xAxB

?

3 1? 3k 2



由 OA?OB ? 1 ,得 x A xB ? yA yB ? 2 .

而 xA xB ? y A yB ? xA xB ? (kxA ? 2)(kxB ? 2) ? (k 2 ? 1)xA xB ? 2k (xA ? xB ) ? 2

?

(k 2

?

1)

1

?

3 3k

2

?

2k

6 2k 1? 3k 2

?2

?

5 ? 3k 2 3k 2 ?1



于是

5 ? 3k 2 3k 2 ?1

? 1.解得

k

?

?

6 .故 k 的值为 ? 3

6. 3

变式 3:已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) .过动点 M( a ,0)且斜率为 1 的直线 l 与该抛

物线交于不同的两点 A、B.若| AB |? 2 p ,求 a 的取值范围.

解:直线 l 的方程为 y ? x ? a ,

将 y ? x ? a代入y 2 ? 2 px ,

得 x2 ? 2(a ? p)x ? a 2 ? 0 .

设直线 l 与抛物线的两个不同交点的坐标为 A(x1, y1 ) 、 B(x2 , y2 ) ,

?4(a ? p)2 ? 4a 2 ? 0,



? ?

x1

?

x2

?

2(a ?

p),

? ?

x1

x

2

?

a2.

又 y1 ? x1 ? a, y2 ? x2 ? a ,



| AB |? (x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2

? 8p( p ? 2a) .

∵ 0 ?| AB |? 2 p, 8 p( p ? 2a) ? 0 ,

∴ 0 ? 8p( p ? 2a) ? 2p .

解得 ? p ? a ? ? p .

2

4


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